操作中体验 思考中提升——数学拓展课“智取数棒”案例分析

王雪晴 吴玉兰

【课前思考】

小学数学教材中有一些开放性习题设计得非常巧妙，蕴含了丰富的数学方法和思想。如果以拓展课的形式开展学习、探究活动，既可以避免单一沉闷的做题模式，又可以开阔学生的眼界，发展学生的思维。

例如，浙教版《数学》二年级下册中有这样一道题：

再如，浙教版《数学》五年级上册中有这样一道能力题：

两道题虽然内容和难度上有所区别，但也有诸多相似之处：第一，难度上两道题均属于提高题，对学生思维有一定的挑战性；第二，内容上都是通过不同数码间的组合来得到更多的数，渗透了位值思想和组合思想。

基于这两道题的启发，笔者设计和开发了“智取数棒”数学拓展课。根据二、三年级学生特点，内容设计为：用1～10 号数棒摆数，探究“如何用尽可能少的数表示更多连续的数”这一问题。整节课力图让学生经历“提出猜想—操作验证—总结策略—发现规律”的过程，积累活动经验，提升数学表达能力，发展抽象思维和审辨思维。同时，在生活实例中，完成数学知识的生活回归，体会数学的实际应用价值。

【教学过程】

一、认识数棒，感知方法

1．游戏热身，明确数棒可以表示数。

（1）认识数棒。

师：今天老师为大家准备了数棒。这是* 号数棒，表示*。（PPT 逐一呈现1～10 号数棒）

师：接下来我们比一比眼力。待会儿屏幕出现一些数棒，请大家快速报数。

（学生看数棒报数）

师：最后一幅图怎么那么快就知道了？

（2）揭示课题。

师：看来，一根数棒能表示一个数，几根数棒组合也能表示一个数。（板书：组合）这节课我们就一起用数棒来摆数。

2．初次操作，熟悉数棒的作用。

师：如果用数棒表示“6”，你有几种不同的方法？试一试。

（结合学生的回答，PPT 依次呈现4 种不同表示方法）

师：为什么2＋2＋2 不可以？

生：每种数棒只有一根。

师：看来同样表示6，我们既可以用一根数棒来表示，也可以用几根数棒组合起来表示。

【评析：数棒是本节实验课的主要学具。本环节采用报数游戏和活动操作两种形式，在充分调动学生学习兴趣的同时，加深学生对数棒的认识，明确数棒在这节课中的作用，感受“一个数既能用一根数棒来表示，也可以用几根数棒组合起来表示”，为后面用数棒组合起来表示数做铺垫。】

二、初次活动，探索策略

1．提出问题，进行猜想。

师：如果现在要把1～7 都表示出来，你觉得需要选几根数棒？

生：7 根。

师：把1～7 号全选出来，很方便的方法。有不同的想法吗？

生：6 根。（追问：哪6 根？）

生：1～6 号全选出来，“7”就用1 号加6 号表示。

师：“7”就用1＋6 组合来表示，好方法。

2．自主探究，分享交流。

（1）独立研究：最少需要几根数棒，就能把1～7 都表示出来。

活动建议：

①想：1～7 分别怎么表示。

②选：选你觉得必选的数棒。

③写：用数或算式记录取法。

④调：如果有更少的情况，在“尝试二”中调整。

（2）小组交流：①说：你的方

法（根数最多的先说）。②想：怎样让数棒尽可能少。

（3）全班交流：用手势表示你们小组最少用了几根（有4 根、3根）。先请多的小组来分享，谁愿意把你们的想法和大家分享？

学生方法一：

生：我们一开始选了5 根，后来调整成了4 根。

师：你们为什么要进行这样的调整？

生：因为5 可以用1＋4 代替。

师：哦，看来能用其他组合来代替的数可以不选。

学生方法二：

生：我们也是选4 根的，但是选法和前面的组不一样。

学生方法三：

生：我们一开始选了4 根，后来发现选1、2、4 三根就可以。

师：选3 根真的可以吗？我们一起来看一下。（带领全体学生一起查一遍）看来3 根数棒真的可以表示7 个数。还有更少的吗？

生：不可能更少了，因为1 是一定要选的，其他再选一根，两根小棒最多也只能表示3 个数。

3．提炼方法。

（1）对比观察：同时投影以上三幅作品，并请学生对比观察，说说有什么发现？

生：有一些数可以加起来表示的，就不用再选了。比如3 能用1＋2 表示的，就不用再选3 了。

（2）逐一验证。

师：看来你们觉得要让数棒最少，能组合表示的就不用选，不能组合表示了再去选。那么哪些数可以通过组合来表示，哪些不可以？我们一起来看看。

师：1 怎么表示？

生：只能用1 表示，所以1 号数棒必须选。

生：2 等于1＋1，但是数棒不能重复使用，所以只能用2 号数棒来表示，2 号数棒也必须选。

生：3 可以用1＋2 表示，3 号数棒就不用选了。

师：3 能用组合表示了，可以不选。4 呢？

生：要选，因为1＋2 最多只能表示到3，4 表示不出。

师：哦，不能用组合表示了，就要选了。剩下的数棒该怎么选？用刚才的方法说给同桌听一听。（学生交流基础上板书5～7 的选择情况）

（3）提炼方法。

师：怎样选用的数棒最少？谁能用简洁的语言来说一说。

生：能组合表示的就不选，不能组合起来表示了，再选数棒。

（根据学生的回答板书：能组合表示，不选；不能组合表示，要选）

小结：看来，能组合时不选，不能组合时再选，用这样的方法选数棒，所用数棒是最少的。

【评析：新课程改革下的数学课程，重视学生活动经验的积累。本环节以“表示1～7 最少需要几根数棒”做为任务驱动，学生在自由猜想、自主探究、分享交流、观察对比的过程中，总结出取数策略；在操作、调整、审辨的过程中一步步接近问题的“真相”，体会有序思考，获取解决问题的策略，积累活动经验。】

三、再次探究，运用策略

1．独立探究。

（1）提出问题：只用1、2、4 三根数棒就能表示1～7，如果要表示出1～15，最少要几根呢？

（2）独立探究。

活动建议：

①想：1～15 分别怎么表示。

②试：能动脑的动脑想；有困难的用数棒试一试。

③写：用数和算式表示你的取法。

（巡视发现：大部分学生能用刚才的方法逐一表示1～15，小部分学生发现1～7 不用重复思考了，直接思考8～15 怎样表示）

2．交流整理。

生：我用刚才的方法，从1 开始想，1 和2 都要选，3＝1＋2，4＝1＋3……

生：不用这么麻烦的。刚才我们已经用1、2、4 表示了1～7，所以我们不用再去管这7 个数了，直接去想8～15 怎么表示就好。用1、2、4 不能表示8，所以8 要选。选了8 以后，就和刚才的同学一样，直接能组合表示到15。

师：你们真能干，知道利用已有的成果去研究新问题。两位同学都想到了选8 号数棒，你们的想法也是这样吗？你们是怎样想到的呢？

生：因为8 不能由1、2、4 组合表示了，所以必须得选8。选了8 以后，发现9、10、11、12、13、14、15 都能组合表示出来了，所以不用选。

师：哦，看来也是用了刚才的方法，不能组合表示的必选，能组合表示的不选，这样就能选到最少的数棒了。

【评析：本环节是已有方法与经验的再应用，引导学生用第一次活动中得到的经验解决新问题。活动的开展考虑到了学生的差异，有困难的可以用小棒摆一摆，帮助思考。这样的设计，既使能力强的学生从操作走向理性的思考，又使有困难的学生有学具可依，满足了不同学生的个性化需求。同时，反馈时引导学生进行策略的优化，梳理最佳解决方案，使学生的思维进一步深入。】

四、观察思考，拓展延伸

1．提出问题：再选一个数，继续表示尽可能多且连续的数，你会选哪个数？能表示哪些数？

2．独立思考（完成《学习单》第三部分）。

3．发现规律。

师：从表格中能发现什么？

生：选择的数中，后面一个数＝前面一个数×2。

生：能表示的最大的数就是所有数加起来。

生：最大的数×2-1 就等于能表示的最大的数。

师：你们真会思考。原来所选的数之间有两倍的关系，选择的数和能表示的数也有联系。选数棒游戏里，竟藏着这么多奥秘。

4．课堂小结。

（1）今天这堂课学了什么？

（2）我们是怎样选数棒的？

师：能组合的不选，不能组合再选，这样，就能用最少的数表示出尽可能多的数。像这样的例子，生活中也有很多。比如：人民币、罗马数、计算机编码、天平砝码……

【如果前面环节“先给定要表示的数再去选数”是一种逆向思维，那么本环节“用给定的数去表示更多的数”就是一种顺向思维。思维的转换，有利于学生高阶思维的培养。同时本环节结合生活实例感受“用尽可能少的数码能表示能多的数”的数学思想，体现了数学的实际应用价值，实现了数学知识的生活回归。】