例说数列中的存在性问题

(江苏省南京市第三高级中学 南京市高中数学渠东剑名师工作室 210000)

数列是高中数学中的重要内容之一，也是各地高考的必考知识点，尤其在江苏卷中，其常常作为解答题的压轴题，是学生最头疼的问题．数列本质上是特殊的函数，但是跟函数相比，数列问题千变万化，学生常常觉得无从下手，没有所谓的“套路”可寻．另一方面，因为数列解答题所处的位置，学生往往难以完成，大部分学生甚至觉得解题无望，直接跳过，这也导致在复习数列专题时学生感觉复习跟不复习是一回事．这也引起了笔者的反思，在一轮复习过程中，对于基础一般的学生，数列到底有没有必要复习？答案是肯定的，数列当然需要复习！数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用．数列的学习能够提升数学抽象、数学运算、数学建模和逻辑推理素养．数列的复习有利于提升学生的自信心，锻炼学生不畏困难的品质．那么，数列到底该如何复习？学生的得分点在哪里？在高考的现实背景下，我们还能做哪些？下面，笔者将以“数列的存在性问题”为例，谈一谈数列的复习．

数列中的存在性问题，常常转化为方程解的存在性问题，涉及的往往是两类方程：①方程的个数大于等于可求解未知数的个数；②方程的个数小于等于可求解未知数的个数(不定方程)．对于类型①，解题往往比较简单，找到足够的方程，解出未知量，如果方程的个数大于可求解未知数，那就进一步验证，如果都能满足，则存在，否则舍解．类型②往往是学生觉得困难的地方，对于不定方程，该如何求解呢？

笔者从几个简单的例子下手，试图找出这类问题的一般性规律．

例1已知an=2n，是否存在正整数p，q，r(p

解法1假设存在正整数p，q，r(p

变式1 已知an=2n，是否存在三个互不相等正整数p，q，r，且p，q，r成等差数列，使得ap-1，aq-1，ar-1成等比数列？并说明理由．

解法1因为p，q，r成等差数列，所以p+r=2q.假设ap-1，aq-1，ar-1成等比数列，则(ap-1)(ar-1)=(aq-1)2，即(2p-1)(2r-1)=(2q-1)2，化简得2p+2r=2×2q.(*)

解法2因为p，q，r成等差数列，不妨设p

设计意图解决此类问题的一般步骤是：条件转化→化简等式→合理判断，其中最关键的一步是合理判断，如果不存在，就要推出矛盾，如果存在，就要把解找出来．例1属于不存在的情况，解法1是通过奇数与偶数的分析来推出矛盾，解法2是通过整数与分数的分析推出矛盾，解法3是通过正数与负数的分析推出矛盾；最后殊途同归，都说明了不存在正整数p，q，r(p

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《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科)》要求学生“了解数列是自变量为正整数的一类函数；了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系”．近几年来，数列与函数的综合题是高考命题的热点，常作为压轴题出现， 解决这类问题往往用到函数思想、方程思想、化归思想等多种数学思想．数列是一类特殊的函数，是定义在正整数集或其子集上的函数， 我们可以运用函数思想来研究和解决数列的问题．爱因斯坦说过：“猜想比知识更重要.”在数学的学习过程中，应当鼓励学生“大胆猜想，小心求证”．数列中的存在性问题，在处理过程中还应结合函数思想来考虑．如例1，读完题不妨先去猜一猜存在还是不存在.数列{an}是一个单调递增的指数型数列，而指数函数y=2x的图象是单调递增的，为凹函数，等差数列的通项是关于n的一次式，而一次函数的图象是一条直线；直线与指数函数的图象至多有2个交点，因而不可能出现有3项成等差数列．有了这样一个直观判断，接下来就是去求证，这样一来解题思路就会非常清晰．

解析因为Sn=n2，所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1．

又当n=1时，a1=S1=1，适合上式，所以an=2n-1(n∈N*)．

故当m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36时，分别存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8适合题意，即存在这样m，且符合题意的m共有9个．

设计意图例2的难点在于求不定方程的整数解，条件转化后列出等式，基础较差的学生不知如何下手．解决路径：(1)两个未知量、一个等量关系，可以进行未知量分离；(2)利用约数，筛选不定方程的可能解，缩小范围，进而使枚举检验成为可能．该题在化简等式时还应该注意优化计算，多观察式子的结构特征，不要盲目地交叉相乘“硬解”，对于分式常常可以采用取到数、分离常数等方法达到化繁为简的目的．变式在例2的基础上又增加了利用不等关系来缩小范围的路径．

上面两组例题整体难度不大，笔者提供的是较简单的数列模型，主要是想突出解决此类问题的一般路径．数列中的存在性问题，按存在与否可分成两大类，大体可按照下面的线路图求解：(1)条件转化→化简等式→合理判断→不存在→找矛盾(奇数与偶数、有理数与无理数、正数与负数、整数与分数等)；(2)条件转化→化简等式→合理判断→存在→列举(约数、求范围等)．

反馈练习1已知bn=3·2n-1-2，试问:数列{bn}中是否存在不同的三项bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差数列?若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

注：利用奇偶分析，说明不定方程无解．

注：利用有理数无理数分析，说明方程无解．

通过对数列中的存在性问题的探究，把复杂的数列问题分解开来，让学生发现原本“高大上”的数列也可以“平易近人”，这让学生对于数列的学习增强了自信心，这一点在高三的一轮复习中是非常重要的．在一轮复习中，如果直接就抛出一些数列综合题让学生来做，学生一定会觉得看不到希望，不愿意再尝试，教师不如通过这样的小专题来把难点分解，然后逐个击破．此外，在对数列中的存在性问题探究的过程中，学生的逻辑推理能力得到了很大的提高，而通过运算也促进了数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，如例1中需先说明q+1-p和r-p都是正整数，然后才能得到2q+1-p和2r-p都是偶数．