核心素养导向的数学评价研究

2020-03-27李向婷

数学教学通讯·高中版 2020年3期

关键词：高考数学课程标准核心素养

李向婷

[摘要] 文章以2019年高考数学全国Ⅱ卷为例，分析学生核心素养在高考数学试题中的考查情况，对核心素养的考查呈现出以基础为载体，对多个素养综合性考查以及六大素养考查不均衡等特点.

[关键词] 课程标准;高考数学;核心素养

引言

2017年教育部颁布《普通高中数学课程标准（2017年版）》，并指出数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析[1]. 每一个素养都对应划分成了3个水平，其中高考数学命题水平依据主要参照水平二.

在已有研究中，对数学学科核心素养内涵[2-5]、构成要素及特征[6-8]、教学培养[9-13]的研究较多，较少有对数学核心素养的测评研究，且集中于初中学段，高中学段甚少. 如殷容仪、周雪兵、李贺等人分别对初二年级学生进行测试，分析出六大数学核心素养的现状结果[14-19]. 李作滨分析高考中数学核心素养的考查情况以2018年高考为例[20]. 陈影等人例析高考试题对数学核心素养的考查，以2016年四川省高考数学卷为例[21]. 本文从数学核心素养视角例析高考数学试题，以2019年高考数学全国Ⅱ卷为例，以窥探数学全国Ⅱ卷如何考查核心素养，进一步探析对数学核心素养的考查呈现出的特点.

研究对象

1. 研究对象的选取

全国Ⅱ卷适用范围省（市）包括重庆等共计10个省（市），且涵盖内蒙古、宁夏和新疆等以少数民族为主的地区，覆盖地区范围广、民族多样，2019年使用人数约达197万，因此选取高考数学全国Ⅱ卷具有一定的代表性.

2. 研究对象的结构特征

使用全国Ⅱ卷的10个省（市），仅重庆和辽宁于2018实行新一轮的高考综合改革，故2019全国Ⅱ卷仍然有文理卷之分.数学全国Ⅱ卷与2018年相比结构不变，各部分所占分值比例保持不变.但文理同题情况有所改变，详情见表1.

从表1可知，2019年高考数学全国Ⅱ卷文理同题共有9道，分值达56分，占总分的37.3%，相對较高. 进一步分析表1发现，文理科相同题目的设置集中在以选择题为主的客观题，但所处位置有所不同，这也体现文理卷为适应不同学生难度的不同.

核心素养的考查分析

1. 直观想象素养

直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养[1]. 全国Ⅱ卷中有多题对学生直观想象素养的考查，如理数第7、11、16、17题，文数第12、16、17题等，下面以理数第11题为例进行说明.

（5分，理数第11题）设F为双曲线C： - =1（a>0，b>0）的右焦点，O为原点坐标，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点，若OF=PQ，则C的离心率为（）

A. B.

C. 2 D.

解析：依题意作出图形，如图1所示.

图1

设M为圆心，因为OF=PQ且F为右焦点，所以OM=MP= . 又因为点P在圆x2+y2=a2上，所以OP=a. 故在Rt△OMP中有OM2+MP2=OP2，即

+ =a2，整理得出e= .

本题考查双曲线离心率的求法，根据题干之意得出图1所示的示意图，这样做就将数形之间的联系以及数学问题的直观模型构建出来，进而探索出将双曲线离心率问题放到Rt△OMP中得出含有a，c的等式的问题解决思路.学生不仅要掌握关于双曲线、圆的基本知识点，还要将数学文字语言转化为几何图形，借助几何直观去理解问题，故该题是一道从基础知识点出发的综合性题目，但偏重于对直观想象素养的考查，从侧面也反映出高考数学对核心素养的考查是以基本知识技能为载体的.

2. 数学抽象素养

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养[1]. 数学学科是培养学生抽象思维能力的主要学科，全国Ⅱ卷有多题对数学抽象素养进行考查，如理数第16题.

（5分，理数第16题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或者圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信是“半正多面体”（图2）. 半正多面体是由两种或者两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美，图3是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正面体共有______个面，其棱长为______. （本题第一空2分，第二空3分.）

解析：（1）由图3可以得到上层8个面，中层8个面，下层8个面，上下底各1个面，共26个面.

（2）作出该几何体的截面图，如图4所示，若设棱长为a，则CD= ，CE=a.又△CDE为等腰直角三角形，则 × =a，解得a= -1，则棱长为 -1.

图4

此题考查学生的阅读理解和空间想象能力.第1空的关键是抓住题干的“对称”二字，即可数出面数，在这个过程中让学生进一步感受了数学的对称美.对数学抽象素养的考查体现在第2空中需要从图3中抽象出图4的截面图，这是解题的关键，把立体的图形抽象出来放在平面几何中研究是解决立体几何的重要手段.此外该题将5分拆成2分+3分，使不同程度的学生拿到不同分数，具有更好的区分度，摆脱以往高考填空压轴题一个空，大部分学生拿不到分的局面.此题不仅考查数学抽象，还重点考查了直观想象的素养，是一道综合性题目，对学生的抽象思维和空间想象思维要求较高.

3. 逻辑推理素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养[1].全国Ⅱ卷中理数第6、12、17、19、21题，文数第5、17、21题等都是对学生逻辑推理的考查，以文数第5题为例进行说明.

（5分，文数第5题）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙

C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙

解析：由题知，甲>乙，丙>乙且丙>甲，丙>乙. 因仅1人正确，故需分3种情形进行讨论：①若甲正确，乙丙均错;②若乙正确，甲丙均错;③若丙正确，甲乙均错. ①若甲正确，乙丙均错，则乙丙的否定就正确. 乙的否定为：丙≤乙或丙≤甲，丙的否定为：丙≤乙，又甲>乙，故三者同时成立为：甲>乙>丙，即选A. 同理得到②③种情形出现矛盾，故不成立.

此题以命题等学科知识为载体，要求学生能够利用题目中给出的已知条件，将问题分为3种不同的情况分别进行逻辑推理，进而判断是否符合题意. 首先学生要有严谨分类讨论思想，其次使用逻辑“错误的否定为正确”进行推理，这些思想贯穿数学课程学习的始终，有利于培养学生全面思考问题的思想意识.该题既落实了对逻辑推理素养的考查，又于无形中培养了学生的爱国情怀.

4. 数学建模素养

数学模型是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养[1]. 纵观发达国家（如新加坡、美国）的数学课程，不难发现都非常强调学生对知识的应用，强调对数学问题的解决，而培养学生解决问题的能力主要的方式就是通过数学建模，在建模的过程中应用所学知识.

在2018年的全国Ⅰ卷文科数学中没有重点考查数学建模素养的解答题[20]，但理科数学中有一道解答題. 经过对2019年的全国Ⅱ卷文理卷分析可见，均无以考查数学建模素养为主的解答题，这与新课程标准对数学建模素养的重视存在矛盾，可能是与新课程标准的实施还处于衔接状态的缘故，在接下来的高考试卷中可能会加大含数学建模素养题目的比例，使得对核心素养的考查更加全面.

5. 数学运算素养

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养[1]. 虽数学就是计算这种认识有偏差，但计算是学习数学的伊始，故会精准运算是数学学习的基本功和必备素养，高考中除理数第7题外，对数学运算素养的考查是题题覆盖，处处渗透，仅有运算难度不同.

简单运算的考查例如文理数第1、2、3题等，运算步骤多、稍复杂需要一定的运算技巧的如文理数第20、21题等，就理数第21题具体说来考查的是椭圆的定义及性质相关知识点，以考查数学运算素养为主，对（2）问的解答方式多种多样，可采用直接法、向量法、椭圆的圆周角定理、整体代入韦达定理法、点差法等. 运算过程中学生需要进行多步运算，首先要确定合理的运算思路，根据题意设方程等，进行含有参数的运算整理，进一步表示所需要的结论，计算量偏大，运算过程较复杂，也需要一定的运算技巧，是一道难题.

6. 数据分析素养

数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识素养[1]. 当今是大数据时代、“互联网+”的时代，因此数据分析的应用已经深入社会生活的各个阶层和领域，是当今及未来社会人人都应该拥有的一种关键能力. 下面以理数第5题进行说明.

（5分，理数第5题）演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分. 评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分. 7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）.

A. 中位数 B. 平均数

C. 方差 D. 极差

该题从生活中熟悉的情景出发，考查学生对数据的数字特征的基本认识和含义，该题的考查有别于以往给定一组简单数据进行计算，而是从对数字特征本质理解的角度进行考查，更能深入地考查学生对数据的分析和认识.进一步分析发现，文数有对数据分析考查的解答题，而理数没有，理科卷对数据分析的考查集中在选择题和填空题.

核心素养考查的特点分析

通过对2019年全国数学Ⅱ卷核心素养的考查分析，可以发现数学学科核心素养在高考的考查中呈现以下特点：

（1）对核心素养的考查仍然注重基础知识、基本技能、基本数学思想以及数学活动经验，以集合、函数、平面向量、数列等多章的基础知识点为载体进行考查，以真实的情景为依托，结合我国发展建设题材，更加灵活地考查学生对知识点理解而不再仅注重记忆的考查. 新一轮课程改革的逐步实施，将更加灵活把握试卷结构，对题目的设置更加具有层次性，从而实现对学生核心素养的灵活考查，更好地发挥核心素养导向的育人功能.

（2）对六大数学核心素养的考查并不是独立的. 在一道题目中相互交叉融合考查多个核心素养，主要集中在解答题的立体几何和解析几何题目、选择题及填空题的压轴题等. 在整体上突出了六大核心素养的综合性考查，也反映出高考试题的综合性特点.

（3）对六大数学核心素养的考查存在不均衡的现象. 其中考查最多的是数学运算，较少考查的是数据分析，最少的是数学建模且今年的Ⅱ卷中几乎不涉及.

（4）对六大数学核心素养的考查文理卷的侧重点不同. 文理同题数量为9道，与2018年同题8道相比有所增加[20]，这也进一步说明文理卷命题更加趋于统一化，对核心素养的考查将趋向于统一化，进一步为新高考数学不分文理科的命题做探索.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 孔凡哲，史宁中. 中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J]. 教育科学研究，2017（06）.

[3] 洪燕君，周九诗，王尚志，等. 《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询——访谈张奠宙先生[J]. 数学教育学报，2015（03）.

[4] 吕世虎，吴振英. 数学核心素养的内涵及其体系构建[J]. 课程·教材·教法，2017，37（9）.

[5] 桂得怀，徐斌艳. 数学素养内涵之探析[J]. 数学教育学报，2008（05）.

[6] 喻平. 数学学科核心素养要素析取的实证研究[J]. 数学教育学报，2016，25（6）.

[7] 蔡金法，徐斌艳. 也论数学核心素养及其构建[J].全球教育展望，2016，45（11）.

[8] 陈六一，刘晓萍. 小学数学核心素养要素分析与界定反思[J]. 中小学教师培训（中学版），2016（05）.