准确理解概念 避免会而不对——例谈导数法解题中的主要误区

雷亚庆

(江苏省南京市大厂高级中学 210044)

导数法是研究函数性质的得力工具，但是在应用过程中关注细节，要注意原函数性质与它的导函数性质的等价性.如导函数与原函数定义域的一致性，导函数的正负与原函数的单调性的关系，切线问题，导函数零点与原函数的零点的关系等等.但是在使用导数法解决函数问题时，有些同学由于对导数及其相关概念理解不到位，会出现“忽视细节，会而不对”的现象，下举例说明导数法解题时的常见误区.

一、忽略定义域

例1求函数f(x)=lnx-x的单调减区间.

即x(1-x)<0,

亦即x(x-1)>0,

解得x<0或x>1.

所以函数f(x)=lnx-x的单调减区间是(-∞,0),(1,+∞)

错因分析我们知道函数单调性是函数定义域的一个子区间上的局部性质，因此求函数单调区间时首先要做的事情就是求出函数的定义域，然后才是求导数.上述解法一开始就犯了不求定义域的错误，后续的工作自然就是无效的了.

正解f(x)=lnx-x的定义域为(0,+∞).

所以f(x)=lnx-x的单调减区间是(1,+∞).

二、把在区间I上f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)或者f ′(x)>0(f ′(x)<0)看成是f(x)在区间I单调递增(递减)的充要条件

∴f′(x)≥0在(-2,+∞)上恒成立,

例3 已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.

解析求函数的导数f′(x)=3ax2+6x-1.

(1)当f′(x)<0时，f(x)是减函数，则f′(x)=3ax2+6x-1<0(x∈R),

综上，所求a的取值范围是(-∞,-3].

点评f′(x)<0(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x)=-x3在R上递减，但f′(x)=-3x2≤0.

反思通过纠错让学生正确理解导数的正负与函数单调性的关系，以增函数为例：实际上f′(x)>0区间I上成立是f(x)在区间I上递增的充分不必要条件，而f′(x)≥0区间I上成立又是f(x)在区间I上递增的必要不充分条件.二者无论用哪个求参数a的范围都有可能出现错误(高中阶段f′(x)≥0得到正确答案的机会很大)，实际上f(x)在区间I上递增的充要条件是“f′(x)≥0且f′(x)只能在有限个离散的x的值处取零”.由于操作起来比较困难，所以我们高中阶段一般这样处理：f(x)在区间I上递增，推出f′(x)≥0区间I上成立，求出参数的取值范围，验证一下等号是否符合题意.

三、导函数的零点就是原函数的极值点

例4(2012江苏高考)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数，1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点．

(1)求a和b的值；

(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2，求g(x)的极值点.

错解(1)a=0,b=-3.解略.

(2)∵ 由(1)得，f(x)=x3-3x,

∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2).

令g′(x)=0，解得x=1或x=-2.

所以g(x)的极值点为1和-2.

错因分析上述解法错误的原因是错误地认为“g′(x)的零点”就是原函数“g(x)的极值点”了.实际上g(x)的极值点一定是g′(x)的零点，但g′(x)的零点并不一定是g(x)的极值点.只有g′(x0)=0且g′(x)的值在x0两侧异号，才能说x0是g(x)的一个极值点.

正解(1)解略a=0,b=-3.

(2)∵ 由(1)得，f(x)=x3-3x,

∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),解得x1=x2=1,x3=-2.

∵当x<-2时，g′(x)<0;当x-20,

∴x=-2是g(x)的极值点.

∵当-21时，g′(x)>0,∴x=1不是g(x)的极值点.

∴g(x)的极值点是-2.

反思若f(x)是可导函数，注意f′(x0)=0是x0为函数f(x)极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右判断单调性.

四、过曲线上一点的切线有且只有一条

错解因为f′(x)=x2，所以k切=f′(2)=4.

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所以切线方程为：y-4=4(x-2),即切线方程为：4x-y-4=0.

错因分析上述解法的原因在于把点P当成了切点，许多同学受圆的切线的概念的影响，错误的认为点P在曲线上，所以一定是切点.由在曲线上某点处的切线的概念我们知道，即使点P在曲线上，它也有可能是切点，有可能不是切点.

解得t=2或t=-1.所以切点为(2,4)或(-1,1).故所求切线方程为：4x-y-4=0或者x-y+2=0.

五、画原函数图象只看极值点

例6(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷)设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.

(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.

错解(1)略.

问题转化为：

所以可以得到函数h(x)的图象(如图1).

正解函数h(x) 的图象应该如图2所示.

由图可知,

导数的引入为研究函数特别是较复杂的函数性质提供新的视角新的方法，特别是在解决函数的单调性、求曲线的切线方程、不等式证明等方面相比初等数学的方法具有很大的优势.但是在应用过程中要正确理解导数的相关概念，注意细节，避免会而不对.