让学生信服更得让学生心服
——从一节基本不等式的复习课谈起
2020-03-16
(江苏省锡山高级中学 214174)
数学教学旨在促使学生高效、自主地学习,故“如何让学生自然、合理地完善并优化认知”是教师必须思考的问题． 事实上，教师教学的需求必须充分考虑学生的认知实际，才能让学生学得自然，从而心悦诚服地优化认知．下面笔者就基本不等式复习教学过程的一些实践，谈谈自己的几点体会，供同行探讨．
1 教学素材从学生解答中来，尊重学生需求
教师在基本不等式教学中会跟学生强调三个条件：一正、二定、三相等,有的会提到积定、和定等特征，但学生并不都能真正领悟，具体解答时会陆续暴露出问题，如下面两个案例．
学生给出的解法：
案例2已知非负实数x,y满足xy+2x+3y=21，求xy+5x+4y的最小值．
学生给出的解法：
2 师生探讨追求共识，让学生信服
案例1中学生的每种方法结果都是7，但显然有的是歪打正着，有的缺乏严密逻辑，案例2方法2的偏差恰好说明了这一点.师生必须通过深入交流、探讨以达成有效共识，才能让学生真正信服．
2.1 对症下药，纠正学生认知偏差
2.2 深入探讨达成共识，让学生信服
再探案例2的解法3，积定(x+3)(y+2)=27，换元得mn=27,m≥3,n≥2，求3m+n+10，再用基本不等式或线性规划解题．笔者继续启示：令t=xy+5x+4y，xy+2x+3y=21是否能看成x,y的二元一次方程组？学生试着消元、化简，得3x2+(28-t)x+3(28-t)=0，由Δ≥0得t≥28，检验等号能取到．
师生回顾反思：(1)二元(甚至多元)问题中，消元是常见的处理方式，从而转化为一元函数问题.合理换元则能优化整体关系，有助于理清问题本质．(2)注意分析问题特征，结合函数、方程、线性规划、基本不等式等多种渠道优化解决最值问题．(3)基本不等式求最值问题，必须把握好一正、二定、三相等的条件,充分抓住变量范围、积(和)为定值等特点．
3 促使师生共识融入学生解题中去，让学生心服
在初步认知的基础上，学生若能独立实践、切身受益，必可深化认知、心悦诚服．为此，笔者设计了以下两个旧题新做，希望学生能及时巩固和优化认知，让共识在解题中应用自如．
问题1设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1.在满足这两个条件的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．
解法1 几何意义为双曲线上点到l距离的最小值，用线性规划知识，即为与双曲线相切的l的平行线到l的距离；或l的平行线与椭圆有公共点，联立a-2b=z,2b2-a2=1对a,b有解，消元得2b2+4bz+z2+1=0，由Δ≥0求得d最小值．
问题2若实数x,y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是．
学生尝试后认为换元最明朗：令2x=m,2y=n,m>0,n>0，则m2+n2=2m+2n，S=m+n．(1)从几何角度处理，圆C:(m-1)2+(n-1)2=2右上四分之一部分(不含两端点)与直线m+n-S=0有公共点．(2)消元，①消m与n中的一元，由另一元二次方程Δ≥0检验等号，却只能得0
通过实践体验，学生深化了对案例1、2的认识，学会了变通和反思，拓宽了思维，经历发现问题、分析问题、解决问题的完整过程，学生不仅合理纠正了自我认知偏差，还感悟了常规解法、最优解法的特点和优势，在解题中能更自然地追求通性通法和最优解．
4 教后反思
上述教学实践让笔者体会到：
首先，学生的解答过程可以是教师教学素材的重要来源．如果教师多留意学生的日常学习过程，就能更准确地掌握学生的学习动向和实际需求，更有针对性地选择教学内容、设计教学过程、提升教学效率．
其次，教师应鼓励学生养成独立思考、交流探讨、批判反思、实践检验等优良的学习习惯．教师应在课堂上创设机会激励学生独立思考，勇敢地表达自己的观点，通过深入探讨追求多样化的数学理解和解释，从而优化解题思路、拓宽解题思维；同时教师需引导学生及时反思、形成批判性思维习惯，逐渐提高学生自主学习的能力．
再次，教师要遵循学生的认知规律，循序渐进、循循善诱地吸引更多学生自然地完善认知，追求每个学生心悦诚服地深化认知．学生通过明确各条件的逻辑推理关系、完整认知问题情景、理性决定解题策略，才能对自己原有的想法形成足够量的批判而有效纠正认知偏差，这需要学生花足够的时间去不断分析、预测、尝试、检验、反思.教师必须有足够耐性去鼓励、等待、诱导、倾听、交流，才能最终换来学生对所学知识和方法的自然接受和合理运用．
最后，教师应不断自我完善，为优化教学创造有利的必备条件．钱学森院士曾强调“教材不是主要的，主要的是教师”，教师的言传身教对学生而言本就是最形象、最丰富的教科书，教师的言行甚至会影响学生的一生．教师应多方面积累合理的教学素材，不断研究如何从启迪人的思维和智慧的角度去开展教学，坚持注重学生基本知识的夯实、基本能力的培养，持续促进学生对整体的结构、功能、变化过程的分析和理解，强调主干知识、通性通法以优化学生认知结构．
