“形同质异”题组“对对碰”——例析函数中易混淆问题

张桂华

(云南省红河州蒙自市第一高级中学 661199)

高中数学中有好多形式相同但实质不同的题目，它们有的语言表述的相似度很高，但解题方法却截然不同，学生在处理这类问题时，稍不留神就会犯下一些“美丽”的错误，带来一些负面影响.特别是对函数章节中的有些问题，同学们总是容易混淆，这就要求教师在平时的教学中，引导学生对这类题仔细加以区分，培养学生的审题能力，辨析能力和慎思的学习品质，提高对数学本质问题的理解.下面是笔者在函数教学中尝试将几个常见的“形同质异”问题利用题组的形式进行归纳分析，以期对同学们有所帮助.

一、抽象函数的定义域

(1)若函数f(x)的定义域为(-1,0)，求f(2x+1)的定义域；

(2)若f(2x+1)函数的定义域为(-1,0)，求f(x)的定义域.

(2)由f(2x+1)的定义域为(-1,0)，得-1

评注正确理解函数定义城的含义是解决此题组的关键.

二、定义域与值域

(1)已知函数f(x)=lg(mx2+2x+1)的定义域为R，求实数m的取值范围；

(2)已知函数f(x)=lg(mx2+2x+1)的值域为R，求实数m的取值范围.

解(1)中条件可等价转化为不等式mx2+2x+1>0在x∈R上恒成立，解得m>1.

(2)中条件即f(x)可取遍R上的一切值，即u=mx2+2x+1能取遍(0,+)上的一切值.

评注定义域和值城是两个不同的概念.

三、函数定义域与函数有意义

解(1)中条件可等价转化为关于x的不等式1+3x·a≥0的解集为(-,1]，也就是说这是一个“恰成立”问题.由不等式与方程的关系，可解得

(2)中条件可等价转化为不等式1+3x·a≥0在(-,1]上恒成立，即恒成立，也就是说这实际上是一个“恒成立”问题.由于是单调递减函数，可解得

评注正确理解函数定义域的含义是解决题组的关键.

四、区间单调与单调区间

(1)已知函数y=-x2-2ax+a-1在区间[-2,+)上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)已知函数y=-x2-2ax+a-1的单调减区间是[-2,+∞)，求实数a的取值范围.

解(1)中条件相当于二次函数图象的对称轴x=-a在区间[-2,+)的左边，即-a≤-2，得a≥2；

(2)中条件相当于二次函数图象的对称轴x=-a就是x=-2，得a=2.

评注区间单调和单调区间不同.

五、有解与恒成立

(1)若不等式|x-2|-|x-3|>a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若不等式|x-2|-|x-3|>a有解，求实数a的取值范围.

解设f(x)=|x-2|-|x-3|，因为||x-2|-|x-3||≤|(x-2)-(x-3)|=1，所以-1≤f(x)≤1.

(1)中条件等价于a

(2)中条件等价于a

评注正确理解数学中的几个关键词“任意”、“存在”、“恒成立”、“能成立”等.

六、函数单调性与数列单调性

(1)设函数f(x)=x2+ax在区间[1,+)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若数列{an}的通项公式为an=n2+an，且满足an

评注数列是一类特殊的函数，但数列中的n∈N*.

七、对称与周期

(1)已知函数f(x)对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立，且f(3)=4，求f(-1)的值；

(2)已知函数f(x)对任意实数x都有f(x+1)=f(x-1)成立，且f(3)=4，求f(-1)的值.

解(1)由f(1+x)=f(1-x)知，函数f(x)图象的对称轴为x=1，所以f(-1)=f(3)=4；

(2)由f(x+1)=f(x-1)知，函数f(x)的周期为T=2，故f(-1)=f(-1+4)=f(3)=4.

八、主元与次元

(1)对于任意x∈[-1,1]，函数y=x2+(a-4)x+4-2a恒大于零，求a的取值范围；

(2)对于任意a∈[-1,1]，函数y=x2+(a-4)x+4-2a恒大于零，求x的取值范围.

评注自变量不同，函数也就不同.

九、自对称与互对称

(1)函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，则函数f(x)的图象关于____对称；

(2)函数y=f(x+2)与y=f(2-x)的图象关于____对称.

解(1)是函数自身关于某直线对称轴，即函数f(x)的图象关于x=2对称；

(2)是两个函数关于某直线对称，取一个特例，如f(x)=x2就能得出函数y=f(x+2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=0对称.

十、向左平移与向右平移

(1)已知函数f(x)是偶函数，则f(x-2)图象的对称轴为____；

(2)已知函数f(x-2)是偶函数，则f(x)图象的对称轴为____.

解(1)由f(x)是偶函数，知f(x)的图象关于x=0对称，而函数f(x)的图象向右平移2个单位得到函数f(x-2)的图象，所以f(x-2)图象的对称轴为x=2；

(2)由f(x-2)是偶函数，知f(x-2)的图象关于x=0对称，而函数f(x-2)的图象向左平移2个单位得到函数f(x)的图象，所以f(x)图象的对称轴为x=-2.

纵观以上各题组可知，它们都是“形同质异”题，当我们遇到该类型题时，不要“雾里看花”，而应当借助我们的一双慧眼把它们看得清楚楚、明明白白、真真切切；同时做完题后有必要“杀回马枪”，这也是一个高考制胜的“法宝”.