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对一个抛物线问题的追根溯源

2020-03-27周跃佳

数学教学通讯·高中版 2020年3期
关键词:圆锥曲线抛物线

周跃佳

[摘  要] 文章尝试解决一道抛物线问题并进行推广,从圆锥曲线的角度进行一般化探究,收到了较好的效果,并对圆锥曲线试题的命制提供了更广阔的思路.

[关键词] 抛物线;圆锥曲线;一般化

问题

笔者在新型冠状病毒防控期间的线上答疑时遇到了这个问题,带领学生进行解答探究的同时,对问题追根溯源,得到了圆锥曲线的一般化结论,并对圆锥曲线试题的命制提供了更广阔的思路.

题目:已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F且不垂直x轴的直线与抛物线交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,则 =________.

解答:设直线l为抛物线的准线,过点A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A1,B1,线段AB的垂直平分线交AB于点D. 设AB的倾斜角为θ,过点B作BE⊥AA1,交BE⊥AA1于E. 由抛物线的定义可得:AF=AA1,BF=BB1,所以AF-BF=AA1-BB1=AE.又AD=BD,AF-BF=(AD+DF)-(BD-DF)=2DF,所以AE=2DF,cosθ= = ,从而 = = .

从以上解答过程可以看出,结果与抛物线的方程没有关系,y2=2px中无论p为何值, 结果都为 ,那么这个问题是不是就没有什么研究价值了呢?不然,这个问题背后藏着宝藏!?摇?摇?摇?摇?摇

推广

通过GeoGebra画图软件作图和计算可以发现,在椭圆和双曲线中,相应的 值不再是 ,而是随着离心率e在变化,但在变中蕴藏着不变. 图2中显示的是当椭圆离心率为0.7时, =0.35,图3中显示的是当双曲线离心率为1.34时, =0.67. 可以猜想到: = ,当我们任意变化圆锥曲线时,依然存在以上关系,当曲线为抛物线时,离心率e=1,也适合这个结论.

通过探究我们可以得到圆锥曲线关于焦点弦、焦点弦中垂线的有关性质.

性质1:已知抛物线y2=2px的焦点为F,过点F且不垂直x轴的直线与抛物线交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,则 = = (e为抛物线的离心率).

性质2:已知椭圆 + =1(a>b>0),其中一个焦点为F,过点F且不垂直x轴的直线与椭圆交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,则 = (e为椭圆的离心率).

证明:在△AFF2中,设AF=m,AF2=2a-m,由余弦定理知,

(2a-m)2=(2c)2+m2-4cmcosθ,

化简得:AF=m= ,同理可得:

BF= . 又由于AD=BD,

AF-BF=(AD+DF)-(BD-DF)=2DF,

所以DF= ,

故FC= = ,

而AB= ,所以 = .

也可以利用椭圆的第二定义,类似抛物线的方法证明.

性质3:已知椭圆 + =1(a>b>0),其中一个焦点为F,过点F且不垂直y轴的直线与椭圆交于点A,B,线段AB的垂直平分线交y轴于点C,则 = (e为椭圆的离心率).

性质3类似于性质2可证,此处从略.

性质4:已知双曲线 - =1(a>b>0),其中一个焦点为F,过点F且不垂直x轴的直线与双曲线交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,则 = (e为双曲线的离心率).

由上面的讨论,可以归纳出一般结论:

定理:已知圆锥曲线C,过焦点F且不垂直于坐标轴的直线与曲线C交于点A,B,线段AB的垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点C,则 = (e为圆锥曲线的离心率).

例1:已知圆锥曲线C,过焦点F且不垂直于坐标轴的直線与曲线C交于点A,B,线段AB的垂直平分线和线段AB交于点D,和焦点所在坐标轴交于点C,FC=AD,则该圆锥曲线是(  )

A. 椭圆 B. 双曲线

C. 抛物线?摇?摇 D. 都有可能

例2:已知抛物线y2=2px的焦点为F,过点F且不垂直x轴的直线与抛物线交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,FC=2,求AB.

例3:已知椭圆 + =1(a>b>0),其中左焦点为F,过点F且不垂直x轴的直线与椭圆交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,若FC= AB,求椭圆的离心率.

例4:已知双曲线 - =1(a>b>0),右焦点为F,过点F且不垂直x轴的直线与双曲线交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,若FC=AB,求双曲线的渐近线方程.

圆锥曲线的变化过程中蕴藏着大量不变的关系,老师在指导学生解决问题的同时,不能只停留在问题的表面,应该深挖知识内涵,追根溯源,揭示问题的本质,培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.

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