立体几何备考指南

孙承辉

立体几何是发展同学们空间想象能力与逻辑推理能力的重要载体。高考对立体几何的考查主要由三部分组成：一是计算空间几何体的表面积和体积;二是证明空间点、直线、平面的位置关系;三是计算空间角等问题。本文结合典型例题对立体几何的考查重点进行剖析，总结解题方法，供同学们复习时参考。

高频考点1：空间几何体的结构

高考通常以空间几何体为载体，考查与此相关的三视图、表面积和体积等知识，题型以客观题为主。解题的关键是认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，理解几何体表面积和体积的计算公式。

点评：根据正△ABC及O是PC的中点，同学们可以发现三棱锥O -ABC是正三棱锥，从而找到三棱锥P-ABC的体积与其外接圆半径R之间的等量关系。

点评：本题以空间几何体的三视图为载体，考查几何体表面上的最短距离，基本思路是根据三视图得出展开图，再利用平面几何关系求出最短距离，体现了化折为直、化曲为直的思想。

高频考点2：空间中的平行与垂直关系

在探究线面平行或垂直关系时，同学们既要熟悉与平行、垂直相关的判定定理和性质定理，也要认真体会“转化”这一数学思想方法，这种转化思想不仅体现在平行（或垂直）内部，也体现在平行与垂直之间的互相转化。

例3 （2020年山西五地联考）如图3，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（

）。

A. | BM|是定值

B.点M在某个球面上运动

C.存在某个位置，使DE⊥A1C

D.存在某个位置，使MB∥平面A1DE

解析：如图4，取CD的中点N，连接MN，BN，则MN∥DA1，BN∥DE，容易得到平面MNB∥平面A1 DE，所以MB∥平面A1 DE，故D正确。

由∠A1DE= ∠MNB ，MN=1/2 A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+ NB2-2MN . NB .cos∠MNB，所以MB是定值，故A正确。

因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的球上，故B正确。

因为A1C在平面ABCD中的射影为AC，而AC与DE不垂直，可得C不正确。

点评：本题主要考查空间位置关系的判定，处理翻折问题时要明确翻折过程中哪些量发生了变化。判断C选项时用到了三垂线定理及其逆定理，这有助于迅速判断两条直线是否具有垂直关系。

例4（2020年滨海模拟）如图5，在三棱锥A-BCD中，点M，N分别在棱AC，CD上，且N为CD的中点。

（1）当M为AC的中点时，求证：AD∥平面BMN：

（2）若平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BC，求证：BC⊥AD。

解析：（1）在△ACD中，因为M，N分别为棱AC，CD的中点，所以MN //AD。又AD≮平面BMN，MN（平面BMN，所以AD//平面BMN。

（2）如图6，在平面ADB内，作AO⊥BD，垂足为O。因为平面ABD上平面BCD，平面ABDn平面BCD=BD，AO（平面ABD，所以AO⊥平面BCD。因为BC[平面BCD，所以AO⊥BC。又AB⊥BC，AO，AB（平面ABD，AO∩ AB=A，所以BC⊥平面ABD。又AD（平面ABD，所以BC⊥AD。

点评：本题主要考查线面平行的判定、面面垂直性质定理的应用及通过证明线面垂直得到线线垂直的过程，条件中的面面垂直通常转化为线面垂直。

高频考点3：空间中角的计算

空間角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，在高考中经常以解答题的形式出现。正确求解此类问题的关键是明确上述空间角的范围，通过建立适当的空间直角坐标系，然后利用向量方法进行计算。

例5（2020年浙江义乌模拟）如图7.在多面体ABCDEF中，正方形ABCD和矩形BDEF垂直，G，H分另U是DE和BC的中点，AB=BF=2。

（1）求证：DE⊥平面ABCD;

（2）若在BC边所在的直线上存在一点P，使得FP∥平面AGH，求FP的长;

（3）求直线AF与平面AGH所成角的正弦值。

解析：（l）因为平面ABCD上平面BDEF，平面ABCD n平面BDEF=BD，DE（平面BDEF，DE⊥BD，所以DE⊥平

点评：本题考查面面垂直的性质、线面角的求解及线面平行的应用。本题的易错点是忽略线面角的取值范围，造成正弦值为负值。

点评：通过直线的平移，把异面直线BC与PD所成的角转化成∠ADP=120度，再根据条件中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，用向量法求立体几何中的线线角、线面角和二面角。

（责任编辑 王福华）