初中数学专题课教学探微

董向东 李瑞霞 (山东省东营市实验中学 257091)

课程呈现大致有阶梯式和项目式两种方式，初中段数学教材采用的都是按章分节的阶梯式呈现方式．尽管有专家倡导教材应以跨学科的项目式混编来呈现，认为会更有利于学生应用和理解，但实际操作起来却不容易，目前还只是在个别探究性、综合实践类活动上有所体现，但这种愿望我们应该引起重视．

分学科按章分节依次展开的教材编制体例，看上去知识结构清晰，前后逻辑关联紧密，便于集中学习，但却不利于跨章节知识基于学科思想方法的融合，不利于学科整体内在逻辑的统一，不利于学生不同学科认知过程的整合优化．事实上，外在的章节知识架构与学生大脑中的内容建构并不一致，这种基于纯知识体系罗列的东西，进入学生头脑后却是零散的、孤立的，很容易遗忘，其灵活性、综合性并不理想．现实状态下这个弊端非常明显，尽管教师们会有意识地选择部分背景涉及多个单元的题目来训练，甚至强行用思维导图来关联，但实际效果并不明显.许多师生之所以进行大量的“刷题”训练，所寻找的其实往往就是章节之间的基于数学思想方法的内在联系和基于更高层思维的抽象统一和共通模型，但要寻得达到这种效果的题目，靠盲目的“碰运气”却是不容易的．

近几年，笔者尝试在整个初中段新授课完成后，有意识地穿插部分基于整个初中学段背景的对学科结构、内在逻辑、思维过程、理性价值的“解读和剖析”专题课，放在一轮复习之初，效果较好．

1 基于“研究方式”内在一致性的对比专题课

每一个学科都有它内在的逻辑，数学更是尤为突出．初中数学中各研究对象的展开大致有相同脉络：从生活特例中归纳共性，经抽象概括得到它基于自身要素、相关要素和外部关联要素的概念定义，经过符号化、结构化和模型化;再研究其基于各要素关系的性质研究和性质逆命题探究，进而研究其子类别或上位类别，同样基于自身要素、相关要素和外部关联要素之间的关系来展开;如此迭代,将知识逐渐展开，使我们的视角逐渐伸向远方或深处．这种内在一致性对于学生把握数学的内在结构、逻辑和思维方法是非常有必要的，也是全面复习前必须做的准备．

对于代数，数式与方程的计算是初中代数的主线，数、式、方程、函数的同模式推进是横线，字母的参与是逐渐展开的纵线，其共同的价值取向是抽象和模型思维以及数学意识的培养．数是沿着整数、分数(有理数)、无理数、实数展开的；式是沿着整式、分式(有理式)、根式的思路展开的；方程是按照整式方程、分式方程、根式方程展开的；函数同样是按照解析式为整式、分式、根式的思路展开的．每一个研究对象又是从数字逐渐复杂然后到字母参与的抽象的纵线展开的，比如方程，分别从“次”和“元”的角度由具体到“n”逐渐展开的．

具体地，以函数为例，先通过实例抽象出函数的概念，通过对自变量、因变量、对应法则三个自身要素的把握，介绍三种表达方法，研究其基于区间性和单调性的函数图象．这是函数学习开始的介绍．后面陆续研究的基本初等函数，如一次函数(包括正比例函数)、二次函数、反比例函数、三角函数等，其研究思路都是同函数开始部分的研究方式相同．在梳理了它们的共性后，让学生按此思路来推想三角函数(已不属于初等函数)应该涉及的内容，学生都会从三要素的界定走向对图象及性质的研究，这正是教材所没有清晰揭开的地方，但是学生遵循这样的思路却能自己建构出来．

几何是紧紧围绕形状、大小和位置三个视角来展开的．每一个研究对象都是从这三个角度沿着自身要素、相关要素和关联外部要素的思路，从定性和定量两个维度展开的，然后再以同样的思路从一般走向特殊，再从特殊回归到更加深刻一般的思路上来．比如三角形，其概念本质是用三条直线段对平面实现了一个封闭区划，然后基于构成要素研究其表示方法、基本性质(边角关系)等，再对相关要素中线、高线、角平分线、外角(和)等角度进行研究，大小位置和定量、定性是研究的主线．再研究其特例(按边角分)，如直角三角形和等腰三角形，以及它们的再特例等腰直角三角形、等边三角形，其实，对它们的研究遵循了同样的思路．长度、角度、周长、面积以及相应的运动变化等都是从量的角度来研究，相互之间的平行、相交(垂直)等关系是从形状角度来展开的，而定性和定量之间又是时时交叉和融合的．这种大的思路，“相交线平行线”“四边形”等其他几何研究对象都是可以据此类比演绎的．从最根本的概念产生角度，除了用直线段来封闭一部分平面外，还可以用曲线封闭，在这个方向上，圆、椭圆只是其中的特例，其展开过程也是类似的．沿着这个方向来看，函数的本质其实是对要素关系在运动中保持稳定的一种数字化刻画．

除按边、角等各类局部元素进行定性和定量展开外，全等三角形侧重两个三角形之间形状和大小维度的定性和定量考察，全等三角形之间的平移、翻折、旋转则加入了位置元素，也构成了我们丰富的图形世界，演化出更多的大小、形状和位置关系，成为我们训练的一个个问题或题目．相似三角形降低了对大小的限制，但也因此使得相似比成了定性和定量的焦点．在教学中，学生清楚了三角形的研究方式后，便可以更好地解读和建构四边形的研究内容和研究角度．我曾让学生基于此来“自行”推演四边形的内容，他们对四边形就有了更深刻的领悟．我还曾让学生类比全等三角形来推演相似三角形，即使成绩较差的学生也可以推演出相似三角形一章内容的框架．通过这种推演，站在全等的基础上，学生更容易理解相似的本质；而走到相似的高度再反观全等，他们对全等、尺规作图的这种确定性也有了更深刻的理解．

教材各章内容看上去是独立的，但其内在逻辑、方式、路径、视角却是相类似的．前面列举的是从整个初中数学体系的视角来谈的，再下位一些，这种基于“研究方式”相同的局部(专题)的内容更多．适当地从这样的视角来分析题目、知识之间的联系，对学生理解教材、掌握数学知识、理解思想方法、培养数学意识、发展数学思维都是很有帮助的．

2 基于“思维方式”共含共通的类比专题课

数学是思维训练的体操．数学学习的重要目的就是对思维方式方法的学习和训练．初中数学中包含大量蕴藏着各种思维方法、方式的契机和资源，尽管各章节的内容不同、包含的思维方法的侧重不同，但主要的思维方式和方法却是相同、相似的．从这个学习工具和学习最终落脚点来看，章节之间的不同其实不过是思维训练素材的不同而已，其筋骨是相同相通的．有意识地从思维模式的角度来解读教材、训练学生是极其必要的．

直觉思维、形象思维、逻辑思维是思维的主要形式，各有各的意义，不可重此轻彼．每一章节往往都是沿着三者的顺序渐进展开．逆向思维在性质和判定的探究与应用中都有很好的体现．在具体的探究中，时而思维聚焦，时而思维发散，类比思维、对比思维、转向思维都是常见的思维方式．特例思维让我们保持了严谨性，克服了惯性思维．系统思维利用顶层设计，点状思维、线状思维、网格性思维让我们着力于一点；审辩思维、边界思维、批判思维让我们时刻保持警惕性和敏感性；归纳思维易于发现规律，验证思维则可以避免过度归纳，演绎思维帮助我们看到规律的普适性，分析思维让我们可以分解、拆解目标，综合思维让我们更清晰因果关联．立体思维让我们不断地锤炼和建构我们的思维模式和思维结构，让我们既保持思维的创造性又保持思维的严谨性．在实际教学中，让学生看到自己思考、探究、解题过程中的各种思维方式很重要，而有意识地主动使用各种思维模式去思考、探究、解题则是更重要的．比如，我让学生以四边形的中点四边形为研究对象，主动使用各种思维模式去探索，在完成探索之后再让学生审视自己思维的薄弱之处、误区和不足，学生不但充分理解了中点四边形正反互逆的不对等性，而且也大大开阔了思路．

3 基于“数学思想方法”广泛适用性的验证专题课

数学的思想方法有很多，但用得最多的还是比较有限的，比如符号化思想、函数和方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、整体性思想、模型化思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、统计思想等，这些都是数学的灵魂，也是研究数学的工具．基于数学思想方法的揭示，可以打通很多看似不相关的内容．

比如数形结合思想，以代数为例，在学习有理数概念时数轴这一形象对学习相反数、绝对值、大小比较、计算法则的理解都起到了重要作用；利用线段表示基本数量关系非常有利于部分一元一次方程应用题的理解；当数据更多、关系更复杂时，我们则会用“树状图”或“图表”来表示，这些都是数形结合思想的体现．函数是架构在代数和几何中的重要工具，利用函数图象既可以关联一元一次方程、一元二次方程和其他函数，也可以把所有的几何图形纳入进来．再如分类讨论思想，在代数中绝对值、平方、一元二次方程根等双值问题，几何中的点、线位置不确定等问题中，可以说应用非常广泛．整体的思想包含整体代入、整体换元、整体计算等，都有很广泛的应用．实际教学中，当我们进行这些梳理时，学生能明显感受到其中包含着核心的知识和重要的题型．

4 基于“经典模型”共存共通的类别拓展专题课

在浩如烟海的数学题目中，有一部分题目承载着核心概念、基本图形，体现着重要的数学思想方法，富含思维训练、经验感悟的空间，结构严谨，形式优美，是数学学习和训练的重要载体．复习之初，我们回顾以往的这些探索历程，寻找这样的经典例子，剖析其开放性和适应性的本质．

实际教学中，我起初的预想是聚焦于以下三类：一是存在条件比较简单的模型，比如“在一条直线上找一点到同侧两个直线外的点的距离之和最短”的问题，它可以在直线、三角形、四边形、圆、坐标系、函数背景下存在，还可以与动点、相似、分类讨论等结合;再如“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高”的结论，在等腰三角形、矩形(正方形)、圆当中都可以研究．二是包容性或工具性比较强的模型，比如完全平方公式及其变形，可以用于数值计算、因式分解、一元二次方程、二次函数等．三是类比迁移性比较强的模型，比如有一类“问题发现—类比探究—拓展延伸(综合应用)”题型，在近几年中考中比较常见．但在实际教学中我们却走向了“越简单越重要”的思路上去了，如“三线八角”的模型、“三角形重要线段”的模型等,于是我们开始着手总结简单模型的基本知识点，形成了一个个基本模型及其主要关联知识点，如直角三角形中有：锐角互余，ab=ch(h为斜边上的高)，内切圆、外接圆半径公式，含30°或45°角的直角三角形三边比值关系、三角函数等．有时候我们重视一题多解，其实更多时候我们探索的恰恰是多题一解或一题多用．

5 基于“原理陷阱”严谨性的根源剖析专题课

核心概念、公理和定理都是数学知识的骨架，它们都有各自存在的基础和条件，这是数学严谨性、逻辑性和条件性的根本．很多时候，思维定式或者结论被无条件泛化会成为许多错误的根源．

比如，在研究一元一次方程、一元二次方程、一次函数、二次函数的时候，如果它的最高次项系数不能确定是否为零，就不能默认这个前提去解题，而必须进行分类讨论．类似地，使用等式性质、不等式性质解方程或不等式的时候，不能确定因式是否为零时不能两边同乘或同除，一元二次方程的丢根往往与此有关．

再比如，学生们一般都知道SSA不能作为判断全等三角形的依据，却不知道如果都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形的条件下，其实是可以的．再如“平分弦的直径垂直于弦”“三点确定一个三角形”是不严谨的，“在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，但若弧是两倍关系，弦却不是两倍关系”，这种类比拓展却是不对的．再如配方法，在一元二次方程和二次函数的计算中，因方程和代数式的不同而处理方式不同．

类似的讨论会提高学生对知识准确度的掌握，提高对隐含条件和前提条件的敏感度，提高学生思维的严谨性，提高元认知能力，有助于克服思维定式．

6 基于“数学文化”育人力量的感悟体验专题课

数学不只有科学的价值，同样有文化的育人价值．与学生一起讨论“学习数学让你改变了什么、丰富了什么”是很有意义的．这是学科给予学生的真正力量．

数学的力量是什么？学生的感受不一样．有的学生对数学的理性感受很深，能感受到数学知识本身、规律本身就具有很强的吸引力；有的学生能感受到数学尊重实事，不虚假、不啰嗦、简洁明确，他们能感受到对错是非是不能混淆的；有的学生能感受到数学所追求的简洁、概括、抽象很具有美感；有的学生能感受到思维方法的丰富性和应用的广泛性，觉得自己获得了解决问题的能力；有的学生则认为数学是循序渐进、步步为营、扎扎实实的学习过程，给了他们做人做事的道理和学习其他知识的方法；有的学生感受到和同学们一起讨论使自己能不断超越自己，发现自己视野的迷障是非常愉快的；有的学生则对一代代数学家在探求和追求中所展示出来的奉献、求索精神深深折服，明白了学习数学可以改变人，可以给人以力量，可以给人以独特的感受、理解和表达世界的方式.这些对学生的深入学习是很有帮助的．

7 基于“解题经验”普遍性的交流专题课

学生在数学学习中，每一节课有每一节课的经验，每一道题有每一道题的经验．但是如果说学习了两年多时间到底有什么经验，还真需要梳理一下．学生的经验大多是从教训中总结出来的，比如:不要想当然，即使熟悉的题目也要仔细审题;对于选择题，算出了一个答案，其他答案也要排除一下;学习不要怕麻烦，表面麻烦的题目其实可能很巧妙;学习数学不做题不行，只做题不总结也不行；审题很重要，一定要抓住关键词，注意隐含条件；不要急于动笔，七分构思、三分表达很重要．

之所以从这些角度来集中和学生做交流，既是为了调整学生的学习状态，为全面复习做好心理准备，也是让学生明白复习的骨架和重点．从这些角度来分析，也可以促进学生重视基础、抓住重点．尽管这些角度在日常教学中也多有渗透，但是集中讨论仍有必要．