隐函数求导的研究

崔 楠 朱德馨

(1.宁夏北方民族大学基础教育学院 750021;2.宁夏北方民族大学机电工程学院 750021)

一、引言

很多实际问题都是函数问题，大部分都是一些微分知识，通过对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.一般的函数都是用自变量表达因变量，自变量和因变量是完全独立可以互相表示的，这些都叫做显函数.然而在解决很多现实问题的时候，各个变量之间的关系不能独立表示，而是相互影响，并且依靠几个方程式才能确定的，这样的函数通常称为隐函数.在工程实际问题中，隐函数的研究为其解决了很多问题，一旦需要求解这些函数方程的极值、优化等问题，就需要对其求导，这就引出了隐函数的求导问题.关于隐函数的求导理论，前人也做了很多相关研究，提出了一系列的隐函数求解方法.

二、隐函数的相关理论

1.隐函数的定义

设X⊂R,Y⊂R,函数F:X×Y→R.对于方程F(x,y)=0(1)，若存在集合I⊂X与J⊂Y对于任何x∈I,恒有唯一确定的y∈J,在J中的任何y值都可以和x满足上述方程，它与x一起满足方程(1),因此就可以确定一个隐函数，这个函数定义域为I，值域为J.隐函数的主要特点就是自变量和因变量不能分开，而是结合在一起，这样根据一般的求导法则就无法进行求导，因此，需要借助新的思想进行解题.

2.隐函数的可导条件

隐函数的可导条件主要有三个，第一个就是该函数在某一个邻域内连续，第二个是该函数必须存在且偏导数连续，第三个就是在该点处的y偏导数不能为零.

二、 隐函数在几何方面的应用

1.平面曲线的切线与法线

设平面曲线由方程给出,该方程组在点P0(x0,y0)的任意某邻域内符合隐函数的存在条件,从而该曲线在点P0处存在切线和法线,其表达式就可以用点斜式表示，然后结合隐函数的求导公式解出切线和法线方程.根据隐函数的求导，可以分别求解出在该点的导数，包括x方向和y方向的，根据求得的方向向量就可以找出切线的平面和平面的切线，前者导数就是切线的斜率，而后者就是导数的垂直面，总之，根据隐函数的求导，可以求解二维图形的位置关系和规律，解决生活中的很多问题，真正的把数学运用到实际当中.

2.曲面的切平面和法线

3.在曲线设计中的应用

在曲线设计中，通过对隐函数进行求导，可以找出曲线中的最优点.在实际生活中也经常见到，在曲线跑道中，如何发现一个点到这个曲线的距离最短，就是最佳路径问题.

问题：在一条平面二次曲线L上A、B点作曲线的两条切线AC和BC,证明直线CP在曲线L上点P处的法线上,其中点P为点C到曲线的最近点.

求解：首先假设AB、AC和BC的直线方程为：

AB：l(x,y)=ax+by+c=0，

AC:l1(x,y)=a1x+b1y+c1=0，

BC:l2(x,y)=a2x+b2y+c2=0.

由题意得：

l(A)=l(B)=l1(A)=l2(B)=0.

令F(x,y)=μl1(x,y)l2(x,y)+(1-μ)l2(x,y)(μ≠0),

上式就是曲线L的方程.曲线L在A处的法向量可以表示为：

可以推出曲线方程为：

F(x,y)=μl1μl1(x,y)l2(x,y)+(1-μ)l2(x,y)=0.

设P(x,y)为点C到曲线L最近的点，因此，可以得出P不仅满足曲线方程，还是距离最小的点.可以构造拉格朗日函数：

Φ(x,y)=(x-x0)2+(y-y0)2+λF(x,y),

同时对x和y进行偏导数，可以得出CP在法线上，即可求证.

三、结束语

众所周知，隐函数求导是解微分方程的基础，特别是偏微分方程，同时，在实际工程中，很多问题中的自变量和因变量不会完全分离，二者之间都会存在一些这样那样的关系，所以，只有借助隐函数求导，才能解决这种实际问题.隐函数的求导可以把常规函数的作用都能发挥出来，包括极值、优化，拓宽了隐函数的应用范围，更能探索函数存在的规律.所以在实际工程中，很多问题中的自变量和因变量不会完全分离，二者之间都会存在一些这样那样的关系，面对这种问题，直接求导是不可能的，但是又不能不求导，因为只有求导数，才能发现该房产的规律，发现问题，所以，只有借助隐函数求导，才能解决这种实际问题，特别是工程问题，很多复杂的工程问题都是微分方程，借助隐函数求导的理论，大大促进了我国工业的发展.本文简单论述了隐函数在各方面的运用，对于隐函数的进一步研究和应用于具体的工程实际打下坚实的基础，隐函数的出现，可以为解决很多实际问题提供了有利的工具.