基于数学直观想象素养下的教学

穆凤

[摘  要] 数学教学的目的并非是让学生学会计算和解题，其核心在于要以计算和解题为媒介来掌握数学的思想方法. 我们应利用数学客观、严谨的特性，作为解决实际问题的基本思路，培养学生的实践和创造能力. 直观想象素养在高中代数和几何方面都有涉及，因此教师非常注重直观素养的培养. 高中是学习的重要阶段，学生已经具备一定的逻辑思维能力. 教师应注重培养学生的直观想象能力，使学生建立数学与图形的联系，利用图形解决数学问题，提高学生的数学学习能力.

[关键词] 数学素养;直观想象;数形结合

“数学素养”是一个较为宽泛的定义，包含很多内容，其中一些是核心部分，是学习数学的基本素质，是用数学方法解决实际问题的关键，他们统称为数学核心素养. 其中，数据分析、逻辑推理、数学建模和数学运算属于数学技能范畴，他们是解决实际问题的重要途径. 一旦具备了这些素养，就表明学生已经能够熟练地运用数学知识，从而大大提高解决问题的效率. 而数学抽象和直观想象则属于数学思想范畴，他们是运用数学知识的理论基础. 直观想象素养是指借助空间形式认识事物的位置关系、形状变化与运动规律;用图形描述和分析数学问题，建立数与形的联系，建立数学问题的直观模型，探索解决问题的思路. 其主要表现为建立数与形的联系，用几何图形描述问题，用几何直观理解问题，用空间想象认识事物.

数学教学的目的并非是让学生学会计算和解题，其核心在于要以计算和解题为媒介来掌握数学的思想方法. 我们应利用数学客观、严谨的特性作为解决实际问题的基本思路，培养学生的实践和创造能力. 要实现这一目的，教师应着眼于数学素养中的重点内容，以培养学生的数学核心素养为基点来组织教学. 直观想象是不同的思维方法或思维形式. 想象也是在直观基础上，视为直观的延伸，是发现问题和解决问题的重要手段. 它也是进行论证、数学推理和构建抽象结构的思维基础. 在教学中，应注重数学直观想象的落实和培养. 基于此，本文结合教学实践，在界定数学核心素养基本概念的基础上，通过教学实例分析了数学直观想象素养的有效渗透.

■高中数学直觀想象素养的培养

直观想象素养在高中代数和几何方面都有涉及，因此教师非常注重直观素养的培养. 高中是学习的重要阶段，学生已经具备了一定的逻辑思维能力. 教师应注重培养学生的直观想象能力，使学生建立代数与图形的联系，利用图形解决数学问题，提高学生的数学学习能力.

（一）注重直观演示教学，培养学生的识图能力

图形是几何体呈现的载体，识图能力是作图和分析图形的基础. 教师应注重学生识图能力的培养. 培养学生能够从图形中获取已知信息，并通过已知信息间的关系挖掘隐含信息. 教师在备课时选择演示物要使学生能清晰地感知演示对象的有用特征与关系. 在课堂教学时，首先应使学生明确观察的目标和内容. 在具体的展示过程中，指导学生从不同的角度观察，注意内在的结构和关系特征，让学生思考观察的结果，鼓励学生在生活中多去观察和发现身边的实物.

（二）注重加强实践教学，培养学生的作图能力

高中学生在课堂上只听老师讲和看，很难形成较高的能力. 因此教师应注重培养学生的画图意识，让学生掌握一些基本图形的画法. 教师在教学中应强调画图的重要性，引导学生养成用画图去分析和解决问题. 让学生将抽象性较强的数学语言和直观的图形有机结合起来. 指导学生提取关键信息，依据已知信息画出相应图形（要求画图准确，图形特征明显，并标明数量关系）. 学生具有良好的画图能力，可以促进识图能力的发展. 教师还可以指导学生使用几何画板等数学软件进行作图操作.

（三）注重培养学生学会建立图形与图形、图形与数量的联系

要提高学生的直观素养，应注重培养学生建立图形与图形、图形与数量的关系. 教师要让学生学会观察图形的组成部分，以及图形与图形之间的关系. 通过图形的旋转、对称和翻折等变换，使学生发现变化过程中的不变关系和变化关系，并弄清原因. 在教学中，教师要注重让学生挖掘图形中的数值，并探究其中的数学规律，让学生直观地总结出数学对象的性质，并将所得性质衍生到同类图像中. 让学生体会数形结合的作用，形成数形结合的思想.

（四）注重培养学生数学语言交流与表达

提高学生的数学直观想象素养，让学生不仅能够用数学的眼光看世界，还能用数学的语言表达世界. 在教学中，教师可以让学生借助直观想象用数学语言描述现象，提出有关数学问题，讨论数学问题. 教师要鼓励学生运用规范的数学语言描述数学问题，多用图形语言进行交流和表达.

■基于直观想象素养的数学定理教学

本人有幸参加了重庆市渝中区举行的“高中青年教师优质课大赛”，聆听了几位专家结合高中数学核心素养的实践关于笔者所授这节课（函数单调性）的点评，受益匪浅，让我们一线数学教师能更深入地理解核心素养的本质，更自然地将其与实践相结合. 结合专家们对数学核心素养的解读，笔者对这节课的教学设计做了一些修改.

1. 课题引入

设计立意：启发学生由图像获取函数性质，培养直观认识，从而引入新课.

师：由图1，你能说出函数图像有什么特征？

随着x的增大，y值有什么变化？

学生看图，并说出自己的看法.

2. 师生互动，探究新知

设计立意：启发学生获取函数y=x2的图像的升降特点. 使得学生从定量分析过渡到定性分析，从直观认识过渡到数学语言表述，并体会出单调性是针对区间而言的.

师：请大家作出y=x2的图像.

小组学生共同合作画图，并观察图像的变化趋势.

师：有同学能描述一下函数y=x2（x>0）的图像的变化趋势吗？小学是怎么直观感知的？

生：从左往右看，图像越来越高.

师：初中是怎么形象描述的？

生：y随着x的增大而增大.

师：你能描述函数y=x2在R上的图像的变化趋势吗？

生：分别比较函数y=x2在y轴左侧和右侧的图像，y轴左侧随变量x值增大，函数值y减小;y轴右侧随变量x值增大，函数值y增大.

師：从上面的观察分析可以看出：考察一个函数的单调性，必须指明区间，否则没有意义. 即函数单调性是针对定义域中某个区间而言的，是一个局部性质.

3. 数形结合，互动探究

设计立意：指导学生从定量分析过渡到定性分析，从直观认识过渡到数学符号表述，由形到数，再由数到形. 从具体到一般引出函数增减性的定义.

师：函数y=x2的图像在y轴右侧随x的增大而增大，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？如何用抽象的数学符号语言清晰描述这一动态变化呢？

生：当1<2<3…时，有f（1）

师：特值对比能反映整体趋势吗？

生：不能.

要注意x1，x2取值的任意性.

师：在（0，+∞）上，随意取两点（x1，y1）和（x2，y2），观察x1，x2和y1，y2的关系.

生：当x1

师：怎样反映出图像的整体变化趋势（随机取足够多的点对），由此你得出什么结论？

学生表述各自的结论.

教师引导学生得出：函数y=x2在（0，+∞）上图像是上升的，用函数符号来描述就是：对于（0，+∞）上任意的x1，x2，当x1

师：对于一般的函数f（x），我们应当如何给增函数下定义呢？

设计立意：引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善后给出增函数的定义.

学生通过观察、验证、讨论、交流后表述各自的结论.

设计立意：得出减函数的定义，并由此培养学生类比的能力. 与函数y=x2的图像特点比较，与从具体到一般相呼应，强调定义中的要点.

你能仿照这样的描述，说明函数y=x2在区间（-∞，0）上是减函数吗？

师生共得出减函数的定义.

你能分析一下增（减）函数定义的要点吗？

教师引导学生体会定义中的关键点.

设计立意：巩固概念，并培养学生的自学能力.

自学例1：图4是定义在区间[-5，5]上的函数y=f（x）的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数.

教师指导学生阅读教科书上的例1.

学生回答问题.

设计立意：使学生学会用定义证明函数为增（减）函数，并掌握证明的步骤.

通过学习例2，学会证明函数在某个区间的增减性，并试着总结证明的步骤.

学生阅读例2，并用定义证明y=x2-1在区间（-∞，+∞）上的单调性.

教师启发学生概括用定义证明增（减）函数的一般步骤，注意给学生留有思考的时间.

学生交流自己总结的步骤.

教师板书证明步骤.

设计立意：学生通过总结本节知识，进一步对所学内容进行了巩固.

课堂小结，这节课你有什么收获？

学生讨论、交流本节课内容，并进行小结.

■数学核心素养分析

本节课是基于培养学生的数学核心素养的教学理念进行设计的. 在有限的空间和时间中，既要实现课时目标，又要落实核心素养. ？摇

本节课设计起源于学生熟知的一次函数和二次函数的图像，首先让学生对函数单调性有一个直观认识;其次让学生回忆小学、初中时对单调性的文字描述;再次引导学生用符号语言进行抽象概括;最后演绎为一般函数单调性的定义. 这一系列活动的目的是从用自然语言描述函数单调性转化到用数学语言刻画函数单调性的定义. 基于学生已解决的问题创设情境，激发学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析和解决问题以及用数学语言交流的能力. 它为学生提供了自主探究的平台. 从阅读学习中发现、分析和解决问题，不仅符合学生的心理特点，还注重了学生的思维过程. 在这一过程中，运用了直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理，使数学核心素养真正落实于课堂之中.