微专题“余弦定理”的教学设计与反思

王志国

[摘  要] 以余弦定理这个主干知识为节点，引导高一学生多角度探究定理，培养学生逻辑推理、数学运算与直观想象等数学核心素养;通过对余弦定理的鉴赏、对知识进行拓展，进行深度学习，建立多个知识点的联系. 本节微专题得到三点反思：（1）回归公式本源，提升思辨能力;（2）创设问题情境，提高鉴赏能力;（3）提炼解题方法，形成反思能力.

[关键词] 余弦定理;探究;鉴赏;核心素养;反思

本节微专题以余弦定理这个主干知识为节点，引导高一学生多角度探究定理，理解公式的来龙去脉，逐步培养逻辑推理、数学运算与直观想象等数学核心素养.通过对余弦定理的鉴赏、对知识进行拓展，进行深度学习，建立多个知识点的联系，帮助学生建构完善的知识网络，并在问题解决的过程中，逐步完善学生的认知体验，提高分析问题与解决问题的能力[1] .

思维导图

如图1所示.

设计意图：通过思维导图宏观把握余弦定理的知识结构，在教学时采取多角度推导公式、鉴赏公式代数式的结构特点，通过对典型问题的有效变式和问题题组的设置来编制微专题. 在典例剖析中挖掘余弦定理的“生长点”，将教师的预设与学生的生成紧密联系起来，让教学相长和谐发展. 既能向下扎根，夯实学生必备能力，又能向上开花，促进教师专业成长.

来龙去脉

1.在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，利用向量法证明：b2=a2+c2-2accosB.

方法一：因为 = - ，则（ ）2=（ - ）2，即（ ）2=（ ）2+（ ）2-2 · ，即b2=a2+c2-2accosB.

方法二：因为 = + ，则（ ）2=（ + ）2，即（ ）2=（ ）2+（ ）2+2 · ，即b2=a2+c2+2accos（π-B），即b2=a2+c2-2accosB.

設计意图：回归课本，温故知新.对比学习向量的加法与减法运算，关注向量夹角这个易混易错点，突出线性运算转化为数量积运算的意义，通过取数量积将向量关系转化为数量关系，为后面进一步的探究埋下伏笔.

2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用正弦定理证明：a2+c2-2accosB=b2.

方法一：左边=（2RsinA）2+（2RsinC）2-2（2RsinA）（2RsinC）cosB

=（2R）2（sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB）

=（2R）2[sin2A+sin2C+2sinAsinC·cos（A+C）]

=（2R）2[sin2A+sin2C+2sinAsinC·（cosAcosC-sinAsinC）]

=（2R）2（sin2A+sin2C+2sinAsinC·cosAcosC-2sin2Asin2C）

=（2R）2[（sin2A-sin2Asin2C）+（sin2C-sin2Asin2C）+2sinAsinCcosAcosC]

=（2R）2[sin2A（1-sin2C）+sin2C（1-sin2A）+2sinAsinCcosAcosC]

=（2R）2（sin2Acos2C+sin2Ccos2A+2sinA·sinCcosAcosC）

=（2R）2（sinAcosC+sinCcosA）2

=（2R）2[sin（A+C）]2

=（2RsinB）2

=b2=右边.

所以a2+c2-2accosB=b2.

方法二：右边=（2RsinB）2，接下来是方法一的逆运算，过程略.

设计意图：方法一化繁为简，方法二由简到繁，提高学生综合应用知识的能力，在问题解决的过程中，培养逻辑推理与数学运算等数学核心素养.

典例剖析

例1：△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形的两边a，b为一元二次方程x2-3x+1=0的两个根且夹角C为60°，求三角形的周长.

解：因为两边a，b为一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，则a+b=3，ab=1.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC=6，即a+b+c=3+ ，即三角形的周长为3+ .

设计意图：鉴赏余弦定理的结构特点，通过配方，达到“设而不求，整体代换”的效果，在潜移默化中启发学生观察代数式的结构特点，等价变形，将未知转化为已知，帮助学生弄懂算理，提高运算能力.

例2：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 = .

（1）求角A;

（2）若a=2 ，求三角形周长的最大值.

解：（1）因为 = ，则（2c-b）cosA=acosB.

由余弦定理可得（2c-b） =a ，

（2c-b）（b2+c2-a2）=b（a2+c2-b2），

2cb2+2c3-2ca2-b3-bc2+ba2=ba2+bc2-b3，

cb2+c3-ca2-bc2=0，

c（b2+c2-a2-bc）=0 ，

即b2+c2-a2=bc.

于是cosA= = = ，且A∈（0，π），所以A= .

（2）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

则a2=b2+c2-bc，

即a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3 2，当且仅当b=c时，等号成立.

即解得b=c=2 ，所以三角形周长的最大值为6 .

设计意图：进一步鉴赏余弦定理的结构特点，通过引导学生观察代数式，培养直观想象数学核心素养，联想到基本不等式，帮助高一学生建立起这两个知识点之间的联系.

例3：在△ABC中，∠ACB=60°，BC>2，AC=AB+1，当△ABC的周长最短时，BC的长是________.

解：依题意可得∠ACB=60°，a>2，b=c+1.

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+（c+1）2-2a（c+1）cosC，

即a2+2c+1-a（c+1）=0，

即（a-2）c=a2-a+1，

即c= .

于是周长L=a+b+c=a+2c+1=a+2× +1.

设t=a-2，t>0，

则L=（t+2）+2× +1

=（t+2）+2× +1=3t+ +9

=3t+ +9≥2 +9=6 +9.

当且仅当3t= ，即t= 时，等号成立.

此时a=2+ ，即BC的长是2+ .

设计意图：提高问题的难度，培养学生的分析问题与解决问题的能力，在对代数式的鉴赏中，熟练运用必备的知识和方法解决问题，逐步提升解题的经验与感悟，特别是通过余弦定理建立等量关系再代入消元的解题策略，无疑是对高一学生提出挑战.

教学反思

反思一：回归公式本源，提升思辨能力

笔者布置了一道练习题：“在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则 · 的值为________.” 学生都用余弦定理求角B的余弦值，再利用向量数量积公式求解. 错误率较高，分析原因，发现学生误将角B当作 与 的夹角. 若学生能回归余弦定理推导的本源，则只需利用三角形法则，写出 + = ，再将等式两边同时平方，即可以解决问题. 学生暴露出的问题就是本节微专题设置“来龙去脉”的触发点，希望提醒高一的学生不要死记硬背公式，要多理解并自发推导公式，从而达到理解公式的精髓，在解决问题时，多思少算，做到举一反三，并能“得意忘形”.

新课标指出：“高中阶段至少应安排一次较为完善的数学探究、数学建模活动.”笔者以这次微专题为契机，引导并鼓励学生进一步探究余弦定理的证明方法，并将正弦定理、射影定理和余弦定理联系起来[2].  证法如下：

因为 = - ，则 · =（ - ）· .

由 · = · - · 可得c2=accosB-bccos（π-A），

即c=acosB+bcosA（射影定理）.

由c-acosB=bcosA可得（c-acosB）2=（bcosA）2，

c2-2accosB+a2cos2B=b2cos2A，

c2-2accosB+a2（1-sin2B）=b2（1-sin2A），

c2-2accosB+a2-（asinB）2=b2-（bsinA）2，

a2+c2-2accosB+（bsinA）2-（asinB）2=b2.

由正弦定理可得bsinA=asinB，于是a2+c2-2accosB=b2.

反思二：创设问题情境，提高鉴赏能力

百度百科对鉴赏的解释是，鉴赏是对文物、艺术品等的鉴定和欣赏. 人们对艺术形象进行感受，理解和评判的思维活动和过程. 人们在鉴赏中的思维活动和感情活动一般都从艺术形象的具体感受出发，实现由感性阶段到理性阶段的认识飞跃，既受到艺术作品的形象、内容的制约，又根据自己的思想感情、生活经验、艺术观点和艺术兴趣对形象加以补充和丰富. 运用自己的视觉感知、过去已经有的生活经验和文化知识对美术作品进行感受、体验、联想、分析和判断，获得审美享受，并理解美术作品与美术现象的活动.

笔者谈谈对通过cosC= 求余弦值的鉴赏：（1）知道三边a，b，c的数值;（2）不知道三边a，b，c的数值，但是知道它们之间的比值;（3）将a2+b2-c2和2ab看作两个整体，知道它们的比值;（4）观察发现a2+b2和2ab，联想到重要不等式a2+b2≥2ab. 引导高一学生从这四个角度鉴赏余弦定理，帮助学生获得解題的方向与思路，同时启发学生发现多角度的本源是分式运算的不变性.

笔者有目的地引导高一学生多角度探究余弦定理，并通过对余弦定理的鉴赏，不但能使学生深刻理解余弦定理，更有效地提高学生探索发现和直观感知的能力，而且也是有效地形成学生逻辑推理、数学运算与直观想象等数学核心素养的重要途径.

反思三：提炼解题方法，形成反思能力

笔者根据本节微专题的主干知识，在例2的解题过程中都是利用余弦定理，主要目的还是突出对余弦定理的鉴赏与运用，但是对例2的探究并没有结束，特别是对第（2）问的探究.思路1：由正弦定理可得 = = =4，则b=4sinB，c=4sinC，即周长L=a+b+c=2 +4sinB+4sinC.思路2：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，则a2=b2+c2-bc，即a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3 2. 思路3：根据圆的几何性质可得，点A在弦长为a=2 所对的优弧上运动，当点A运动到优弧中点时，三角形的面积最大，即周长也取得最大值.

反思：“通性通法”与“最优解法”，笔者将这些解题思路用表1呈现，通过对比学习才能帮助学生具体问题具体分析，真正做到一题多解、多题一解，有的放矢[3].

本节微专题结合高一学生的认知规律和情感体验，在他们的“最近发展区”设置问题，激励他们跳一跳，鼓励他们尝试与探索. 在解题鉴赏中，潜移默化地启发他们的数学思维，培养他们的数学核心素养.

参考文献：

[1]  吴志鹏. 余弦定理 不得不知的奥秘[J]. 中学数学教学，2019（01）：41-43.

[2]  尤新建. 合理创设问题情境 发展数学核心素养——余弦定理的教学案例设计[J]. 中学研究（数学），2018（12）：22-25.

[3]  丁益民. 数学公式教学：促进深度理解的几个路径[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2018（12）：69-71.