依托数据寻找“变与不变”的味道——对一道高考数学试题的赏析与教学思考

(广东省广州市增城区荔城中学 511316)

杨伟达 (广东省广州市花都区第二中学 510820)

每年高考题无不例外都会引起许多数学同行的高度关注和热议. 2017年高考数学全国卷Ⅰ第20题就引起笔者极大兴趣. 细细琢磨不难发现，该试题依托数据运算，蕴含着“变与不变”的味道，本文旨在探索题型的规律，总结解题方法，以抛砖引玉.

1 题目再现

(1)求椭圆C的方程.

(2)设直线l不经过点P2且与椭圆C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

考点分析本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆相结合的综合问题. 从知识层面看，此题考点覆盖了解析几何的核心知识，包括椭圆方程、点在椭圆上、椭圆的性质、直线方程、直线与椭圆位置关系、一元二次方程及判别式、韦达定理、斜率公式等；从思想层面看，本题考查了函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等；从能力要求层面看，考查了数据处理能力.学生需具备较高的转化问题能力、处理复杂表达式的运算求解能力，还需要有稳定的心理素质.

2 思路探究及解答过程

·题目已知条件是什么？结论是什么？未知量是什么？尝试用自己的语言表述

首先，求椭圆方程其实就是求两个基本量a,b的问题.四个定点中恰有三个在椭圆上，需要利用椭圆的对称性进行数据排除处理；其次，直线AB方程的选取、直线AB与抛物线相交、2条动直线P2A和P2B的斜率如何用数学表达式表示.

·常见相关类型题目及解题思路

处理有关直线与圆锥曲线相交问题常见的方法是联立方程组，利用方程组求解.

·思维障碍

本题涉及四个点如何排除一点，学生没有见过此题型，一时无从下手；其次，该题看似是熟悉的题型却涉及3条动直线和2个动点，它们如何表述，特别是动直线AB方程的选取；再次，直线与椭圆相交需要联立方程组，消元转化为一元二次方程，涉及字母较多、运算繁杂，学生只能望题兴叹.

解法1(1) 由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.

当直线方程选取点斜式时，学生自然而然能想到解法.其详细解答过程如下.

化简为y0=kx0-2k-1,代入直线方程y-y0=k(x-x0),可得y+1=k(x-2),所以直线恒过定点(2,-1).

点评解题过程中，由于直线方程选取点斜式，涉及字母较多、运算繁杂，其方法及解题过程与前一种解题过程基本一样，不存在另外解法.纵向比较：选取直线斜截式方程显然更方便.

3 解题后反思

3.1 “变”的模样

·数据处理说话

本题第(1)问有别于往年的高考题，不似往年利用圆锥曲线的离心率求轨迹问题，而是利用椭圆的对称性进行数据排除处理，处理后三个定点逐个代入椭圆方程，分别求出2个基本量a,b的值.第(2)问由于直线l方程未标明，所以学生在直线方程的选取方面需要智慧,未知数尽可能少，方便消元，减少繁杂.

·变更条件、编写题组

高考题常考常新，每一年的高考题都会有不一样的新面孔.如何把新面孔落实到课堂教学中？当前有一种被称为有效教学的就是变更条件、编写变式题，然后进行题组化训练.其目的是让学生熟悉考试题型，在短时间内记住题型的解题方法，对提高学生数学分数是很有帮助的.

① 题设条件不变，改变结论的设问方式.

(1)求椭圆C的方程.(2)设直线l定点(2, -1)，且与椭圆C相交于A，B两点. 求证：直线P2A与直线P2B的斜率的和为定值.(答案：定值为-1.)

② 将题设条件的椭圆改为双曲线或抛物线，更改一些条件的数值，设问和结论不变.

(1)求双曲线C的方程.(2)设不平行于x轴的直线l不经过点P2，且与双曲线C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为0，证明：直线l过定点.(答案：定点为(0，-3))

变式3已知抛物线C：y=ax2，点P(1,1)是抛物线C上一点 .

(1)求抛物线C的方程.(2)设直线l不经过点P且与抛物线C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.(答案：定点为 (-1，2))

3.2 “不变”的味道

·不变的通性通法

直线与圆锥曲线的交点问题常常通过联立方程组转化为一元二次方程，利用求判别式、韦达定理逐一显现.这种“独木桥”式的通性通法在高考中重点考查，不过选取不同的直线方程时会导致解题过程繁简的差异，特别是在消元和运算求解能力上的要求就更高，涉及字母较多，需要消元，且伴随繁杂的运算，这些常常是学生高考得分的绊脚石.显然，运算能力仍然是高中数学重点考查的内容之一，也是高考中突显选拔、分层功能的重要体现.因此，在课堂教学中学生应加强这方面的训练，才能有更好的成绩.

·不变的题设条件

在历年高考题中，学生面对“突如其来”的题设需要找到关键词、突破口、拆解的技巧.这些是解题教学中的审题部分.俗话说，“万变不离其宗”.尽管每一年高考试题都是新面孔，但它们都可以在教材中找到熟悉的影子. 比如在解析几何的教材中可以找到有关斜率和距离这两个核心知识块.形式如下：

①不变的斜率(k为斜率)

k1±k2=m(m为常数)分别来自人教版《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1第81页练习第5题、选修2-1第74页练习第3题.

②不变的距离(d为距离)

d1±d2=m(m为常数)分别来自人教版《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1第38页椭圆定义、第52页双曲线定义.

总之,在课堂教学中,对于经典的试题教师应该对学生多一点引导.从不同角度去思考问题,就会得到不同的启示,出现各种各样的解法和反思,从而提高学生的解题能力.