试题再利用，师生共成长

浙江省杭州第十四中学(310006) 楼思远 申东奎

一次高三试卷讲评课后,部分学生对笔者课堂上展示的解法无异议,但对自己思路的错误缘由却百思不得其解,笔者由此重新审视该题,在找到学生的思维盲区后,及时的对该类题型进行了拓展与训练,整个过程基于学生的最近发展区层层推进,取得了较好的教学效果.以下是具体的过程：

试题如图1,椭圆,以C的左顶点T为圆心作圆T：(x+2)2+y2=r2(r＞0),设圆T和椭圆C交于点M和点N.

图1

(2)设点P是椭圆C上异于M和N的任意一点,且直线MP和NP分别与x轴交于点R和S,O为坐标原点,求证为定值.

标准解答(课堂呈现)

(1)易知T(-2,0),令M(x1,y1),N(x1,-y1),由M,N都在椭圆上知：

(2)设P(x0,y0),则令y=0得,同理可得,因此,注意到点M,P均在椭圆上,故从而

笔者认为该解答清晰流畅,学生易于接受.然而在接下去的几天,却陆续有学生提出了临场考试时的困惑,几位学生的思路如下：

生甲：根据∆＞0,方程恒有两不同的实数解,但是根据题目所给的图象,应该是两个相等的实数解(M与N的横坐标相同)才对啊?

生丙：我的想法与乙差不多……,然后就算不下去了.(其余几位同学都小声附和：为什么图象与方程对不上呢?).

笔者发现几位学生的错误原因其实是一样的,同时意识到这是学生中普遍存在的思维盲点,应及时抓住这个时机发掘问题本质,进而提升思维品质.于是提示学生将函数图象与解析几何图形放一起,将具体解得的两个实数根都标在上面进行比较,并请他们在课堂上分享所思所想;另一方面笔者也精心准备了几道同类型的题,准备在课堂上加深学生对问题的理解.

教学片段(学生分享所思所想)

生甲：(黑板上画出解析几何图形与二次函数图象),由方程组

消去y2得到

但(1)(2)并不等价,因为(1)中涉及两个封闭图形的方程,两个变量x,y相互联系相互制约,根据y2的非负性知：x∈[-2,2],因此应该是

在x∈[-2,2]上有唯一实数解才对.

师：在由几何图形向代数方程转化的过程中,一定要注意隐含条件的挖掘,转化的过程必须做到等价.接下来我们看看大家是否真的理解了问题的本质,请看题1：

题1已知椭圆和圆C2：x2+(y+1)2=r2(r＞0),若这两条曲线没有公共点,求实数r的取值范围.

解将方程联立得：5y2-8y+4r2-40=0,由(1)知y∈[-2,2],故原题等价于f(y)=5y2-8y+4r2-40=0在[-2,2]上无实根,结合图象分类讨论：

1.若∆＜0,则此时无解,满足题意,如图2;

图2

3.若∆＞0,则结合二次函数图象知：为了满足y∈[-2,2]时无解,只需f(-2)＜0,解得r＜1,因此0＜r＜1,如图4.

图3

图4

师：注意以下几点：

(1)此题联立方程消去x是为了使计算更简洁,消去y求解亦可;

(2)有的同学会有疑问：由(1)知y∈[-2,2],由(2)知y∈[-r-1,r-1],是否取二者的交集作为限制条件?其实,由y∈[-2,2]知x2≥0,代入(2)可推得y∈[-r-1,r-1],故取y∈[-2,2]即可.

(3)从图三可以看出,当二次方程满足∆=0时图象却有两个交点,这是因为同一个y对应两个x的值,这也是部分解析几何图形与函数图象的区别.

总结对于该类问题,应先列出函数方程,根据隐含条件对实根的分布进行分类讨论,最后结合图形验证;若先根据几何图形的移动来讨论,则会出现漏解的情况.我们再看几例：

题2若椭圆C1：x2+4(y-a)2=4和抛物线C2：x2=2y有公共点,求实数a的取值范围.

解将方程联立得：2y2+(1-4a)y+2a2-2=0,由(2)知y∈[0,+∞),原题等价于：f(y)=2y2+(1-4a)y+2a2-2=0在[0,+∞)上有实根,结合图象知只需满足：是较大的实数根),解得,通过移动图5可以验证结论成立.

图5

图6

题3若曲线(a为正常数)和C2：y2=2(x+m)在x轴上方仅有一个公共点P,求实数m的取值范围(用a表示).

解将方程联立得：x2+2a2x+2ma2-a2=0,由题意知x∈(-a,a),原题等价于：f(x)=x2+2a2x+2ma2-a2=0在(-a,a)上有唯一实数根,结合图象分类讨论：

2.f(a)·f(-a)＜0,此时m∈(-a,a),a＞0;

3.f(-a)=0,此时m=a,而方程得另外一个解为x=a-2a2,令-a＜a-2a2＜a得a∈(0,1);

4.f(a)=0,同(3)讨论知无解.

综上,当a∈(0,1)时或者m∈(-a,a];当a∈[1,+∞)时：m∈(-a,a).通过移动图6可验证结论成立.

通过课堂练习,学生对于问题的本质有了更深刻的理解.笔者也意识到：在解析几何的复习教学中,一定要去认真了解学生的解题思路,能够从学生的思考角度出发对教学策略作出适当调整,并对解题方法进行模型提炼,进而让他们意识到直观想象与逻辑推理两者的相辅相成与辩证统一性,体会到数形结合思想的丰富内涵,提高复习的效率.

古语有云：学贵有疑,于不疑处生疑,方是进矣.第一问解决后,笔者仍觉意犹未尽,对第二问也产生了兴趣,翻阅资料后发现2015年陕西省数学竞赛考了如下问题：

题4如图7,已知圆O：x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A,以A为圆心的圆A(x-2)2+y2=r2(r＞0)与圆O交于点B和点C.

图7

(2)设点P是圆O上异于B和C的任意一点,且直线PB和PC分别与x轴交于点M和N,求S△POM·S△PON的最大值.

(1)-2;(2)同试题思路知xM·xN=4,故S△POM·因为-2≤yp≤2,所以当yp=±2时,S△POM·SΔPON取最大值4.

图8

图9

对比试题与题4可以发现：xM·xN=4=R2,xR·xS=4=a2,这里R与a恰好是圆O和椭圆C与x轴正半轴的交点横坐标,这是巧合还是必然?经过认真的思考与探索,笔者利用高等几何中极点与极线的观点得到如下证法(以试题第(2)问为例)：

(2)如图8,连结MN,连结RN交椭圆于点G,连结MG,PG,由对称性可知直线MG经过S点,G和P两点关于x轴对称.从图象中看出点R的极线lR经过点S.令点R(t,0),则即,从而于是xR·xS=4,即.

由该解法可知结论是必然的,且对于一般的圆锥曲线都有类似的结论,下再举一例：

证明如图9,连结MN,连结RN交双曲线C1于点G,连结MG,PG,由对称性知MG经过S点,G和P两点关于x轴对称.从图象中看出点R的极线lR经过点S,令点R(t,0),则,从而于是xR·xS=a2,即.其余情况都可类似证明之,不再赘述.

一点思考

一方面,在高三的复习教学中,教师若要摆脱题海战术的桎梏,提高复习效率,仅仅满足于讲清楚标准答案是远远不够的,很多时候学生对同一个问题有着截然不同的思考与看法,若是教师不注意这点,就无法和学生产生共情,课堂教学也随之变成了教师的独角戏,若要减少这类情况出现,笔者认为可从以下两点入手：对于正确而巧妙的思路,应及时通过师生的辩证与分析,在课堂上内化为学生自身的经验;对于较典型的错误,则应耐心细致的去了解学生的思考过程,帮助他们找到思维盲区后深入挖掘严谨剖析,让他们在课堂上分享自己的所思所得,从而使学生之间产生共鸣,进而起到正强化的作用.

另一方面,学生的困惑也促成了笔者对于试题的二次思考与开发,在翻阅高等几何相关书籍后,笔者从极点与极线这一高观点出发,经过探索得到了第二问的一般性结论,在这个过程中笔者的专业水平得到了很大提高.正所谓教学相长也!

在数学教学中,遇到一些看似平凡的内容,能够透过本质丰富内涵,这是举轻若重;遇到一些看似疑难的问题,能够透过本质轻松化解,这是举重若轻.上述对我们教师提出了更高的要求：若要给学生一杯水,教师须有一桶水,只有充分认清数学本质、深刻理解数学思想、灵活掌握数学方法,才能做到高屋建瓴,胸有成竹.