基于“大概念”的“交集、并集”课堂教学设计

(江苏省宜兴中学 214200)

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准》)[1]已经颁布实行，而目前江苏省高一、高二仍然选用上一版高中数学教材(苏教版)进行教学．针对上述现状，如何将核心素养“落地生根”成为一线教师最感困惑的问题．

《标准》的设计和实施追求“少而精”，虽然《标准》中并未明确数学大概念，但它将“大概念”作为课程内容框架的核心；将“大概念”作为深入理解课标议题的关键；将“大概念”作为孕育学科核心素养的依托．因此，“大概念”或可成为践行数学核心素养的有力抓手．本文试图结合课堂教学实际，从大概念的角度给出“交集、并集”的课堂教学设计，以期与大家探讨．

2 “大概念”和作为大概念的“集合”

大概念，英文为Big Ideas(Big Concepts)，也有学者将其译为大观念[2,3]．在教育领域，有关大概念的研究至少可以追溯到布鲁纳对于教育过程的研究，他强调:无论教师教授哪类学科，一定要使学生理解该学科的基本结构，有助于学生解决课堂内外所遇到的各类问题．

随着“大概念”研究的深入，“大概念”的内涵趋于统一，即“大概念”是一种高度形式化、兼具认识论与方法论意义、普适性极强的概念；它已经不再仅仅是一个简单词汇，它背后潜藏着一个意义的世界，它超出了一个普通概念有内涵与外延，作为一种深刻思想、学说的负载体，已成为“思想之网”的联接枢纽．“大概念”好比“车辖”．其表述方式可以是相关的概念、主题、有争议的结论或观点．

作为数学学科的“大概念”，应该具备如下特点：

·大概念应当贯穿于数学课程，是最重要、最核心的数学；

·大概念应当和其他知识点具有充分的联系；

·大概念应当体现数学的本质；

·大概念应当为今后更高层次的学习提供必要的基础．

“集合”是全部数学的最基本概念之一，是整个数学大厦的基础，数学的每一个分支都在使用集合论的语言进行表述与推理．因此，“集合”当之无愧成为数学学科“大概念”．

3 基于“大概念”的课堂教学设计

“集合”作为大概念，其核心在于它是数学的基本语言和工具，具有简洁、准确和高度概括的特点．从集合的发展历程而言，集合还推动了数学基础研究的深入．

在高中阶段，集合主要定位于语言(阅读、表达、交流)，通过集合的学习，帮助学生用集合语言简洁地、准确地表示相关的数学对象，发展学生用数学语言进行表达和交流的能力．内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算．

集合的交、并属于运算的范畴，因此，从运算的角度理解集合的交集、并集成为本节课教学设计的中心观点．

案例1观察图1所示的Venn图，分别用阴影部分表示A∩B和A∪B．

图1

设计理由从“形”的角度加深学生对“且”和“或”的理解,体会图形对理解抽象概念的作用．两个集合有且仅有如图1所示的五种不同关系，为学生思维的后续展开提供框架和依托．

案例2(1)设A={1,2,3},B={1,3,4},C={1,5,6}，分别求A∩B,B∩A,A∪B,B∪A,(A∩B)∩C,A∩(B∩C),(A∪B)∪C,A∪(B∪C)；

(2)已知A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={2,4,6,8}，求A∩B,A∪B；

(3)设A={x|x≤0},B={x|x≤1}，求A∩B,A∪B；

(4)设A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3}，求A∩B；

(5)设A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z}，求A∩B,A∪B．

设计理由交集、并集属于运算的范畴;数学运算是高中数学核心素养之一，主要包括:理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果．为使学生理解运算对象，在选题时特别关注运算对象的典型性和全面性，既有列举法表示又有描述法、既有有限集又有无限集、既有数集又有点集．让学生准确、快捷求出结果则是数学运算的基本要求，以达到“求得运算结果”的评价要求．

案例3你能从案例2的结果中发现哪些结论，你能用案例1中的图示加以解释吗？你还能举出适当的例子检验你的结论吗？

设计理由让学生观察运算结果，鼓励学生分类、概括，实现从具体事实向概念(原理)的跨越，通过正例和反例的辨别达到理解的目的，真正落实“为理解而教”、“为迁移而教”的教学理念．看到学生可以内化那些由事实性知识支撑的清晰而重要的概括性结论，是一件多么美妙的事情啊！本案例有效发展了学生的数学抽象素养．

本案例与交集并集的性质、苏教版必修1第13页练习2、习题1.3感受理解1相结合，概括出的可供参考结论清单如下：

·A∩A=A,A∪A=A；

·A∩B⊆A⊆A∪B,A∩B⊆B⊆A∪B；

·A∩∅=∅,A∪∅=A,A∩UA=∅,A∪UA=U；

·交换律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A；

·结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；

·A∩B=A⟺A⊆B,A∪B=A⟺B⊆A．

图2

案例4(1)设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5,9},B={2,3,5,7,8}，求A∩B,A∩UB,B∩UA,UA∩UB,U(A∪B)；

(2)写出图2中阴影部分所表示的集合；

(3)你能从上述结果中概括出一些关系吗？你能对这些关系做出适当的解释吗？

设计理由为集合的交集、并集和补集创设一个综合应用的情境，分别从“数”与“形”两个角度相互印证，用运算律整合交集、并集和补集，以帮助学生掌握运算的法则，形成一个相对完整的集合运算系统，与学生一起获得运算法则、认识数学结构与体系，深层次发展学生的数学抽象素养．

清晰且强有力的概括代表了学科最重要的概念性理解，让教师感到自己的课堂极具张力，可以信马由缰．学生可以概括出的可供参考的结论：

·(A∩B)∩(A∩UB)=∅，(A∩B)∪(A∩UB)=A．

结论(A∩B)∪(A∩UB)=A除了可以用图示法加以验证以外，还可以通过集合运算的分配律加以验证，其过程可以设计如下：

问题1运算律是运算得以进行的保障，请同学们想一想，对于两个数的加法和乘法，你知道哪些运算律？

加法(乘法)交换律、加法(乘法)结合律、分配律．

问题2你能用符号表示分配律吗？

a·(b+c)=a·b+a·c．

问题3你能类似地写出关于交集、并集的分配律吗？

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)．

问题4你能用上述结论验证(A∩B)∪(A∩UB)=A吗？

(A∩B)∪(A∩UB)=A∩(B∪UB)=A∩U=A．

本设计有效发展了学生的逻辑推理素养．

案例5集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，创立者是德国数学家康托尔．请同学们通过书籍、网络等方式了解康托尔的生平，查询有关“集合论”的资料，摘录人们对“集合”的评价，研究集合的运算律．

设计理由关注集合论的发生、发展和形成的过程，从更远、更大、更高的视角审视高中“集合”内容．集合论的发展史能使学生们懂得对知识的敬畏；数学家康托尔生平和遭遇让学生感受数学家的治学品质和人格魅力；人们对“集合”的评价则让学生了解集合的价值．本案例使数学文化的渗透落到实处．

4 结语

大概念是处于学科中心位置、对学生学习具有引领作用的核心概念、法则或关系、理论或模型．大概念理念下的课堂教学由原来的基于事实的线性式教学向基于概念的整体式教学转变．基于概念的课堂教学提供了一个不同层面心智处理的清晰描述：在事实性层面上能“知道”，在概念性层面上能“理解”，在技能和过程层面上能“做”．大概念理念的课堂教学或可成为落实数学学科核心素养的一种操作样式．