问渠那得清如许，为有源头活水来

钟小华 李国青

[摘  要] 2019年高考理科数学全国卷Ⅰ第22题源于教材却高于教材、活于教材，内涵丰富、综合性强、解法多样.教材是高考命题之源、课堂教学之本，在教学中应立足教材，用透教材，不断提高学生的思维能力和解决问题的能力.

[关键词] 数学;分析;探究;反思;教材

试题呈现

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x= ，y= （t为参数）. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ ρsinθ+11=0.

（1）求C和l的直角坐标方程;

（2）求C上的点到l距离的最小值.

试题分析

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，及求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.看似一道常规的基础题，实际上却内涵丰富、综合性强、解法多样，是专家们经过精心思考设计出来的“教材变式题”，源于教材却高于教材、活于教材.

教材題源1：（人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4》第26页习题2.1第4题）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

（3）x=t+ ，y=t- （t为参数）.

教材题源2：（人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》第47页例7）已知椭圆 + =1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

教材题源3：（人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4》第28页例1）在椭圆 + =1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.

本题的难点是第（1）问“把参数方程化为普通方程”.无论用代入消参法，还是用加减消参法，直接消参都非常困难;代入法需要在变形后进行整体代换，加减法也需要变形才能消参，三角代换的技巧性就更强了. 对于大多数没有真正灵活掌握这些方法的学生来说，就只能望题兴叹了，或者在死胡同里兜来兜去出不来.

解法探究

本题第（1）问中“把参数方程化为普通方程”的方法主要有三种：代入消参法、加减消参法、三角代换消参法，在消参过程中应注意变量x，y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围来确定x，y的取值范围.

思路分析1：代入消参法，就是利用方程思想，解出参数的值，再代入另一个方程消去参数的方法. 因为题中的x，y都是关于t的二次式，直接解出t比较困难，要通过整体代换先化为t的一次式，再进行消参.

解法一：由x= = = -1，得：x+1= ，又y= =2t· =2t（x+1），所以t= ，代入y= ，化简得：x2+ =1.

又因为x= -1≠-1，所以C的普通方程为x2+ =1（x≠ -1）.

解法二：由x= = =1- =1- · =1- ，得：t= ，

代入y= ，化简得：x2+ =1，以下同解法一.

解法三：由x= 得：t2= ，代入y= ，得：t= ，以下同解法一.

解法四：由x= ，得：t2= ，由y= ，得：y2= = ，化简得：x2+ =1，以下同解法一.

思路分析2：加减消参法，就是根据参数方程本身的结构特征，通过变形，构造整体加减来消去参数.

解法五：由y= ，得： = ，所以x2+ 2=  +  = = =1，即x2+ =1，（以下同解法一）

思路分析3：三角代换消参法，就是利用三角函数基本关系式sin2θ+cos2θ=1消去参数θ.

解法六：令t=tanθ，则x= = = =cos2θ-sin2θ=cos2θ，y= = = =2sin2θ，所以x2+  =（cos2θ）2+（sin2θ）2=1，即x2+ =1，以下同解法一.

本题第（1）问中“把极坐标方程化为直角坐标方程”就比较简单了，直接利用x=ρcosθ，y=ρsinθ就可化为2x+ y+11=0.

本题第（2）问中“求C上的点到l距离的最小值”的方法主要有两种：切线法和参数方程法.

思路分析1：切线法，即联立椭圆方程和平行于已知直线的直线方程，组成方程组，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，当判别式Δ=0时，直线与椭圆相切，此时两平行线间的距离即为椭圆上的点到直线的最短（长）距离.

解法一：设与直线l平行，且与曲线C相切的直线为2x+ y+a=0，把x=- y- 代入x2+ =1（x≠-1），化简得y2+ ay+ -1=0，由Δ= a2-4×1× -1=- +4=0，得：a=4或a=-4，曲线C上的点到直线l距离的最大值或最小值为d= = ，

所以当a=4时，d取得最小值为 .

思路分析2：参数方程法，就是用椭圆的参数方程表示椭圆上的点，把点到直线的距离转化为三角函数的最值问题求解.

解法二：由（1）得：曲线C的方程为x2+ =1（x≠-1），化为椭圆的参数方程得：x=cosα，y=2sinα （α为参数，-π<α<π）.

设曲线C上任一点P（cosα，2sinα），则点P到直线l的距离为

d= = ，

所以，当sinα+ =-1，即α=- 时，d取得最小值为 .

问题反思

根据笔者对考生的调查了解，多数学生在解答此题时都遇到了困难，浪费了不少时间却“竹篮打水一场空”;只有少数真正熟练掌握消参法的考生才能成功完成解答.为什么一道“教材变式题”难倒了不少考生？造成考生“懂而不会，会而不对的”的根本原因是什么？是高考命题难度高，还是考生掌握不达标？这些问题引起笔者的深刻反思. “教材变式题”不会做的根本原因是在平时的教学中教师没有吃透教材、用透教材.教材是高考命题之源，很多高考题是对教材例题、习题的变形改造、移植加工而成，源于教材却高于教材、活于教材.教材更是课堂教学之本，是引领学生掌握知识、训练思维、提高能力的“主战场”，是考生为决战高考而厉兵秣马的“大本营”.

1. 立足教材，打下坚实的数学基础

学习始于疑问. 教材通过适当的问题情境，引出需要学习的数学内容，然后在“观察”“思考”“探究”等活动中，引导学生自己发现问题、提出问题，通过亲身实践、主动思维，经历不断地从具体到抽象、从特殊到一般的抽象概括活动来理解和掌握数学基础知识，打下坚实的数学基础. 只有打下坚实的数学基础，才能真正进入数学学习的殿堂，在数学的题海中遨游. 有些教师功利性太强，对教材的使用率比较低，他们认为学习数学就是为了解题、为了考试，往往简单介绍一下教材的公式、性质、定理等，就进行大量的解题训练. 他们不注重数学知识的构建过程，看似攻下了眼前的“一城一池”，从长远来看，随着数学知识的越积越多，遗忘的知识、模棱两可的知识也越来越多，慢慢就会进入数学学习的恶性循环.只有立足教材，充分利用好教材的各个学习环节，尽量让学生主动完成数学知识的建构并慢慢形成知识网络，打下坚实的数学基础，才能把数学越学越好.

2. 立足教材，不断提高数学思维能力

学而不思则罔.只有通过自己的独立思考，同时掌握科学的思维方法，才能真正学会数学.教材利用数学内容之间的内在联系，特别是蕴含在数学知识中的数学思想方法，启发和引导学生学习类比、推广、特殊化、化归等数学思考的常用逻辑方法，让学生学会数学思考与推理，不断提高数学思维能力. 在教学过程中，教师应该立足教材，注重本质，教会学生如何思考，培养其思维的广阔性，提高其思维的敏捷性和灵活性，最终提高学生分析问题、解决问题的能力. 真正实现罗增儒先生倡导的“通过有限的典型例题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智”.

如在《参数方程和普通方程的互化》的教学中，针对教材中的例3（人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4》第25页），教师往往在讲授完“把参数方程化为普通方程”的三种方法后，布置习题2.1第4题作为课后作业，就当完成教学任务，发现作业问题，也是简单点评一下就过去了，学生下次再遇到这样的题目还是不会做.如果，教师在课前预设到学生在解决习题2.1第4题中可能存在的问题，创设情境引导学生进行变式探究，效果可能就完全不一樣.

在解完例3后，教师可引导学生归纳总结“把参数方程化为普通方程”的三种基本方法，然后尝试完成如下变式练习.

变式1：把参数方程化为普通方程：x=t+ ，y=t- （t为参数）.

变式2：把参数方程化为普通方程：x= ，y= （t为参数）.

通过变式练习，教师可引导学生掌握需要“整体代换”或“特殊构造”的消参方法;还可引导学生总结常见的加减法消参关系式：①t+  -t-  =4，②  +  =1，进而引导学生总结出形如x=at+ ，y=bt- （t为参数）和x=a ，y=b （t为参数）的参数方程都可应用以上两个消参关系式. 学生把总结提炼出的方法迁移到以后的解题活动中，就会触类旁通，得心应手.

3. 立足教材，学会解决实际数学问题

学习的目的在于应用. 教材中提供了许多应用数学知识解决各种数学问题的机会，让学生加深对数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，学会用数学知识和方法解决一些实际问题. 高考不断加强对学生应用意识和实践能力的考查，应用题在高考中的比例在逐年提高. 在教学中，教师不能忽视教材中“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”，应结合学校和学生实际，适当开展数学探究活动. 在探究式课堂教学中，学生是学习的主体，学生在教师的指导下用类似科学研究的方式解决数学问题，体验数学发现和创造的历程，从而培养学生的探究精神和创新意识，不断提高学生解决实际数学问题的能力.

“问渠那得清如许，为有源头活水来”. 高考命题的“源头”就是教材，只有立足教材，用活教材，学生的脑海中才有“活水”，才能在高考中思路清晰，作答如流. 教学中应立足教材，吃透教材，以教材为教学的根本，引导学生积极思考，真正掌握教材中蕴含的数学知识、数学方法，提高数学应用能力，只有这样才能在高考中立于不败之地.