空间平行、垂直证明与求空间角高考考点探究与突破

王喜

直线、平面平行（垂直）的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其应用等内容。题型主要是解答题，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。同时，其问题形式一般是：首先，在几何体中证明平行或垂直关系;其次，结合獲取的平行或垂直关系求几何体中的异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离，以求二面角的平面角居多。

考点一：直线，平面平行的判定及其性质与线面角

通过空间向量求空间角是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容。命题以解答题为主，解题要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程思想，转化与化归思想。

例1 如图1，在四棱锥P-ABCD中，PA上平面ABCD，AD∥BC.AB=AD=AC=3.PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点。

（1）证明MN∥平面PAB：

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。

规律总结：（l）证明直线与平面平行，一般有以下几种方法：①若用定义直接判定，一般用反证法;②用判定定理来证明，关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程;③应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面。

（2）判定平面与平面平行的方法：①利用定义;②利用面面平行的判定定理;③利用面面平行的判定定理的推论;④面面平行的传递性（a∥β，β∥γ=>a∥γ）;⑤利用线面垂直的性质（l⊥a，l⊥β=> a//β）。

考点二：直线，平面垂直的判定及其性质与二面角的平面角

利用空间向量求二面角，一是要找到适合的坐标原点建立空间直角坐标系，二是要求出两个半平面的法向量，最后把两个法向量的夹角反映为二面角的平面角，通过求解相应的三角函数值，落实二面角的平面角。

例2 如图6，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点o，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=5/4，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置，OD'=√10。

（1）证明：D'H⊥平面ABCD;

（2）求二面角B-D 'A-C的正弦值。

解析：（l）由已知可得AC⊥BD，AD=

规律总结：（l）解决垂直关系的基本问题时要注意：①紧扣垂直关系的判定定理与性质定理;②借助于图形进行判断;③通过举反例进行判断。

在已知平面与平面垂直时，一般要用性质定理进行转化。在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

通过以上的两个例题，我们主要是针对求线面角、二面角的解题思路做出了解答，目的在于帮助同学们对这两类热点题型在思想与方法上进行归纳、总结，当我们再次遇到时可以做到有的放矢。

（责任编辑 王福华）