立足“三个关注”，开展定理教学

马鹏程

[摘  要] “过程与方法”是几何定理教学所倡导的核心内容，即基于教学内容开展知识探究，重视知识学习的过程，发挥数学方法的价值. 因此在教学“直线与平面垂直的判定”内容时需要教师关注学生认知能力，关注探究过程，关注思想方法，以实现过程探究与方法讲解的融合.

[关键词] 直线;平面;垂直;引入;过程;思想

“直线与平面垂直的判定”是人教版必修二的重要内容，也是立体几何学习的核心知识，通过本章节内容的教学需要使学生感知垂直概念，掌握直线与平面垂直的探究方法，并能初步应用定理解决实际问题. 而分析教材内容，发现其中存在几个教学重点需要关注，下面结合具体内容对其加以分析.

关注学生认知，合理引入课题

该节内容是学生在学习直线、平面平行的基础上开展的，但总体而言学生对线面垂直关系没有足够的认识，这也是后续学习的核心. 因此在教学中教师首先需要关注学生的认知水平，以学生熟悉的内容和丰富的活动作为课堂引入.

学习虽然是一个主动的过程，但这个过程也需要一定的动力激励，开展课堂教学引入最为有效的方式是创设具有趣味的情境，用学生感兴趣的素材来引导学生学习新知[1]. 线面垂直在我们的生活中十分常见，因此可以从学生日常生活所见的图形中选取素材. 例如，给出图1所示的情境图片，让学生观察图片，分析旗杆和地面、大桥的桥柱与水面之间是什么样的位置关系. 而在引导过程中可以采用几何类比的方式，以第一幅图为例，让学生思考旗杆可以用几何上的什么来代替，而地面可以视为几何中的什么元素，帮助学生建立生活实例与几何图形之间的联系，充分感知直线与平面相互垂直的关系，实现抽象数学与直观生活的关联建立，为后续学习做基础.

利用上述图形观察活动建立线面垂直关系的初步印象后，教学中还需要引导学生自己举例来强化认知. 比如可以让学生思考教室中的哪些物品之间存在如图2所示的线面垂直关系，或者让学生尝试利用课本和书桌来搭建这种关系. 需要注意的是，教学时需注重学生的动手操作，自我辨析，逐步提升学生探索发现的能力.

上述是通过图形关系识别和几何关系搭建活动来进行本节内容的课堂引入，符合“数学源于生活”的数学主题. 随着科学的发展，需要人类更多地利用几何图形和几何方法来研究生活，因此用生活实例来开展课堂引入可以让学生深刻体会数学与生活的紧密联系，提升学生几何学习的积极性.

关注探究过程，重视定理生成

分析“直线与平面垂直的判定”的教材内容，可以发现教材中隐去了命题的发现过程、证明思路的探索过程，对于判定定理则是采用了直接证明的方式. 虽然通过熟记强背学生也可以掌握定理，但学生难以真正理解定理的知识本质，不能获得相应的分析思维，这对于后续的应用解题是十分不利的. 几何定理的教学是一个思维严密的推理过程，因此教学中需要关注探究过程，全方位地呈现定理产生、形成和发展的过程，引导学生进行思维活动[2].

如线面垂直定理的猜想教学时，可以以上述课题引入的旗杆为例，引导学生构建相应的几何模型，让学生思考随着时间的推移直立在地面上的旗杆与影子之间的位置关系. 可以以问题的形式来引导探究，探究旗杆与影子之间的夹角是多少度. 同时可以设计如下具有引导作用的拓展性问题：

问题1：如果学校准备更换新的旗杆，你有哪些检验旗杆与地面垂直的办法？

问题2：说出你所知道的关于线面垂直的判定依据？

问题3：是否可以通过判定直线与平面内有限条直线相互垂直来确定线面垂直？

问题4：如果可以，是否可以仅分析直线与平面内的一条直线相互垂直呢？

问题5：如果不可以，那么平面内的两条直线呢，这两条直线需要具备哪些性质呢？

几何模型是支撑学生思维推理的基础，因此在教学中可以给出如图3所示的模型，其中AB表示旗杆，BC表示某一时刻旗杆的影子. 在探究过程中，首先引导学生猜想出需要确定直线与平面内的两条直线分别垂直才可确定线面垂直，然后引导学生思考若平面内的两条直线为平行关系是否可以确定线面垂直，从而利用思辨思维来获得准确的几何定义.

而在线面垂直定理的论证阶段，则可以引入折纸实验，通过直观的图形来完成定理证明，给出图4所示的几何△ABC. 首先让学生沿着过顶点的任意直线进行翻折，设折痕为线段AD，然后将翻折后的纸片竖立在桌面上，使线段BD，DC同时与桌面相接触，让学生思考如下的问题.

问题6：观察图形，折痕AD是否与桌面垂直，如果不垂直，那么需要怎样翻折才能确保折痕与桌面垂直呢？你可以得出哪些结论？

在教学中教师可以首先进行动画演示，完成平面向立体的切换，逐步引导学生向线面垂直条件的方向思考，“问题链”需要根据课堂实际灵活设计. 首先引发学生的认知冲突，然后由“一般条件”向“特殊有限条件”转化，从而论证线面垂直的定理. 另外也可以进行反向设计，首先给出如图5所示的几何图形，其中AD⊥BC，沿着AD翻折将图形竖立在桌面上（如图6所示），然后让学生思考直线AD与线段BD，CD之间的位置关系，再思考直线AD与平面α之间的位置关系，最后分析兩种关系之间存在怎样的联系. 活动设计提升了学生的参与度，帮助学生完成了由“几何猜想”到“几何论证”的过渡，实现了感性认识到理性认知的升华.

关注思想方法，进行思想渗透

数学的思想方法是整个数学教学的核心，也是学生核心素养提升的重要内容，因此几何定理教学另一个需要关注的内容是思想方法[3]. 相对于固体的知识而言，思想方法较为抽象，无法通过直观的知识教学来掌握. 实际上，思想方法是问题处理的基本策略和指导思想，隐含在数学的知识内容中，因此进行思想方法的教学可以借助具体的教学内容，采用思想渗透的方式，让学生在学习过程中逐步感悟，逐步开化.

以线面垂直阶段的课堂引入为例，教学中给出对应的图片后，需要从中衍生出对应的几何模型，而几何模型的构建过程实际上就是模型思想的应用指导. 在这个过程中需要教师详细指导模型构建的过程，即以旗杆所在直线画线段AB，以地面所在平面绘制几何平面α，其中直线AB与平面α的接触点为点B. 上述模型构建的过程既还原了旗杆和地面两者的基本特征，又隐含着两者之间的位置关系.

而在定理论证的第一阶段，则可以渗透数学的类比思想，引导学生类比直线与平面平行的判定定理，思考直线与平面垂直时需要满足的条件，从而将直线与平面之间的位置关系的探究转化为直线之间的位置关系的探究. 而在思辨阶段，则同样可以类比直线与平面平行，分析是否可以通过证明直线分别与平面内的两条平行线相互垂直来完成直线与平面垂直关系的确定. 需要指出的是由“线面关系”向“线线关系”的转化过程隐含着数学的转化思想和降维思想，教师在讲解时不需要特意指出，只需引导学生思考这样处理的思维优势即可.

数学定理探究的最后阶段，需要引导学生从一般的空间问题中获得具有总结性的结论，这个过程必然隐含着数学的化归思想. 实际教学中需要教师引导学生构建数学语言与文字语言之间的联系，全方位地完成数学定理的提炼、总结、归纳，如对于 “BD？奂α，CD？奂α，BD∩CD=D”，在化归时需要描述为平面内的两条相交直线.

数学的思想方法是学生终生受用的知识技能，直接决定学生的思维能力，因此开展课堂教学不可忽视对数学思想的指导. 另外课堂教学采用探究式的教学方式，不仅可以使学生体验数学的探究过程，而且在这个过程中学生还可以逐步掌握猜想、分析、归纳、特殊到一般、推理验证等探究手段，这些技能方法可以在潜移默化中提升学生的数学思想.

总之，高中阶段的课堂教学需要教师准确把握教材的核心内容，以学生的知识基础作为课堂教学的起点，紧密联系实际开展新知探究;对于论证过程中重要的几何定理内容，需要采用课堂引导探究的教学方式，使学生掌握定理的同时获得思维的提升;以教学内容为载体渗透数学的思想方法，逐步提升学生的核心素养，为学生的长远发展做好基础.

参考文献：

[1]  杜慧. 立足核心素养  构建高效课堂——以“直线与平面垂直的性质”为例[J]. 中学数学，2018（05）：3-7.

[2]  潘小梅. 遵循定理教學规律  追求凸显思维的教学[J]. 中学数学教学参考，2017（11）：18-19.

[3]  胡吉蔚.为直观插上想象的翅膀，为逻辑镶上思辨的光芒——直线与平面垂直的定义及其判定的教学设计分析[J].数学教学通讯，2017（36）：16-18+40.