让“活动经验”与“思维经验”齐飞

周凌霞

[摘  要] 在核心素养的理念下，高中数学的教学目标要实现“双基”到“四基”的转变. “基本活动经验”是“四基”中的目标之一，其中包括“实践经验”与“思维经验”. 要为学生设计数学基本活动，把“基本活动经验”的培养渗透于活动教学之中，以此促进学生数学核心素养的提升. 基于此背景，对“两角差的余弦公式”一课的教学进行了探究，希望能够达到一定的借鉴意义.

[关键词] 基本活动经验;两角差的余弦公式;教学设计;教学反思

在2017年版的《普通高中数学课程标准》中，首次明确地提出了“四基”目标，并强调“基本活动经验”是开展数学学习的重要基础. “基本活动经验”包括“实践经验”与“思维经验”，两者分别对应的是“数学直观”与“数学思考”. 在高中数学教学中，教师要为学生设计数学基本活动，要把“基本活动经验”的培养渗透于活动教学之中，以此促进学生数学核心素养的提升. 以下，结合“两角差的余弦公式”一课的教学，来谈一谈如何在课堂教学中为学生设计高效化的数学活动，以此帮助学生积累丰富的“基本活动经验”.

■基于“基本活动经验”的“两角差的余弦公式”的教学设计

1. 激活原有认知，引发直观想象

高中生在数学学习的过程中，是在原有的认知基础上进行的，因此，教师要善于根据教学内容之前的前后联系，引导学生进行复习回顾，以此激活他们的原有认知，并在此基础上通过数形结合的方式引发他们的数学想象，以此培养他们的“直观经验”，为他们课堂上的新知探究找准“起点”.

在本课教学的第一环节中，笔者首先给学生呈现了图1：

师：在初中的时候我们就已经学过了勾股定理. 根据这一幅图，请说一说是怎么证明勾股定理的.

生：从图1可以看出，四个完全一样的直角三角形可以拼成两个完全一样的正方形. 在这两个图形中，阴影部分和空白部分的面积是完全相等的，由此得到a2+b2=c2. 这一种证明勾股定理的基本思想和方法是数形结合.

师：很显然这种证明方法既严谨又直观. （继续出示图2）

师：对于几何图形的度量以及计算，会涉及长度、面积以及角度等因素. 请同学们仔细观察图2，假设在直角三角形中，斜边长为1，其中一个锐角为θ，基于勾股定理的证明思路，你能列出和θ相关的等式吗？

生：sin2θ+cos2θ=1 .

针对勾股定理的证明，涉及几何图形的拼接割补，而且证明的重点是借助对几何图形的度量以及计算，实现对几何关系的转化，并以代数的方式进行表述. 在以上教学中，通过“以形证数”的方式能够帮助学生进行直观想象. 在几何度量中不仅涉及长度、面积，还包括角度，所以虽然使用的是相同的图形，但是以不同的代数能够得出不同的表示，能够帮助学生树立数学的眼光，能够以不同的视角观察几何图形，发展其质疑能力，积累丰富的活动经验.

2. 引导合作探究，获得初步结论

“数学是思维的体操”，在高中数学教学中，培养学生的“思维经验”是很重要的. 因此，教师要为学生设计自主化的数学探究任务，以此引导学生在合作探究的过程中积累“活动经验”，促进他们“思维经验”的提升.

在本课的教学中，笔者给学生设计了以下合作探究任务：如图3所示，有两对直角三角形，其斜边长都为1，假设第一对直角三角形中的其中一个锐角为α，第二对直角三角形中的其中一个锐角为β. 请你根据勾股定理的证明思路，写一写与α，β相关的等式. （同桌互为一组，每人一对直角三角形）

在学生完成学习任务以后，组织学生进行交流展示，学生在交流展示的过程中得出以下结论：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

这个探究问题是对前面第二个问题的变式，在经历了层层深入的探究之后，学生再次亲历勾股定理的思维过程，基于几何图形积累发现数学结论的活动经验，这样不仅有助于提高几何直观素养，而且还能够实现思维的拓展，使学生可以在这一过程中获得更丰富的感悟，了解数学问题的产生以及发展，从而培养他们发现问题以及提出问题的能力.

3. 引导推导证明，推广公式范围

在前面的两个环节中，学生基于勾股定理这一原有经验，通过数形结合的方式得出了两个角是锐角情况下的两角差的余弦公式. 因此，在第三个环节中，笔者引导学生开展推导证明活动，把这一公式推广至任意角，从而完善两角差的余弦公式.

师：在前面的探究过程中，我们在定义锐角三角函数时，利用了直角三角形的三边关系，利用直角三角形的拼接图形验证了以锐角为前提的两角差的余弦公式，如果将它推广至任意角，你认为应该怎么做？

生：可以借助单位圆模型. （出示图4）

师：如图4所示，应该如何在图中表示α-β？

生：α-β=∠AOB.

师：你能够联系以前学过的与角的相关知识写出它的余弦值吗？请你先独立思考，然后在练习本上写一写.

有的学生根据向量的相关知识写出了∠AOB的余弦值即α-β的余弦值，并指出α-β要满足0≤α-β≤π，结论才能成立;还有的学生根据诱导公式写出了α-β的余弦值.

根据初高中阶段针对三角函数定义的学习顺序，先用直角三角形拼接成为几何图形，以此展开公式的探究与发现，在进行推广研究证明时，再借助單位圆模型，这样就实现了由特殊到一般的验证过程，与学生的认知规律相吻合. 这样的教学设计都突出强调了学生的数学思维活动，真正实现了由数学直观成功地过渡到理性思维，有助于发展逻辑推理能力.

4. 设计变式练习，拓展探究空间

在高中数学教学中，学生通过自主探究获得相应的数学公式以后，还要通过变式练习促进他们对获得的探究结论进行内化，这样，就能够有效地拓展他们数学探究的空间.

在这一堂课的教学中，笔者给学生设计了这样一道变式练习：有两对直角三角形，其斜边长都为1，将其拼成如图5所示的矩形，其中空白部分（菱形）的面积所代表的含义是什么？

在这一道题中，给出了另外一种矩形的拼接方式，根据不同的角的标注，所探究的结果有两种可能：一是两角（锐角）差的正弦公式，二是两角（锐角）和的余弦公式. 这一道题能够为学生的思维形成一定的引领，使活动经验得到进一步强化和积累，能够为接下来其他公式的学习奠定良好的根基，具有典型的开放性特点，能够有效地培养学生的创新思维.

■基于“基本活动经验”的“两角差的余弦公式”的教學反思

1. 培养“实践活动经验”要重视“数学直观”

在学习三角公式的相关知识的过程中，对学生而言，常常更关注公式的实用性，这是对其理解过程的极大忽视. 本课的教学设计选择了与众不同的视角，将具体的学习过程置于初高中阶段的庞大知识体系中，以学生的认知发展规律为核心，紧扣几何图形设计实践活动，其中既包括创设情境、探索发现，也涉及课后探究作业等诸多教学环节. 当然，在探究过程中，也需要进行变式处理，这样才能真正有助于丰富并强化学生的实践活动经验. 实际上，对于每一个几何图形而言，都体现着相应代数所代表的几何意义，而这有助于学生深化对公式的理解，能够为其积累丰富的活动经验，在发展数学直观素养、推导数学结论等诸多方面都具有显著的促进意义，能够使学生在自然的状态下主动地习得知识.

2. 培养“思维活动经验”要重视“数学推理”

以已有知识解决问题的过程，都应当有助于发展学生的数学思维，特别是在公式的推广与证明方面，切不可急于求成，而应当设计具有引导性的问题，以此点燃学生思维的火花，促使其展开深度思考，更要与其“最近发展区”相接近，使学生能够自然地展开探究，发现严谨的证明思路. 在公式的应用中，不能仅限于教材例题，而应当设计变式或者题组，由繁至简，层层深入，这样才能够使学生已经积累的解题经验逐步归一，才有助于其完善数学思维体系、丰富活动经验.

总之，在高中数学教学中，不仅要关注对学生“实践活动经验”的培养，也应当重视对学生“思维活动经验”的培养，因为这是“基本活动经验”的两个重要构成部分，而且与其他“三基”之间也存在着紧密联系，只有多管齐下，才有助于促进学生数学核心素养的全面提升.