微分近似视角下看一类“起点”恒成立问题的命制与对策
2020-03-27祁国伟
祁国伟
[摘 要] 在利用函数研究不等式、零点问题的教学上教师经常觉得时间投入与产出不对等，如果能够在CAP视角下进行微分近似分析与计算，能有效提高学生的学习有效性、培养数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养.
[关键词] CAP;微分近似;核心素养
函数与导数应用是高考中的热点，也是难点，特别是含指对数等的超越不等式恒成立问题因为常涉及参数讨论、指对数的繁杂运算等使得学生不易接受，导致基本放弃此类问题，究其原因是参数的存在导致无从下手，其次超越数的参与影响了运算. 笔者在本课题的教学实践中发现如果从微分近似的视角看待这些函数的命制背景，对函数的图像做局部微观分析，寻找参数可能的取值范围，进而得出结论或部分结论，能使问题得到有效解决，特别是在常见的一类恒成立问题上行之有效，学生的思维高度也会上一个台阶. 下面从几个高考真题来谈谈一类“起点”恒成立问题的命制与解题对策. 为了方便讨论，本文中的函数都是定义域内的连续可导函数.
引理：若不等式f（x）>0在区间（a，+∞）上恒成立且f（a）=0，则必有f′（a）≥0.
证明：利用反证法. 假设结论不成立，则f′（a）<0，因为f′（a）为常数，故可设f′（a）=m<0.
因为导函数f ′（x）在x=a处连续，所以可取ε=-m>0. 由连续定义可知，必存在δ>0，使得当x-a<δ时，都有f′（x）-f′（a）<ε，即当x∈（a，a+δ）时，f′（x）
限于高中的知识储备，教学上并不需要对引理进行严谨的证明，其实从微分近似的几何直观上看这个引理很容易理解，函数f（x）在区间的起点处函数值刚好为0，要使得函数在区间上的函数值恒大于0，则在图像起点附近函数值必然没有负值，即一定单调不减，故f′（a）≥0. 需要注意的是f′（a）≥0只是不等式f（x）>0在区间（a，+∞）上恒成立的必要条件，充分性還需要进一步证明. 教学中发现这种解题方法学生很容易接受，同时能避开烦琐的参数讨论及运算，为方便说明，不妨称此类不等式恒成立为“起点”恒成立.
例1：（2016全国Ⅱ文）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若当x∈（1，+∞）时，f（x）>0，求a的取值范围.
分析：标准答案的解法需要讨论参数a，学生不易掌握，也讨论不全.利用引理巧解如下.
解：f ′（x）=lnx+ +1-a. 因为当x∈（1，+∞）时，f（x）>0且f（1）>0，所以f ′（1）=2-a≥0，解得a≤2.
下面证明当a≤2时，不等式f（x）>0在（1，+∞）上恒成立，此时f ′（x）=lnx+ +1-a≥lnx+ -1. 记g（x）=lnx+ -1，x∈（1，+∞），则g′（x）= >0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）>g（1）=0.
f ′（x）=lnx+ +1-a≥g（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）>f（1）=0.
综上：a的取值范围是（-∞，2].
总结：本例的解法是基于引理的起点恒成立问题，分两步完成，先得到不等式恒成立的必要条件f ′（1）≥0，从而限制参数a的取值范围是（-∞，2];再证明充分性，只需考虑a≤2的情况即可，从而可以通过放缩a转化为不含参数的不等式证明. 从解法中可以看到避开了参数讨论和烦琐的指对数运算. 当然这种解法并不是非常严谨，但不失为一种有效的解决方法.
命题背景分析：从解法中可以看到f′（1）≥0只是f（x）>0恒成立的必要条件，换句话说此时得到的参数a的取值范围有可能太大，解题时怎么知道充分性一定是对的呢？事实上本题中的函数模型是下凸函数，这种模型可以使得f ′（x）单调递增，从而得到f ′（x）恒为非负数，原函数f（x）一定在区间（1，+∞）上单调递增，从而不等式恒成立.
引理的推论：如果下凸函数f（x）满足f（a）=0且在（a，+∞）上有定义，则不等式f（x）>0在区间（a，+∞）上恒成立的充要条件是f ′（a）≥0.
证明：由引理可知必要性是正确的，下面只需证明充分性. 因为f（x）在（a，+∞）上是下凸函数，所以f ′（x）在（a，+∞）上是增函数，则f ′（x）>f ′（a）=0，所以f（x）在（a，+∞）上是增函数，则f（x）>f（a）=0，命题得证.
这个推论也给教师在命制这类起点恒成立问题时提供了一类非常理想的函数模型. 命题时应该有意识地选择这类函数便于参数的确定，有效控制题目难度. 事实上在各地质检卷、高考真题，乃至竞赛中都能看到大量这类起点恒成立问题.
例2：（2017全国Ⅱ文）设函数f（x）=（1-x2）ex，当x≥0时，f（x）≤ax+1，求实数a的取值范围.
解：原不等式等价于（x2-1）ex+ax+1≥0，记g（x）=（x2-1）ex+ax+1.
因为g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立且g（0）=0，所以g′（0）>0，
g′（x）=（x2+2x-1）ex+a，故g′（0）=a-1≥0，解得a≥1.
下面证明当a≥1时，原不等式恒成立.
此时g′（x）=（x2+2x-1）ex+a≥（x2+2x-1）ex+1.
记h（x）=（x2+2x-1）ex+1，h′（x）=（x2+4x+1）ex>0在[0，+∞）上恒成立，
故h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=0，所以g′（x）≥h（x）≥0.
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）=0.
综上：实数a的取值范围是[1，+∞）.
命题背景分析：可以看到本题的函数背景与2016全国Ⅱ文的函数背景如出一辙，设问方式也基本一致，如果学生能利用引理巧解，将大大降低本题的难度. 基于引理的推论函数模型，也能为我们教师在编制题目上提供了一定的思路. 比如可以将例2改编成例3.
例3：已知函数f（x）= ax2+ax+1e-x，如果对任意x≥0，f（x）≤x+1恒成立，求实数a的取值范围.
本题正面讨论的难度在于a为什么要与2比较，其实利用起点恒成立模型很容易确定出a的取值范围，讨论就是很自然的事情，此处略过，下面说明一下利用引理的解法.
解：f（x）≤x+1即为（x+1）ex- ax2-ax-1≥0，令g（x）=（x+1）ex- ax2-ax-1，
则g′（x）=（x+2）ex-ax-a.
因为g（x）≥0在区间[0，+∞）上恒成立，且g（0）=0，
所以g′（0）≥0，解得a≤2.
下面证明当a≤2时，原不等式成立.因为a≤2且x+1>0，所以a（x+1）≤2（x+1）.
此时g′（x）=（x+2）ex-ax-a≥（x+2）ex-2x-2.
記φ（x）=（x+2）ex-2x-2，则φ′（x）=（x+3）ex-2，φ′′（x）=（x+4）ex>0在[0，+∞）上恒成立，故φ′（x）在[0，+∞）上单调递增，则φ′（x）≥φ′（0）=1>0，
所以φ（x）在[0，+∞）上单调递增，则φ（x）≥φ（0）=0，所以g′（x）≥φ（x）≥0.
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，则g（x）≥g（0）=0.
综上：实数a的取值范围是（-∞，2].
从上面例子可以看到它们都运用微分近似思想，考虑起点附近的图像形态，使问题得到解决，利用这个思想，有时我们也可以将函数图像在某点附近近似为其切线，使函数局部变为有理函数，减少计算量，特别是在选填题中非常有效，即加深了直观想象，又强化了逻辑推理，还渗透了高等数学的基本思想.
例4：（2016全国Ⅰ文）若函数f（x）=x- sin2x+asinx在（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. [-1，1] B. -1，
C. - ， D. -1，-
解：考虑函数y=sinx在x=0处的切线可知在x=0附近sinx≈x，所以在x=0附近f（x）=x- sin2x+asinx≈x- x+ax=a+ x. 要使得函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则必要条件是近似图像y=a+ x不能递减，即a+ ≥0，所以a≥- .
但是需要注意的是这只是它的必要条件，只是本题已经可以选择答案了.因为由必要性排除了ABD三个选项，所以答案就是C. 它的命题背景应该是基于泰勒展开式，因此很多同行强调高数中泰勒展开式的应用.笔者以为，在高中阶段不宜过分强化泰勒展开式，也没有必要. 其实我们只要从微分近似观点下得到函数的近似切线，即我们可以从图形直观得到其结论就可以. 有兴趣的同行可以参考MIT的公开课《单变量微积分学》，有非常详细的近似计算的说明和案例，也可以让学生观看，作为大学先修课程的一种教材.
从教学实践来看，在大学先修课程视角下微分近似并不需要很多的微积分定理，更多的是微观分析的思维，这也使得学生易于接受，上面几个例子就是很好的案例. 同时这种微分近似视角也为教师在命题上提供了理论支撑和命制技巧.
