一类经典的错题

北京师范大学出版集团(100875) 岳昌庆

某地区初三师生人手一本的著名品牌配套用书[1][2]中有这样一道题目：

例1若,求的值．

解法1由已知得所以即a2+b2=-ab．所以

解法2由已知得所以(a+b)2=ab,即

显然ab=0,方程两边同除以ab得即．

解法3显然a=0,b=0,可设则b=ax,代入已知得所以,即x2+x+1=0,但∆=1-4＜0,此方程无解．

产生这种情况的原因是什么?

解法1,解法2的本质是相同的,即①．

当我们将b看成定常数,a为元时,此时①的判别式∆=b2-4b2＜0,仍然是不存在满足条件的实数解．只有上了高中,将实数域扩充为复数域后,①才有虚根,且的值仍为-1．所以,在初中阶段解法1、解法2本质上是错误的．

此背景题目正确的最早出处之一可见2000年中考四川省内江市卷第30题：

即本文作业1．

我手边没有[1][2]的第1～5版,但愿只此三版存在此问题吧．

网上一搜,同类型题目数不胜数,“存在”与“不存在”的命题比比皆是,不乏命制者“拍脑袋”之作．故此写出来,借贵刊一角,正本清源,以正视听．

作业1(2000年中考四川省内江市卷第30题3分压轴题)已知=____．

作业2若的值．

作业3若的值．

作业4(2002年全国初中数学联赛试题第1题)设a＜b＜0,a2+b2=4ab,则的值为( )．

作业5(2015年高考湖南卷理第16(III)题12分)设a＞0,b＞0,且．证明：

(1)a+b≥2;

(2)a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．

答作业1：．作业2：5．作业3：1．作业4：A．作业5：略．