一题多解的案例分析

许华

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】I992-7711（ 2020） 06-17（）-02 一、问题背景

立体几何是高考的重要考查内容，分值22分左右，约占全卷分值11% - 18%。为了研究近五年新课标I卷对立体几何各类题型的考查要求，整理统计情况如下：

丛知识点分布情况看，无论理科还是文科，近五年新课标I卷在立体几何的考点较集中。主要考核：空间几何体的三视图、空间几何体的表面积和体积、证明线线垂直、线面平行关系、线面垂直关系以及求角的问题。理科常考空间几何体与点、线、面之间的位置关系以及角的问题，考查理科生的空间概念和逻辑推理能力;文科在空间几何体的考查力度较大，侧重考查文科生的空间概念。

因此，对应考点进行针对性的复习备考，可以提高教学的有效性。

二、案例分析

例题：（2019届广州市高三年级调研测试理科数学第16题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为____。

师：本题满分5分，区均分0.33分。今天这节课我们一起来回顾一下这道考题，欢迎同学们积极分享。三视图还原直观图是一个难点，同学们有什么解题思路？

生1：初步判断出该几何体是由长方体切割而成，可以还原这个长方体。目前只可以做到这步了。

师：你的想法非常好，本题可以借助长方体特有的属性去思考。立体几何的问题通常可以转化为运用空间向量解决，而建立一个适当的坐标系可以使得计算更加简便，同学们有什么想法吗？大家思考三分钟。

生2：考虑到是△ABC直角三角形，外接圆圆心在斜边AB的中点K处，四面体P- ABC外接球的球心与外接圆圆心连线垂直平面△ABC，建立空间直角坐标系K-xyz，球心在z轴上。设定球心0（0，O，z），只需找一个等量关系求解即可。如：∣OP∣=∣OB∣

师：你的想法很好！请同学们完成后续步骤。（约5分钟后展示学生答题情况）

生2：（解法1）如图，建立空间直角坐标系K-xyz，球心在z轴上。

生3：我的是纯几何思路，用了勾股定理。0点位置有两种情况，不过解答过程是一致的。最后由于解出OK=3/2>1=PD，所以解法2图2情况实际不存在，舍去。

生4：老师我又想到了一种。（解法3）首先，需要把图补成三个棱长为1的正方体。易证DV垂直平分PA，PA上面a，P、A实际上关于面a对称，所以点A和点到面a上任意一点的距离相等，因此球心在面a上，又因为球心在直线KO上，所以球心就是面a跟K0的交点O，所以KO=3/2.

师：你非常善于观察空间结构，通过增补法转化成熟悉的几何结构。一题多解拓宽了同学们的思维，法三计算简便，答案呼之欲出。同学们，我们研究四面体体积时常常会考虑等体积法，选择更合适的底和高进行计算，有什么思路吗？

生5：可以选择△PAC为底，高BC ⊥面PAC.

师请同学们重新绘制图形（约3分钟后展示学生答题情况）

生5：我把图再还原成直三棱柱，等价于求该三棱柱的外接球。

师：你的思路很清晰！请同学们完成后续步骤。（约5分钟后展示学生答题情况）

生6：老师，怎么求△PAC的外接圆？我们好像没有接触过求非直角三角形外接圆的练习。

师：其实同学们曾经学习过一个与求的外接圆半径有关的公式，大家再想想。

生7：正弦定理，sA =2R，三角形中任意一边与其对角的正弦值的比值就是该三角形外接圆的直径。

师：很好！请同学们完成后续步骤。（约5分钟后展示学生答题情况）

生7：求直三棱柱外接球问题，球半径、三角形外接圆半径和球心距满足勾股定理，找出这三个量就能建立等量关系。此外，已知△PAC三边，用余弦定理可求任意角，再用正弦定理求出△PAC外接圆半径。

师：请同学们总结下本题的收获。

生8：我觉得这道题尽管有不同的解法，但是首先需要画出正确的直观图，其次，就是这道题是有一定运算量的，考试时完成了试卷的基础题目后可以耐心地去解答，其实并不是很难，不应该放掉它。另外，今天我运用正弦定理解决了求外接圆半径的问题，感觉挺有收获的。

生9：运用多种解法解这道立体几何题，考查了数学综合解题能力，加深了我对这道题目的理解，我会把这些解法记到方法積累本。

师：本题主要难点：第一、三视图转化成直观图;第二、如何找球心，找到后还需要建立等量关系。前三种解法分别对应了立体几何的向量法、综合法和几何法;第四种解法重新选择三棱锥的底和高，把问题转化回同学们熟悉的直三棱柱求外接球球心问题，另外我们还使用了正弦定理，求三角形的外接圆半径。建议同学们课后做好错题方法积累。

三、立体几何教学的几点思考

（一）培养学生学习兴趣，提高动手能力、画图能力和空间想象能力

“现代心理学表明，表象的获得在于对实物的感知，特别是视觉感知，感知的多样性直接影响着获得表象的多样性。”[1]教学要生活化，充分利用身边事物让学生直观感知，粉笔盒，卷纸，雪糕桶，金字塔让学生对长方体、圆柱体、圆锥、四棱锥有了具象的认识，两两垂直的三个平面可以联想课室里的墙角等。除了教具，PPT、几何画板、教学视频等都可以帮助学生直观、形象地理解抽象的立体几何问题。高一新课应遵循考纲要求，循序渐进教学，帮助学生树立空间概念，培养学生的空间现象能力，如：要求学生按指定数据制作柱、锥、台模型，完成后教师与学生们共同去对每个模型评比。又如：教导学生如何正确画图，反复训练强化，提高画图准确度和速度。提高学生数学学习积极性，同时提升了学生的空间想象能力，加强了对柱、锥、台表面积、体积计算中各个量内在关系的认识。

（二）培养学生逻辑思维能力

教师应重视每节课的课堂引入，引起学生的兴趣，也要注重知识间的过渡衔接。每个定理的推导证明要有理有据，定理的文字表述必须严谨。学生能熟练写出每个定理的文字语言、图形语言、符号语言，三种语言能灵活转化。在教学中，教师引导学生做好总结归纳，形成完整的知识网络，解题时，学生能从知识网络中有目的地快速提取相关知识。通过反复地的训练，巩固加深对定义、定理的理解，明确每个定理的使用条件和结论。教学中应注重培养学生书写规范的解题步骤，明确求解的方向，有目标地运用相应的定理，帮助学生逐步形成周密的逻辑思维。

（三）一题多解的教学价值

（1） -题多解有助于学生对数学知识的理解与运用 b

如解法4中，正弦定理学生日常训练仅停留在a/sinA=b/sinB的运用，a/sinA的比值就是2R（三角形外接圆直径），考前没有训练到位。但是通过这节课的深入学习，对正弦定理的运用会更熟练，这也是对原有认知的巩固和提升。李士教授认为，理解数学知识的意义在于建立的表象越熟悉、越精致、越准确，就越容易记忆，也越容易提取。[2]如：解法4中重新选择底面和高，再还原直三棱柱，问题瞬间转化为学生熟悉的求直三棱柱外接球问题。

（2） -题多解有助于学生对数学思想和数学方法理解与运用

案例中四种解法均巧妙运用了转化与化归、数形结合的数学思想。如三视图与直观图的转化，平面问题与空间问题的转化，数形结合的思想渗透在立体几何问题和求解过程中。

解法1是向量法的运用，解法2是综合法的运用，解法3建立在解法1和解法2基础之上，是几何法的运用，充分利用立体几何知识，降低了计算难度上的要求。解法4灵活转换底和高，问题转化为学生熟知。对学生各种数学思想的培养要渗透在日常教学中，通过一题多解的训练，加强学生对数学思想和数学方法的理解与运用。学生总结反思，深化认识，探索方法之间的差异与共同点，循序渐进地探寻最简洁有效的解法。

（3） -题多解延伸思维的广度，拓展思维的深度

数学教学中的一题多解是发散思维的具体体现，教学中加强一题多解的训练，通过综合运用各方面知识解决问题可以开拓学生思路，引导学生更深入地研究问题，培养学生锲而不舍的钻研精神和灵活多变的分析问题和处理问题的能力。[3]

（4）激發学生的学习兴趣，活跃课堂气氛

学生积极分享见解，相互启发，共同发展，同学们畅所欲言、各抒己见，形成积极良好的学习氛围。不同的角度诠释、不同的思维碰撞，学生成为课堂的主体，使得学习变得更加快乐，收获更加丰硕。

【参考文献】

[1]叶弈乾，何存道，梁宁建.普通心理学（修订版）[M].上海：华东师范大学出版社，1999（3）：253-257.

[2]李士.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001

[3]潘杰，苏化明.一道考研数学试题的多种解法[J].高等数学研究，2009，12（2）：62-64.