“多型交互、多元发展”的作业设计——以《圆》的作业设计为例

胡才燕

数学作业是数学课堂教学的延续和补充，是学生进一步理解数学知识，形成技能技巧，获得深层次发展的学习活动，是数学学习的重要环节。前苏联教学论专家凯洛夫、斯米尔诺夫，都认为作业与课堂教学同等重要，随着教学改革的不断深入和新课改的推进，作业问题更向多维视角分析研究转变。教育专家曾指出过：要提倡布置活动性、实践性的小学作业。新课改的行动纲领中也明确指出：要改进学生的训练方式，构建学生的训练体系，要大力开发习题对于促进学生主动活动，培养学生创造才能的功能，把非形式推理的开放性问题、课题研究和建模求解等纳入新编习题作业的范围，与原先强调现有知识掌握巩固的习题类型相配合，组成完整的数学训练体系。近年来，我校教研组加强作业问题的研究，以学生为主体，以数学核心素养的培养为目标，开展作业改革，尝试丰富作业类型，多型交互，挖掘作业功能，提升作业实效，促进学生多元发展。

一、操练巩固型——夯实数学基础，熟练数学技能

操练巩固型作业是教师最熟悉、最常用的作业形式。学生要发展，基础知识和基本技能不能偏废，“双基”是学生获得发展的基础。依据学生的数学基础，控制总量，设计阶梯式的操练巩固型作业满足不同学生对作业的实际需求，让不同水平的学生通过作业得到不同的提升和发展。夯实数学基础，熟练数学技能，为学生的更优发展奠基。

【设计1】教学“圆”单元后

作业设计：

A 套（基础型）

B 套（发展型）

C 套（拓展型）

作业反馈：学生依据自身学习水平选择相应套餐完成作业，纠错。

学习水平不同的学生组成组际水平相近的学习小组。学生依据自身的学业水平选择适合自己的作业套餐，基础一般的学生在选择A 套餐的同时可挑战B 套餐和C 套餐中的全部题或个别题。基础好的学生选择练C 套餐中的题。学习小组内交流互助，相互评价，共同提升，夯实基础，共同提高。

二、探索研究型——促进数学理解，发展数学思维

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。数学学习活动应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。教师要用一双数学的眼睛挖掘数学中可探究的素材，教师要有一个数学的大脑，设置有一定难度而通过努力又能解决的探究活动，引导学生在探究活动中理解数学，提出新思路、新方法、新方案，把学生推向思维活动的前沿。探索研究型作业旨在紧密联系教学内容，以学生独立自主学习或合作讨论为作业主要形式，给学生足够的探究时间和空间去动手动脑，在观察、调查、假设、实验等多种形式的探究活动中明理，促进对数学的理解，让学生的思维更具开放性和敏捷性。

【设计2】教学“圆的解决问题”后

作业设计：外方内圆和外圆内方我们已经研究过了，如果两种情况组合又会有什么新的发现呢？选择你喜欢的方式研究研究，做好记录。

作业反馈：

图1

图2

图3

图1三个图形（由外到内）的面积比为：4∶π∶2

图2三个图形（由外到内）的面积比为：2π∶4∶π

图3由上面的研究发现：外圆面积是内圆面积的2 倍，外正方形面积是内正方形面积的2 倍。

学生在课堂研究的基础上开展自主研究，再团队合作交流分享。有选择用课堂教学的设数法进行研究的，也有利用课堂研究结论直接推导的，不同的学生有不同的方法，相同的是在探究活动中，学生深化了对这两种形体组合关系的认识，熟练了图形探究的方法，其思维是积极的、发展的。个体自主研究和团体合作研究相结合有效促进了学生对数学的理解，发展了思维。

三、实践运用型——感悟数学价值，善于数学应用

数学是注重应用的科学，学习的最终目的是为了应用。数学来源于生活，又应用于生活，数学在社会生产和日常生活的各个方面都有广泛应用。实践运用型作业设计旨在带领学生走出教室，跳出课本，让学生看到生活中处处有数学，数学是生活中不可缺少的工具。重点放在学生应用所学的数学知识和方法，去分析、解决生活中的实际问题，再在实践运用中掌握和悟得一些研究问题的策略方法，从而使所学知识得到拓展和延伸，让学生在感悟数学价值的同时形成数学应用的意识，更乐于去学习数学，学好数学，善于应用数学。

【设计3】教学“圆的认识”后

作业设计：1.生活中的圆怎么画？2.生活中的哪些现象是在画圆？

作业反馈：可以用圆规画的圆用圆规画最方便，没有圆规则可以用圆形物体描。

圆规画不了的较大的圆，则根据圆的特点“同一个圆的半径相等”，可以定点（圆心）、定长（半径）来画。如体育老师画圆，就用标枪固定为圆心，卷尺取给定的距离为半径画圆。注意点：作为半径的卷尺或绳子要无伸缩性，要拉紧。

生活中画圆的现象有：钟面上的指针运动（秒针针尖1 分钟画一个圆；分针针尖1 小时画一个圆；时针针尖12 小时画一个圆）；喷水装置往四周喷洒水；拴在柱子上的牛、羊能吃到草的范围；……

【设计4】教学“圆的面积”后

作业设计：你能有办法知道学校500年树龄的银杏树枝干的横截面面积吗？用类似方法你还能知道什么的面积？

作业反馈：测量出横截面的周长，用周长除以圆周率除以2 得出圆的半径，再计算出横截面的面积。用这个方法，我们可以求出任意横截面是圆形的物体截面面积。

不论是圆的画法，生活中的画圆现象，还是圆形截面面积的计算，都让学生深切感受到生活中处处有数学，运用数学的智慧可以解决生活中看似复杂的问题，增强其运用数学的意识。解决问题的成功感让学生更真切地体验到数学的价值，乐于去应用数学，让学习数学更有方向性。

四、人文熏陶型——欣赏数学之美，提升数学情感

数学教育的价值之一是向学生传承数学文化，感受数学的魅力。著名哲学家罗素曾说：“数学，不但拥有真理，而且有至高之美。”显然数学是美的，数学的美是一种抽象、严谨、含蓄、简洁的美，它渗透在数学知识的背后，需要用心体悟才能感知。数学还是积累的科学，是历史的记录，是人类智慧的体现，是人类的一种文化。人文熏陶型作业设计关注数学美和数学文化，通过作业让学生欣赏数学、品味数学，品读数学家的生平轶事，了解数学知识及方法的发展历程等数学文化。在至高之美和博大精深的数学文化熏陶下开阔视野，激发数学学习的兴趣，增进学好数学的情感。

【设计5】认识了圆，初步学会用圆规画圆后

设计作业：请以“圆”为主要构图元素，设计一幅美丽图案。

作业反馈：

学生的创意是多样的、灵动的、生活的（如上图）。学生在设计作品的同时，熟练掌握了画圆的技巧，也感受到圆在生活中的广泛存在，体验到圆给生活带来的各种美和在生活中的美好寓意。学生在美的欣赏和创造中对数学的情感得到了升华。

【设计6】教学“圆的周长”后

设计作业：一位英国数学家说：“这个奇妙的3.14159 溜进了每一扇门，冲进了每一扇窗，钻进了每一个烟囱。”圆周率的研究已持续了几千年。同学们，圆周率到底有什么魅力呢？让我们走进它，了解它的研究史吧。

作业反馈：学生通过各种渠道查阅圆周率的发展史，以数学日记、数学小报等多种形式表达。

日记节选：

1.英国人琼斯首次创用π 代表圆周率。它的符号并未立刻被采用，后由欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在π 已成为圆周率的专用符号，π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。

2.为什么数学家要无休止地计算π 的值呢？在古代，π 值的获得是衡量数学水平的重要标准之一，其数值、性质、公式是数学史上最悠久、最奇特、最富有思想，也是最能体现数学进步的主题之一。

3.从“割圆术”到解析法再到计算机求π 值，2002年12月6日，算出了12411 亿位π 值，真是神奇的发现！

一次简单的作业，一次不简单的经历。学生在做作业的过程中，通过各种渠道搜集资料，了解了圆周率的研究发展史，认识了很多数学大家，感受到数学家做学问的执着，数学智慧为数学研究带来的方法变革。以小见大，感受数学魅力，对数学的敬仰爱慕之心油然而生，对数学的美好情感自然升华。

美国教育家彼得·克莱恩说：“学习的三大要素是接触、综合分析、实际参与。”根据不同的学习内容，设计多种类型的作业，自然交互，让学生跳离形式单一的机械练习，经历观察、猜测、实验、计算、推理、验证、欣赏等活动，让学生在“做”数学作业的过程中，既能掌握学习和生活必备的基本知识和基本技能，更能学会思维和创造，进而培养学生学会学习、生活的能力，让学生在丰富的、有意义的作业活动中，拓展延伸课堂教学的效果，获得多元发展。