思维行云流水 概念水到渠成——以“平面向量的概念与表示”为例

(江苏省苏州中学 215006)

《高中数学课程标准(2017年版)》中将高中数学核心素养确定为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中数学抽象素养位列六大素养之首.不可置否,概念教学是培养学生数学抽象素养的重要内容.但长期以来，受应试教育模式下形成的“重结论、轻过程”的影响，许多教师认为既没必要也不值得花时间在概念的发现、形成和发展上，取而代之的是照本宣科，把形成概念的生动过程变为“结论+练习”，与新课标所强调的“学习数学的过程不仅是一个接受知识的过程，而且是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程”理念背道而驰．

因此，摒弃旧的教学方法，重视概念的产生和发展的教学切合新课标的精神．那么如何避免生搬硬套地强行代入，水到渠成地引出数学概念，如何在探究概念的过程中有效提高学生的思维层次，逐步培养学生的数学抽象素养是我们教学中亟待解决的问题．笔者观摩了“2018年苏州市区青年数学教师优质课评比活动”中刘炜老师执教的苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修四)》中“平面向量的概念与表示”，结合近期阅读的美国比兹堡大学关于数学课堂教学研究成果中七条保持高思维水平的教学方法，即：(1)给思维和推理“搭脚手架”；(2)为学生提供元认知方法；(3)示范高水平的操作行为；(4)维持对证明、解释或意义的强调；(5)任务建立在已有知识基础上；(6)在概念间建立联系；(7)适当的探索时间，真正体悟到了“思维行云流水，概念水到渠成”．下文将根据部分教学片断，结合七条准则(以下准则内容用数字表示)谈谈对概念教学的几点拙见．

1 教学片断

1.1 发现问题——向量概念的形成

问题1“从生活到数学”——图象展示五个苹果和手掌，引导学生抽象出数字5．

问题2“万物皆数”——图象文字展示毕达哥拉斯学派，提问学生是否每个对象都能用一个数来表示？

问题3“成语故事讲解”——图象文字展示退避三舍，提问学生“直退三舍”的命令能否用一个数来表示？

问题4根据中央气象台天气分析气流图，提问学生江苏所在位置上的“刷子”形状描述的是什么？

学生回答问题2、3不能用数表示，问题4表示风力和风向．

师：那么风力和风向所蕴含的内容能用一个数来表示吗？

生：不能．

师：很好！我们发现不是所有的对象都能用一个数来表示．那么具有上述特点的对象我们以前碰到过吗？比如在物理学上有类似的概念吗？

生：位移、速度、加速度、力．

师：所以我们发现这些量的共同特点是——

生：既有大小又有方向．

师：这样的量不能用一个数来表示，而我们从不同的对象中抽取出相同的特点时，我们就能够抽象出新的数学对象.那么既有大小又有方向的量叫什么最合适呢？想想汉语的凝练，这些有方向的量可以称为什么？

生：向量．

评析上述教学过程总共历时4分钟，做到了七条准则中的第1,5,6,7条．从生活谈起，抽象出“数”，从一般到特殊提出质疑是否所有的对象都能用数表示，给“思维和推理搭脚手架”，再在问题串的设置下发现问题得到新的对象，这是建立任务在已有知识基础上．教师只负责提问，问题内容丰富涉及生活、历史、数学文化等，且问题设置层层递进，水到渠成，通过教师的准确引导学生独立做到了对概念的高度概括和准确表达，整个过程体现了学生高层次的思维水平．

1.2 概念探究——向量概念的外延和内涵

师：中华文化源远流长是因为我们传承了文字、有了表示，那么对于数学的对象我们有没有表示？

提出问题：如何在方格纸上表示从A到B的向量．

学生上黑板作图,以A为起点，B为终点，画带箭头的线段．

生1：两点间的距离可以用绝对值．

师：很好！那么这个符号可以再借用一下吗？(停顿约30秒，大部分学生点头示意)借来以后怎么跟距离区别呢？

提出问题：向量能否比较大小，向量的模的取值范围是多少？

教师引导学生观察不同方向不同大小的向量，学生热烈讨论，得出向量不能比较大小，向量的模的取值范围是[0,+∞)．

提出问题：根据向量的模的取值范围，我们把长度为0的向量称为零向量，记为0，长度为1个单位长度的向量称为单位向量．那么它们的方向有什么特点？

学生得出以A为起点的单位向量的终点在一个单位圆上，而学生对零向量的方向意见不一.教师归纳零向量的意义是起点与终点重合，其方向是任意的．

师：非常好，那么从平面直角坐标系来看，还可以描述为——

生3：向上4个单位，向右3个单位．

操作：教师请学生上黑板作图，师生共同讨论得到相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量的概念及意义(表1)．

表1

评析在向量的概念探究部分，教师运用到了七条准则中除第4条外的六条．通过“搭脚手架”，为学生提供元认知方法，使学生自然而然得到了向量的几何表示，并沿用箭头的记号获得向量的符号表示；通过示范高水平的操作行为帮助学生定义向量的模的概念，并探究了模的特点．讲解向量的方向时，教师总结了单独的描述方法并引导学生概括出系统的描述方法，有了对大小和方向的充分理解后，将任务建立在已有知识的基础上；通过上黑板作图、师生讨论，进一步研究了相等向量、共线向量(平行向量)和相反向量，使学生在此过程中理解向量概念的外延和内涵．

1.3 数学联结——概念辨析及典型例题

·概念辨析

辨析1判断下列说法是否正确：

(1)温度是向量；(2)0是向量；(3)零向量的长度是零，方向可以是任意的；(4)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关．

辨析2判断下列说法是否正确：

(1)若两个向量模相等，则两个向量相等；(2)模相等的两个平行向量是相等向量；(3)若a=b，b=c，则a=c；(4)任意向量都与其相反向量不等．

辨析3判断下列说法是否正确：

辨析4判断下列说法是否正确：

(1)模为零的向量是零向量；(2)两个向量不能比较大小；(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；(4)有相同起点的两个非零向量不平行．

·典型例题

例1已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图1中所标出的向量中：

图1 图2

评析第一部分概念辨析中，教师以游戏的形式将班级分成四组，让学生选择题组回答，四组试题分别是对向量的概念、相等(相反)向量、共线向量和零向量的辨析．第二部分典型例题，教师请学生上黑板作图,让学生在向量的几何表示中理解相等向量和共线向量．此环节运用到了七条准则中的第4,7条，教师在学生遇到困难时，不主动给出答案，而是运用课堂已研究的问题，多次强调向量的基本概念，给予学生充分的思考时间，引导学生作出正确的回答．

表2

2 课堂分析

表2从横向看，概念探究环节有6个高思维水平的教学方法，发现问题是4个，数学联结是2个，即向量的外延和内涵>向量概念的引出>向量概念的辨析．通过多个保持高思维水平的方法让学生对向量概念的理解达到最大化，对向量概念的获得自然流畅，最终在数学联结部分收获了良好的课堂效果．从纵向看，适当的探索时间在各个环节中都有，而为学生提供元认知方法,示范高水平的操作行为和维持对证明、解释或意义的强调只出现了一次，这说明给学生留足时间是较有效且便捷的手段，而其余三种较高难度的教学方法是由教学内容本身和教师的水平所决定的．

综上，教师在三个环节中对七条准则都有应用，很好地保持了学生高层次的思维水平，并收获了高效的课堂，堪称典范．

3 思考与总结

概念教学应该是过程教学，而不是平铺直叙式的结论教学．在教学中教师可以使用问题串为载体，不要急于表白和自说自话，给学生创造机会，用梯度设问推动学生自主发现问题、解决问题，追求顺理成章、水到渠成，努力揭示建构数学模型的思维过程和数学知识的内在联系，鼓励学生发表不同意见，在讨论中再次探究，升华理解．这些措施符合七条准则中的第1～4条，是教师高水平的示范也是学生高层次思维的保持．另外，在概念教学中可以多在已有概念间建立联系，引导学生提炼信息，抽象数学概念，给予学生充分的探索和思考时间，挖掘概念的内涵与外延并通过一定的变式训练强化和巩固概念．这些措施符合七条准则中的第5～7条，是比较容易实现但又常被忽视的问题．

概念教学是中学课堂的重要内容，是培养数学抽象素养的主要途径，笔者相信这些先进的课堂研究成果必能在数学教学中为学生创设更优、更好的学习平台．

编者按：本刊第1期刊出了苏州工业园区教师发展中心引入大数据和互联网+技术辅助数学教学的实践，从本期开始，本刊将分三期刊出苏州高新区教育发展中心与中科院地理所合作开发的初中数学“学科地图”，以飨读者．