思考能否再深入一些 设计能否再大胆一些——对“有理数乘方”教学设计的再思考

(上海市岭南中学 200435)

拜读了秦岭老师发表在《中学数学月刊》2019年第5期上《“有理数的乘方”教学实录与反思》[1]一文后受益匪浅，既从“目标定位”“重难点把握”“教学设计”“问题设置”“课堂组织”和“规范表达”等教学环节中感受到秦老师深厚的教学功底，也从“以愤悱情境激发求知欲”“以概念生成突出过程教学”“以探索活动强化学习方式”“以个性化教育彰显分层教学”和“以主动建构发挥主体作用”等教学活动中深刻体会到“在教学中加强实践与理念融合”的重要性与前瞻性，更对如何“从基于学生的数学基础出发设计出能激发学生强烈探究动机的活动情境”和“引导学生自我发现新知认识新知运用新知”的“教材二次开发”的做法有了深刻感悟．总之，这是一篇不可多得且创新味浓的教学设计，具有较强的启发性，值得借鉴！不过反复品味后，也有一些不成熟的思考，愿与秦老师探讨．

1 探讨之处

1.1 主体作用的发挥能否再充分一些

案例回顾关于“乘方概念引入”的教学，秦老师创设了“求每30分钟分裂一次的一个细胞经过5个小时分裂后的总数”问题情境，在通过问题驱动引导学生得出总数为2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2后，秦老师强调：为了书写方便可把结果记为210，并给出了an定义及底数、指数与幂等相关概念(详细过程请参阅文[1])．

案例分析虽然情境问题是由学生独立解决的，但乘方概念却是由教师直接抛出，有灌输嫌疑，未能引导学生深入参与概念的建构过程，主体作用并未得到充分发挥．

教学建议在得出2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2的细胞分裂总数后，教师适时指出此种表示方法不够简练，然后抛出问题：同学们有没有简易的表示方法呢？(甚至可提出“5天后、5个月后分别分裂出多少个细胞”以进一步增强学生对用乘法表示过于繁琐的直观感受，强化寻求简易表示方法的必要性与迫切性．)

经过思考，学生若能提出类似乘方的表示方法，自然要不吝赞美之词多加激励(不贴切之处可通过举反例驱动问题，引导学生逐步完善)；若不能，则可借助小学学过的边长为a的正方形面积a2与正方体体积a3启发学生进一步思考，并指出a, 2与3所表示的意义，引导学生得出2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210，进而给出乘方的意义．

设计说明如此一来，乘方的表示方法是学生的成果，是由旧知迁移而得.有了主动探究的建构过程，对完善学生的认知方式与提升转化能力无疑影响深远．其实，底数、指数与幂的名称不妨也让学生尝试独立命名．虽然学生未必能给出教材的形象定义，但经过独立思考大胆尝试后，再与教材的科学名称进行优劣对比剖析，不仅有利于学生加深对概念的记忆与理解，而且还能提高语言的规范表达能力，可谓一举多得，何乐而不为？笔者的教学实践就表明，学生把210中的2与10分别称为“同因素”和“因个数”的命名也颇为形象，充分展现了学生的理解能力与学习智慧，对培养他们的创新思维自然也大有裨益．

1.2 自主探究的力度能否再大一些

案例分析从特殊值的计算中获得猜想，再借助乘法法则加以说理，从而得出一般规律，是一种主要认知方式，符合初中生的认知水平，本无可厚非(况且秦老师已把常规的按底数符号分类计算的方式进行了综合化处理，加深了对乘方符号法则的观察与归纳难度，有利于学生发展性学力的培养)．但正如文[1]所言，乘方符号法则是以填空形式完成归纳的，学生有被牵着走之嫌，探究的自主性自然大打折扣．另外，笔者总觉得此设计缺少升华，没有把乘方符号法则的应用性与优越性(先确定幂的符号再把底数的绝对值乘方)凸显出来，令人稍感惋惜．

教学建议鉴于面对的是基础较强的特色班学生，不妨通过下列环节引导学生自主学习．

问题你能确定an(n为正整数)的符号吗？有什么规律？为什么？

若学生回答有困难，可通过“an的符号是由哪些条件确定的”启发学生理解a的符号及其个数(即n的奇偶性)是确定an的符号的两个至关重要的因素．

引导学生从乘方的意义和乘方运算的符号法则两方面切入思考，主要目的在于强化“先定符号再求值”的乘方计算优化策略．

思考若an=|a|n对一切正整数n均成立，则a的取值范围是；若an=-|a|n成立，则a的取值范围是，n满足的条件为．

设计说明该设计虽然还是通过问题驱动学生思考，但思考的主动性更强、思维量更大、思维度更深，既有助于学生吃透乘法与乘方间的特殊关系，又有利于学生理清“定义—性质—应用—提升”的新概念学习脉络，掌握新概念学习的思维方式，进而强化学习能力的提升与发展．另外，此处常有教师借助(-a)n=-an来说明n为正奇数．不过笔者觉得此处选用时机并不成熟，因为若用底数为-a来解读虽然不存在原则上错误，但容易引发学生把-an错作负数的隐患；若进一步说明-an的正负还与a的取值有关，对于初学者来说未必真正能吃透，有人为加大难度且偏离教学重点之嫌．而待到学过“积的乘方等于乘方之积”后，借助(-a)n=(-1)nan= -an说明却简单明了通俗易懂，所以此处不必过度设计，以免弄巧成拙．

1.3 分析能否再透彻一些

案例分析因为a2=|a|2=|a|·|a|，所以原问题就转化为“一个数的绝对值乘以本身的绝对值后是变大？不变？还是变小？”由|a|·|a|>|a|得|a|(|a|-1)>0，所以|a|>1，即a<-1或a>1；若|a|·|a|=|a|，得|a|·(|a|-1)=0，则|a|=0或|a|-1=0，所以a=0, -1, 1；若 |a|·|a|<|a|，类似可得-11时，a2>|a|；当a=0, -1, 1时，a2=|a|；当 -1

教学建议在学生借助三个特殊值得出不能判定a2与|a|大小后，可进一步追问：当a满足什么条件时，a2>|a|？当a满足什么条件时，a2= |a|？当a满足什么条件时，a2<|a|？把学生的思维引向对问题本质的探究；再借助等价问题(即一个数的绝对值乘以本身的绝对值后的大小变化情况)作铺垫，并放手让学生大胆猜想与相互讨论，最后通过解绝对值不等式，引导学生逐步得出正解．

设计说明也许文[1]觉得上述求解过程需用到解一元二次不等式和一元二次方程的思想，超出了学生的认知范围，故没有深入挖掘．其实上述解绝对值不等式的过程也可运用所学过的相关知识加以理解，学生完全可以接受．如|a|2-|a|=|a|(|a| -1)就可借助逆用“乘法对加法的分配律”来解读、由|a|(|a|-1)>0得 |a|-1>0就可借助“两个数相乘，同号得正异号得负”来说明．退一步讲，若学生真无法理解，那么文[1]选用本问题的做法就值得商榷(既然讲不透那就不如不讲)，因为按照文[1]蜻蜓点水式的处理方式，不仅会给学生造成对知识的片面认识，甚至引发误解，为今后的学习埋下隐患，而且还不利于刨根问底式思维习惯的养成和“问题分析—处理策略—本质挖掘”的“三段式”问题处理方式之完善，对学习力的发展弊大于利也．

2 随想之笔

毋庸置疑，文[1]是一份较为成功的教学案例，主要得益于秦老师能用先进的教学理念对教材进行深度的“二次开发”，设计出符合学生认知水平的创意，为上好课奠定了扎实的基础．那么对教材“二次开发”时，除了关注常规的教材分析(学材地位、目标确立、重难点界定等)、学情分析(认知基础、思维习惯、学习能力等),过程设计(新课引入、新知探究、应用反馈、归纳提升、课堂小结等)和作业选材(落实基础、有机分层、突出能力等)等环节，还需在哪些方面精雕细琢呢？

2.1 选材的意义何在

除了教材内容外，执教者常常会选取一些课外素材来充实课堂教学，至于如何选材则需在选材目的上反复琢磨．从表面上看，选材是为了落实新知、突出重点、强化应用，但更深层面的思考却要关注学习方式的完善与思维能力的培养．如文[1]在“围绕乘方意义突出变式训练”环节所选的“把-4×(-4)×4×4×(-4)×4写成乘方形式”一例及其处理方式就值得点赞，在强化乘方概念运用和新旧知识迁移的同时，还针对学生易错点巧设陷阱，借助课堂生成的纠错情境，放手让学生辨析，理清(-4)6与-46的区别与联系，彰显了从正反两方面学习概念的认知方式，强化了思维的严谨性与综合性，突出了运用旧知解决新知的转化能力．

2.2 设计的科学性如何

教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划，既含有关联章节与课堂推进的整体设计，也包括环节实施与知识点落实的节点设计．其中，整体设计需重点关注教学内容的完备性、活动的层次性和过程的流畅性，而节点设计则至少需从以下几方面反复推敲．

首先，情境创设是否源于学生生活？熟习的情境为学生的观察、操作和理解提供了便捷，为尽快切入主题学习(如概念生成、性质挖掘和规律探索等)打开了通道．如文[1]的“细胞分裂情境”与“对折纸情境”均来自于学生的学科学习与生活感悟，既贴近生活，又易于理解，为进一步探究奠定了扎实基础．

其次，新知学习是否突出生成过程？正如文[1]所述：“概念教学的核心是概括，要将凝结在概念中的数学家思维打开，以典型、丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性，抽象出共同的本质属性，形成数学概念，展示生成过程．”但遗憾的是，文[1]只是设计了一个激发“愤悱”的“细胞分裂”情境，乘方概念生成是由教师直接包办，学生并没有参与建构之中．相反，笔者增加“求5天与5个月后细胞分裂数”的改进设计既突出了引入乘方概念的迫切性，又提供更多观察素材，为新知生成创设了有利条件；特别是借助学生熟知的a2,a3引出an，实现了旧知到新知的完美迁移，强化了学生参与乘方概念的建构过程(详见前文)．坦诚而言，该改进设计也不尽完善，还有不少值得改进之处，在此也特别期待更多有更智慧的、能凸显乘方概念生成过程的设计不断涌现，以造福广大师生．

另外，本质挖掘是否具有探究味？所谓“探究味”就是指经历“情境观察—动手操作—大胆猜想—推理论证—归纳总结”的自主活动过程，显然文[1]对乘方运算的符号性质学习基本呈现了这一过程，体现了一定的“探究味”，只是探究力度略显不足，但基本思想与设计模式依然值得借鉴．

最后，问题处理是否指向发展性？众所周知，数学教学是以知识学习与问题解决为载体，着重培养学生的思维模式和学习能力．可喜的是，文[1]所有问题都是放手让学生独立处理，教师只是适时作适当引导，在充分尊重学生的主体性和教师的主导性基础上，突出了学生的思维发展；特别在课堂反馈环节中，设置了“可供不同层次学生选择的层次性作业”，有效地彰显了学生的个性化发展．不过，在个别能力发展点上文[1]的设计也有未能尽善尽美之处，学法指导力度稍显不足，在“授人以渔”方面考虑欠周.如处理“一个数的平方与其绝对值大小比较”问题时，只是发挥了学生的想象能力，借助特例简单说明，没能从“比较差值法”入手，渗透比较大小的通性通法，追求“以题会类”的教学效果，错失了一次提升学生发展性学力的大好时机．

2.3 难点突破与否

笔者以为教学难点主要有认知上的盲点、运用上的易错点和设计上的困惑点，据此可知“有理数的乘方”主要有“对-an的理解与运用”和“乘方概念生成设计”两大难点．至于第一个难点，文[1]通过设置“把-4×(-4)×4×4×(-4)×4写成乘方形式”问题情境并放手让学生探索，在相互纠错中一举获得了突破，体现秦老师深厚的教学功底与超强的智慧．对于第二个难点，文[1]所设置的“细胞分裂情境”和“书写麻烦的困惑”只能说明引入乘方的必要性，但至于怎么想到引入an却没能从学生熟悉的a2,a3有效迁移，导致难点突破变成教师口头代办，这点值得商榷．

当然，教材的“二次开发”需要反复斟酌的点还有很多，只要大家做个有心人，以先进的课程理念为指导，以“吃透”教材为基础，重点落在“知识生成处”“难点突破处”和“能力发展处”，就一定能设计出更多象文[1]一样的好课，上出不同寻常的精彩．

应当指出的是，本文虽然对文[1]的部分设计提出了不同的看法，但只是阅历不同的执教者从不同角度的解读，并不代表原设计就一定存在瑕疵，仅供参考．况且两者孰优孰劣，只有授课对象才能真切感受，因为“唯有适合的才是最好的”，这也正是因材施教的魅力之所在！