题根孕育于教材 优解来源于逆探

(江苏省苏州市相城实验中学 215131)

2010年高考数学上海卷第23题第(Ⅱ)问给人以似曾相识的感觉．仔细推敲，不难发现其几何背景来源于教材，挖掘其蕴含的几何背景，便会发现此问的另外一种解法．如果能够逆向探究，还会发现一种更为简单的解法．为此，笔者精心设计了一堂探究椭圆性质的复习课，取得了预期的效果．现将这节课整理成文，与同行交流．

1 展示考题，初探解法

图1

师：如何证明E为CD的中点？

生：只要证明点E坐标和CD中点的坐标相等．

师：如何求出点E坐标？

生：可以通过联立直线l1和直线l2的方程，求出点E坐标．

师：如何求出CD中点的坐标？

生：可以联立椭圆Γ的方程和直线l1的方程得到一元二次方程，再通过根与系数的关系得到点E的横坐标，再把点E的横坐标代入直线l1的方程，得到点E的纵坐标．

师：通过上述分析，该题思路比较清晰，下面我们共同完成该题的证明．

方程是曲线的化身，通过方程研究曲线的性质是解析几何的本质，这道高考题的解法将解析几何的本质体现得淋漓尽致．但纯粹的解析法常因字母运算过多导致运算过于繁杂，因此，有必要挖掘该题的几何背景，从而达到简化运算的目的．

2 链接教材，追本溯源

图2

此题较为简单，学生解答过程如下：

学生解答过程如下：

图3

师：此题还可进行推广.如图3，如果将B，C两点看成是由过原点的直线与双曲线的交点，上述结论还成立么？

学生解答过程如下：

又因为BC过双曲线的中心，可得y2=-y1，

经过研究，我们得到双曲线的一个性质：

师：类比双曲线的这个性质，你能得到椭圆类似的性质吗？

图4

师：能否求出这个定值？

师：椭圆的这个性质，与我们今天研究的高考题是否有着某种联系呢？

学生受到启发，得到如下证法：

证法2在图1中，连结CO交椭圆于F.因为CF过原点，D是椭圆上的点，由椭圆的性质可知

图5

此种证法避免了将直线方程与椭圆方程联立，从而达到简化运算的目的．之所以避免了将直线方程与椭圆方程联立，关键是挖掘出了本道高考题的几何背景，而此道高考题的几何背景竟然来源于教材．图5将该题的几何背景展现得淋漓尽致．

3 逆向探究，探求优解

师：你能写出该题的逆命题么？

师：上述命题成立么？我们见过该命题么？

生：上述命题是我们见过的一个结论，就是椭圆中心与弦的中点连线的斜率与弦所在直线的斜率乘积是定值．

师：该命题的证明使用了什么方法？

生：点差法．

师：请使用点差法证明该结论．

学生独立完成如下证明：

师：还有其他方法吗？

学生经过思考和讨论，终于得到以下方法：

(正当我将结束这堂课的时候，突然有个学生提出一个问题)

(学生提出这个问题，我始料未及)

师：看来我们不仅学会了分析问题、解决问题，而且还学会了提出问题．由于时间关系，这个问题作为今天的作业，请同学们课后探究．

4 课后探究，扩大战果

现把学生研究的两种解法展示如下.

③+④得b2(x1-x0)(x1+x2)+a2(y1-y0)(y1+y2)=0. ⑥

③+ ⑤得b2(x2-x0)(x1+x2)+a2(y2-y0)(y1+y2)=0. ⑦

⑥+⑦得b2(x1+x2)2+a2(y1+y2)2=0.因为a>b>0，所以y2=-y1，x2=-x1，即直线BC过原点．

5 课后感悟，总结反思

(1)新课标下解析几何新认识

解析几何的基本思想是用方程研究曲线的性质，传统的解析几何试题着重考查解析几何的基本思想，长期以来给我们的印象是不用代数方法解题就不是解析几何．新课程下，由于一元二次方程根与系数不断弱化，取而代之的是把几何背景的挖掘放在了首位．而解析几何中很多问题的几何背景并不是无本之木、无源之水，而是来自于教材和以往的高考题、竞赛题等．教师平时要以教材、各类试题为素材，从各个角度挖掘解析几何问题的几何背景，才能产生更多生动活泼、多姿多彩的解法．

(2)重视教材的作用

好的高考试题不一定都是新题，往往是来源于课本而又高于课本，有些是形不似而神似，有些是形似而神不似．“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，通过对教材习题的变式、推广、拓展、类比，使之变为高考试题，不仅能够引导教师和学生重视教材的作用和基础知识的学习，而且能够培养学生的思维能力和创新能力．

(3)复习课应该组织有效的数学活动

当前教学中，个别教师缺乏对试题的深入研究，仅仅是就题论题、平铺直叙地进行教学，不注重教材与高考试题的联系，教学环节呆板，不能有效地组织数学活动，学生的主体地位发挥得不够．长此以往，学生的思维能力得不到发展，势必导致解决问题的能力下降．因此，教师应当深入研究试题的本质，研究题目与题目之间的联系，设计合理的教学，促进学生的思维能力在数学活动中得到提高．

(4)在教学中实现教研相长

“学而不思则罔，思而不学则殆”，这是就“学”与“思”而言的.其实，“教”与“研”也是如此：“教而不研则罔，研而不教则空”．上海卷的这道题目其实就是我们常用的一个结论的逆命题，相信一线教师都知道这个常见命题的证明方法，笔者在很多杂志上也看到过这个结论.然而，估计很少人去研究这个结论的逆命题如何证明．上海卷选用这道题体现了命题人的良苦用心，为我们一线教师的教研敲响了警钟．在教学中，我们要积极投入到教研中去，把日常教学作为我们研究的素材，用研究成果指导我们的教学，不断提高自身的专业素质．