对一类轴对称最值问题的研究性学习

王昌林 罗萍双

摘 要：在研究性学习过程中，将知识与实际应用有机结合，最后达到学以致用，培养学生的应用意识是《标准（2017版）》所提倡的，也是研究性学习在研究成果上的最终目的.从学生认知心理学的角度，研究性学习处于问题的第三层次：问题的解决.通过研究性学习，发展所获得的知识使其能够应用于解决实际问题.

关键词：研究性学习;轴对称;最值

研究性学习是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.研究性学习是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解決数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力[1].

但不是所有的课题都适用于研究性学习，研究性学习也不能完全取代传统教学，研究性学习是对传统教学的补充和发展，注重的是培养学生创新精神和创新能力，提升学生综合素质的一种教学模式.

研究性学习问题的提出主要满足以下四个课题选取的原则：问题题材选取的典型性;问题开展研究的可行性;问题拓展方向的多向性;问题研究成果的应用性.

1 问题呈现

如图1所示，现有两点A，B分别位于直线l两侧，在直线l上求一点P，使得PA+PB最小.

2 问题剖析

2.1 问题题材选取的典型性

（1）“将军饮马”是一个典型的数学模型，数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式[2] .

（2）以该问题为生长点命制了大量中考试题与竞赛题.

（3）具有历史性，有着典型的历史背景.

古希腊的亚里山大里亚城有一位叫海伦的伟大学者，某一天，有位将军不远万里的专程到亚历山大城向海伦求教问题：“自己从一个地方出发到河边饮马，然后再去另外一地军营视察，路线有很多，但是不知道怎样的路线是最短的.”

（4）与物理学科中光的传播路径有着共同之处.

（5）两线段之和的最小值实际上就是数学建模图论中最短路径问题，是运用数学知识解决生活实际问题的典型代表.

2.2 问题开展研究的可行性

（1）难度适中，本问题可以在学生已有知识基础之上进行研究性学习.如图2所示，作点B关于l的对称点B1，连接AB1与直线l相交于点P.

原理：两点之间线段最短，PA+PB的最小值为AB1.

（2）所蕴含的理论知识较为简单，即“两点之间线段最短”.

（3）无硬件设施要求，只需简单的学习工具就可进行研究操作.

2.3 问题拓展方向的多向性

（1）“将军饮马”是数学知识进行实际运用的典型代表，而实际问题中，由于河流的数量、人所处的位置以及外界环境的影响而改变路线等都可能发生，让学生针对改变的量进行相关的推广并利用所学知识作出最优路径.

推广1 将饮马点变成一条线段.

分析 如图3所示，在直线l上求两点，将M与N两点的距离固定为a，转化为求AM+MN+NB的最小值.

结论 求AM+MN+NB的最小值等于MN+A2B的值.

推广2 将点B放在两条平行线组成的河流的对岸.

分析 如图4所示，将河流看成两条平行的直线l1与l2，河中的路线为垂直于河流的垂线段MN，人与景的位置看成点A与点B.转化为求AM+MN+NB的最小值.

结论 求AM+MN+NB的最小值等于MN+A1B的值.

推广3 将河流转变成相交的两条直线.

分析 如图5所示，将河流抽象为两条直线l1与l2，军营抽象为点P.直线l1与l2上两点M与N，最短路线就是求PM+MN+NP的最小值.

结论 求PM+MN+NP的最小值等于P1P2的值.

推广4 在推广3基础上增加点的个数.

分析 如图6所示，将河流抽象为两条直线l1与l2，军营和将军的位置分别抽象为点P与点Q.直线l1与l2上两点M与N，最短路线就是求QP+PM+MN+NP的最小值.

结论 求QP+PM+MN+NP的最小值等于求P1Q1的值.

（2）根据一个问题想到众多实际中可能出现的情况，一个变多个与改变研究对象的状态的思考方式对于问题的本身，找到了不同的情况下对应的处理方式，得到和的最小值.既然有和的最小值，就会有差的最小值或者最大值.

点A与点B在同侧时：

变式1 去河边的距离与饮马后回军营的距离的差的绝对值的最小值.

变式2 去河边的距离与饮马后回军营的距离的差的绝对值的最大值.

点A与点B在异侧时：

变式3 去河边的距离与饮马后回军营的距离的差的绝对值的最小值.

变式4 去河边的距离与饮马后回军营的距离的差的绝对值的最大值.

评注 多个视角下的推广以及变式，让学生可以在不同的变式推导过程中体验到基本量之间的联系，打开学生的思维，完善学生认知结构.

（3）在探究的过程中发现贯穿全部的研究过程中都利用了两点之间直线段最短，改变情景，探究多条河流，例如：若军营处于三条河流交汇的小岛上，要使得军营补给站向每个交汇处的营地发出的补给运输总路程最短.

分析 如图7所示，将河流抽象为三条直线l1，l2与l3，军营补给站的位置抽象为点P，三个警卫营分别为点A、点B与点C.总路程最短就是求PA+PB+PC的最小值.而三点又不是在同一直线上的点，则需将三点放在同一直线上.通过构造等边三角形，利用旋转方式将PA，PB，PC放于同一直线上.当∠APB=∠BPC=∠APC=120°时，就是最短的总路程.其中点P所在的位置为“费马点”.

2.4 问题研究成果的应用性

应用1 （2018年初中数学联赛二试A卷第2（2）题）如图8所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，点C在OA上，AC=4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为点F，求CE+2DE的最小值[3].

评注 本题中通过作辅助线利用相似比，再运用推论4思想可以对问题进行求解.

应用2 如图9所示，将边长为6的正三角形纸片ABC按图9顺序进行两次折叠，展开后得折痕AD，BE（如图10），点O为其交点.

（1）探究AO与OD的数量关系，并说明理由;

（2）如图11，若点P与点N分别在BE与BC上的动点.①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度;②如图12，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值.

评注 本试题中，折痕与边之间的线段长度之和的最小值也就是在研究性学习中推广3与推广4中将河流转化为两边之间的路径最短问题.

本案例用将军饮马的故事引入，打破传统课堂中单调的上课方式，让学生想象将军饮马的各种情境，并学会将其转化为点与线的关系来考虑.改变传统模式促使学生自己动手解决问题.初中学生积累知识比较少，不宜太复杂，而理想状态下的点与线还是可以进行研究性学习的. “将军饮马”是一个非常经典的数学模型，笔者仅以简单的问题形式对研究性学习课题的选取作以具体的阐述，希望能为后续的进一步研究起到抛砖引玉的作用.

参考文献：

[1] 林建平.浅谈高中数学自主探究式教学模式[J].福建教育学院学报，2005（06）：38-39.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3] 荣贺，曲艺.与阿氏圆有关的广义将军饮马问题[J].数学通报，2018，57（08）：48-52.

（收稿日期：2019-10-12）