高等数学教学中实施 PBL的设计研究

缪彩花

本文以“函数的极值与最值”为案例，对PBL教学法在高等数学教学中的应用进行了探讨，通过提出问题、设计教学和实施教学的实验过程，使学生充分认识PBL教学法，为进一步在高等数学教学中实施PBL教学法起到促进和推动作用。

高等数学是一门古老而又十分重要的基础学科，它建立在初等数学基础之上，结构严谨，是各理工学科的基础，是解决其他相关理工学科问题的重要工具。高等数学可以培养学生良好的逻辑思维能力及运算能力，还可以为学生的终身学习和专业学习提供服务。然而，不少学生对高等数学望而生畏，且觉得学习高等数学只是为了考试，只是为了拿学位、拿文凭，认为高等数学没多大用处。要纠正这种认识，提高学生的数学素养，应从数学源头入手，引導学生发现生活中的数学，增强数学的应用意识。在教学中应打破以教师为主导的教学模式，教师可以设计真实性的问题和任务供学生探究，打破学科的界限，引导学生综合运用多学科知识去探究、解决问题，鼓励学生间讨论，活跃学生思维，调动学生的主动性、积极性。让学生知道数学是怎样从实际问题中抽象出来的，要让学生感受到数学的概念是自然而然的流淌出来的，而不是生硬规定的。这正是PBL教学法的精髓所在。

基于问题的学习（Problem-Based Learning，简称PBL）是一种以学生为主体的教学方法，就是将所学的知识置于具体的问题之中的一种情境化的、以学生为中心的教学方法。

PBL教学法最初是在20世纪50年代，由美国教育学、心理学家杰罗姆.布鲁纳提出，1969年美国神经病学教授Barrows在加拿大麦克马斯特大学第一次尝试应用，目前已成为国际上较流行的一种教学方法。1986年，上海第二医科大学和西安医科大学首次在我国实行PBL教学法，从20世纪90年代以来，中国的许多医科大学试行了PBL教学法，并取得了良好效果。截止目前，我国已经全面开始推行PBL教学法，对PBL教学法的研究取得了一定的进步。

在PBL教学中，根据教学目标、知识的内在联系以及学生的认知能力，教师为学生精心设计问题，创设问题情境，以问题驱动教学，把学习活动置于真实情境或案例中，学生运用现有的学习资源和学习方法自主探究、解决问题。教师引导学生自己发现命题，主动发现知识的结构、规律和内在联系。这种以问题为导向的模式，不仅可以暴露学生的疑问、思维、困难，也可以展示出学生独特的个性与才智。PBL教学法在教学目标上变以传授为中心为以能力培养为中心，在教学思维上变教师自我思维为学生群体思维，在教学理念上变追求学习的结果为注重学习的过程，在教学效果上变教师课堂上“一言堂”为学生的“群体论”，真正顺应了当代教育理念与人才理念的变更，真正做到了因材施教，与时俱进。

函数的极值与最值是函数性质中的一个重要分支和基本工具，它在数学及其它科学领域均有广泛的应用，函数的极值与最值可以解决航海、航天航空、保险价格策划、概率统计、经济学中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大、利润最大等实际问题，而这些问题与学生的生活、学习、工作息息相关。教学中适合采用PBL教学法。

下面是“函数的极值与最值”教学中实施PBL的实验过程：

1 问题的设计

设计问题在整个教学环节中非常重要，是PBL教学的重点和关键。通过科学合理的提出问题，以问题为驱动，促进学生思考，通过自己的努力以及与其他同学之间的交流和探讨，感性地认识数学命题，发现数学结论和规律，体验收获的喜悦，提高学生对数学学习的兴趣和信心。以下是有关于最值的两个实际案例，在学习了函数单调性的基础上结合图形，推导函数极值和最值的求法，最终达到解决问题的目的。

问题1 桃树的最佳密度，设每亩地种植桃树20颗时，每颗桃树产300kg的桃子，若每亩地种植桃树超过20颗时，每超种一颗，每颗产量平均减少10kg。试问每亩地种植多少颗桃树才能使亩产量最高？

问题2 某服装有限公司经调查发现，价格与销售量之间的关系为：，生产服装的总成本可以表示为，试回答以下问题：（1）求总收益;（2）总利润;（3）为使利润最大，公司应生产并销售多少件服装？（4）最大利润是多少？（5）为实现这一最大利润，每件的价格应变为多少？

2 教学的设计

课程的重点内容是函数的极值与最大最小值的定义及其求法。在教学过程中，要以学生为主体，教师提出问题后，在老师的引导下，让学生以小组为单位进行讨论，并查询和收集有关资料，之后整理加工、整合信息，最终得出解决问题的方法，最后由教师对所得出的结论作出评价与总结。同时要求学生必须掌握、理解有关的基本概念和理论，进一步掌握相关的方法、运算技巧，培养运算能力，能够运用数学知识和方法处理和解决问题。教学活动围绕PBL教学法与课程目标展开，教学目标是整个教学活动的核心，各个教学环节都要围绕教学目标有序的进行，受到目标的控制。

通过在“函数的极值与最大、最小值”的专题教学中实施PBL教学法来完成以下教学目标：

知识目标：理解函数极值与最值的概念;掌握利用导数求函数最值的方法;能解决实际问题中的一些最值问题。

能力目标：通过经历函数极值与最值完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展数学应用意识;学会利用网络、图书等收集、分析、加工、整理信息资源;锻炼学生自主学习能力及动手实践能力。

情感目标：培养学生团队合作精神，提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成一丝不苟的求学精神。

围绕教学目标，此次教学活动采用PBL教学法。首先，利用多媒体教室、局域网、校园网等网络资源向学生详细讲解PBL教学法。然后，利用PPT课件，提出问题。接下来，由学生进行小组讨论，学生通过网络、图书等资料查阅相关知识，最终找到解决问题的方法，形成统一的答案。教学全程以学生为主体，教师起引导作用。最后，要作出科学合理的教学评价，教学评价通过反馈信息收集大量真实的数据，利用科学的学习评价体系进行量化处理，将教学过程、教学效果以及学生的反应状态与预期的目标进行比较，及时修改，使教学设计方案更加完善。

3 教学的实施

第一，形成学习小组。分组讨论是PBL教学的前提。PBL教学法在实施之前要先对学生进行分组，开展小组讨论，小组讨论的最终目的，是让学生积极主动地学习。成员间相互和谐合作，集思广益，收集资料，理出思路，最终达成共识。

第二，启动研究问题。首先由教师通过多媒体课件向学生展示问题情境，通过多媒体展示教学案例。然后，学生各小组围绕着案例分析问题情境，教师提示学生要解决的问题实际上是生活中的产量最高、收益最大的问题，也就是函数中的最值问题。学生根据提示认真思考教师提出的问题，分组讨论，制定研究计划和方案，确定解决问题的关键。

第三，执行解决问题。在各小组确定了要讨论的问题之后，小组长组织小组的成员对问题展开分析、讨论，再由本组的记录员把讨论的内容详细记录下来。教师提供给学生各种文字资料、图形、网络资源，引导学生要完成提出的问题需要探究隐含在问题背后的与函数的极值和最值相关的性质、知识等。及时对学生的讨论给予正确的引导，避免学生讨论的方向与学习目标发生偏离，但教师不能过多地影响学生的思维。小组的每一个成员都要积极参与，群策全力，利用已有的知识对问题进行初步的分析判断，然后根据大家讨论的结果，理头绪，找关键，制定进一步的学习计划和研究方向。

第四，各小组展示成果。各个小组集中在一起，每个小组派出一名代表把自己小组的研究过程和研究结果展示给其他小组，与其他小组进行信息的交流与共享。讲解之后，各小组间相互评论、补充，最后得出统一的结论。然后由各小组长将最终结果写成书面材料，做详细汇报。汇报结束后，其他小组成员针对汇报内容可以提出问题，继续讨论，最后做出解答。在展示成果之后，通过其他小组成员的提问、评论、补充，发现自己的不完善之处，反思自己的学习过程，及时纠正，为以后的学习积累经验，奠定基础。各小组通过汇报和解答的过程不仅巩固了自己的学习成果，还弥补了因分组不同带来的了解知识的片面性。

第五，师生共同反思评价。在聆听完各个小组汇报之后，师生共同对整个PBL教学过程及成果作出反思评价。首先，由教师作出评价。一方面教师要对学生表现、学生状态作出评价，要积极肯定学生的学习成果。另一方面，教师要对整个教学设计、教学过程、教学成果作出评价，要指出在这次学习过程中的不足之处，加以修正。教师对学生遗漏的知识点进行补充，对教学重点和难点更深入地进行讲解，使每个学生对这些知识都有更深刻的认识。教师通过评价此次教学过程和教学成果，发现、分析、总结PBL教学模式在高等数学教学中存在的主要问题，为以后的教学和研究提供有價值的经验。其次，由学生做出评价。包括小组长对本组的研究结果作出评价，每个小组之间相互评价，学生在PBL教学模式下作出自我评价，学生对整个教学活动及教师表现作出评价。最后讨论出几组表现优秀的小组和个人，对成绩突出、团队合作、有创新精神的小组和个人给予肯定和表扬。

整个教学过程打破了过去以教师为主导的传统教学模式，基本知识的获得变成了以学生为中心，教师在教学中只起指导作用，这样可以充分发挥学生学习的主观能动性，发展学生创造性的思维能力，还可以有效促进学生团队合作能力的提升。通过实施PBL教学法，学生面对鲜活的现实问题，种种疑问激发起他们强烈的好奇心和求知欲，在教学中激发起学生的学习动机，非常有利于学生个性和能力发展，在整个教学过程中学生是主角，居于主体地位，学生的主体价值得到了体现，好奇心和求知欲得到了满足，学习的价值也随着问题的解决得到了充分的体现，通过对问题的探讨和分析，还可以提高学生数学综合能力、获取和评价信息的能力、解决问题的能力、团队合作能力等一些实用性的技能，真正使高等数学从理论讲授为中心转向以素质培养为中心。

项目名称：丽江师范高等专科学校教学研究与改革项目——高等数学教学中实施PBL的改革实践，项目编号：XJ08201801。

（作者单位：丽江师范高等专科学校 教师教育学院）