预紧力对螺栓联接机匣模态频率的影响研究

邵 俊，伍济钢，周 根，阳德强

（湖南科技大学 机械设备健康维护湖南省重点实验室，湖南 湘潭411201）

在航空发动机工作过程中，机匣结构极易发生振动，长久便容易使结构产生疲劳损伤，甚至发生断裂，这将导致极大的安全隐患。在影响机匣结构振动特性的众多因素中，除了各构件自身制造精度、材料属性等因素之外，螺栓预紧力是影响机匣振动特性较为显著的因素。随着航空发动机设计要求的提高，预紧力对机匣振动特性的影响越来越受到重视。因此，研究螺栓预紧力对机匣模态参数的影响，在设计阶段准确分析和预测航空发动机机匣结构的振动特性就显得十分重要。

近年来，国内外学者对于预紧力对结构动态特性的影响进行了大量研究。Liu等[1]以螺栓联接的两个板件为研究对象进行了一系列模态测试，结果表明螺栓联接预紧力对装配件动态特性具有很大的影响。Beards[2]进行了一系列实验，发现通过调节预紧力可以在一定程度上控制结构的共振频率。赵猛[3]以螺栓联接的两段组合式悬臂梁模型为例开展研究，研究发现螺栓预紧力不同时，装配结构模态频率差异较大。郑宗勇[4]基于有限元计算与试验分析相结合的方法，分析了预紧力矩和结合面摩擦系数对整体结构模态频率的影响。孙衍山等[5]研究了螺栓分布和螺栓数量对机匣抗弯刚度和振动频率的影响。郇光周[6]利用有限元分析软件建立了导弹舱段间螺栓联接结构的有限元模型，研究了螺栓不发生屈服以及接触面不发生松动的预紧力范围。姚星宇等[7]利用薄层单元模拟航空发动机螺栓连接结构，研究了螺栓预紧力对轴向刚度的影响。

这些研究大多仅仅表明预紧力对螺栓联接结构动态特性存在一定的影响，并未研究预紧力对各阶模态频率的影响大小。文中首先建立预紧力作用下的螺栓联接结构模态方程，其次，以螺栓连接板试件为例，基于有限元分析和实验结合的方法，验证了本文螺栓联接接触面处理方法的准确性；然后，利用有限元分析软件ANSYS Workbench 建立了机匣有限元模型，进行了不同预紧力作用下的机匣结构模态分析；最后，分析了刚性机匣和预紧力作用条件下的实体机匣各阶模态频率相对差异，重点研究了预紧力变化对机匣各阶模态频率影响程度。

1 预紧力作用下模态方程建立

模态分析基本方程为

式中：M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；K为刚度矩阵；x、、分别为位移、速度和加速度向量；F(t)为载荷向量。

若忽略阻尼的影响，即考虑结构自由振动模态，式(1)可进一步简化成

自由振动模态方程式(2)可化为

式中：I为单位矩阵，φ为振型向量，ω为固有频率。

在螺栓预紧过程中，连接结构内部会产生一定预应力，导致连接结构整体刚度K产生一定的刚度扰动ΔK。因此，预紧力作用下螺栓联接结构模态方程为

此时，ΔK相应引起固有频率产生一定扰动，式(4)变为

联合式(3)和式(5)，则得频率平方的偏移量

对非零振型φ，可将式(6)等式两侧同除以式(3)，得到预紧力对固有频率平方影响幅度的一般表达式

由式(7)可见，螺栓预紧力引起相同振型的固有频率平方的偏移，其相对偏离大小与结构刚度K、预紧力引起刚度矩阵改变量ΔK及质量矩阵有关。

同时，在多自由度系统中，参与各阶模态参数的刚度和质量并不是结构的全部刚度和全部质量，而是结构“模态上”活跃的部分有效刚度和有效质量[8]。因此，螺栓预紧会导致机匣刚度矩阵产生扰动ΔK，若其主要增加参与某阶模态参数的有效刚度，则预紧力对该阶模态参数影响较大；若扰动刚度ΔK主要增加其非有效刚度，则预紧力对该阶模态参数影响较小。

2 接触面处理方法准确性验证

探究预紧力对螺栓联接机匣模态频率的影响时，螺栓联接接触面处理尤为关键。螺栓有限元分析精确度很大程度上取决于螺栓联接接触面处理方法的正确与否。

本文以文献[9]中螺栓联接板为例，验证文中关于螺栓联接接触面处理方法的准确性。在该文献中Farhad Adel 对用M10 螺栓联接而成的两块板进行试验，两根梁尺寸大小均为443×42×8.7 mm3，材料分别为7075-T651 铝合金和碳/环氧复合材料，接头区域的长度为60 mm，厚度为8.7 mm。螺栓上施加的预紧力矩大小为38 N∙m。试件几何形状如图1所示。

图1 螺栓联接板几何形状

首先建立尺寸相同的实体模型，在保证计算精度的前提下，为兼顾计算效率，对模型进行适当简化和修改，比如忽略螺纹、倒角等特征。在进行网格划分时，由于螺栓联接法兰结构中能量耗散主要发生在法兰螺栓接触面附近，因此，为了保证计算精度，细化联接区域网格非常重要，而在法兰其余部分可以使用相对粗糙的网格来降低计算量[10]。

在对接触面进行处理时，为真实模拟实际工作情况，对螺栓头与薄板1 接触面、螺母与薄板2 接触面和试件之间接触面均设置为摩擦接触，所有摩擦接触均采用增广拉格朗日乘子法计算，并且将常温下的摩擦系数置为μ=0.66[11]。

由于螺栓与螺母之间的螺纹副是通过内、外螺纹旋合的形式连接，可近似认为二者之间无相对滑移和相互分离，故对螺母和螺栓之间接触面设定为绑定接触，其接触状态不会随时间发生改变，属于线性情况，可采用罚函数法计算[12]。

螺栓预紧力在ANSYS Workbench 有限元分析软件中可较简单模拟。根据式(8)估计施加的螺栓预紧力Fbolt大小[13]。

式中：dbolt是螺栓的直径，Mbolt是螺栓预紧力矩。

施加在M10螺栓上的预紧力矩大小为38 N∙m，则螺栓预紧力Fbolt≈22 352 N。通过仿真分析可以得到如图2所示螺栓联接板前6阶弯曲振型。

图2 螺栓联接板前6阶弯曲振型

表1所示为基于试验和有限元分析的固有频率值。

由表1可以看出，本文分析结果与模态试验结果吻合较好，最大误差为2.54%，说明文中螺栓联接接触面处理方法较为合理，在以后的螺栓联接问题中，可以采用这种接触面处理方法。

表1 试验和有限元分析的固有频率

3 预紧力对机匣模态频率影响分析

3.1 机匣几何模型的建立

螺栓联接机匣结构模型由两段机匣通过12 个螺栓联接组成。机匣上下两个筒体的尺寸完全相同，机匣筒体高290 mm，筒体内半径为125 mm，壁厚4 mm，即外半径为129 mm。法兰安装边半径均为155 mm，其螺栓通孔直径为14 mm，孔中心距筒体中心143 mm，法兰边上均匀分布12个M10螺栓。图3所示为机匣几何模型。机匣和螺栓材料均为结构钢，其材料参数如表2所示。

图3 机匣几何模型

表2 机匣和螺栓材料参数

3.2 机匣有限元模型的建立

对机匣模型进行网格划分时，为提高计算精度，对接触面附近区域采用细小的网格，而在远离接触面的区域可以采用较大的网格来降低计算量。图4为机匣有限元模型。图5为螺栓位置网格细化局部放大图。

在设置接触时，采用前文验证过的螺栓联接接触面处理方法，将匣体1 与匣体2、螺栓头与匣体1、螺母与匣体2、螺栓和螺母之间设置接触对，全模型共设置37 个接触对。将螺栓和螺母之间接触面采用绑定接触，因其接触状态不会随时间发生改变，属于线性情况，对其采用罚函数方法进行计算。除了螺栓和螺母接触面之外，其余接触面均采用摩擦接触，并运用增广拉格朗日乘子法计算，同时钢与钢摩擦系数选为常用的0.15。

图4 机匣有限元模型

图5 螺栓位置网格细化局部放大图

3.3 不同预紧力作用下机匣模态分析

为了分析预紧力对螺栓联接机匣模态频率的影响，本文通过设定10 种不同大小预紧力(1 000 N，2 000 N，3 000 N，…，9 000 N，10 000 N)来对螺栓联接机匣进行自由模态分析，去除前6阶刚体模态，取接下来的前15 阶模态频率结果进行对比。并且考虑到在以往的分析中，螺栓联接经常被当做刚性联接(一体式)处理，因此本文同时进行了刚性机匣自由模态分析。表3所示为刚性机匣和不同预紧力作用下实体机匣的前15阶固有频率。

为方便看出刚性机匣和预紧力作用条件下的实体机匣的模态频率差异，将表3中数据输出成折线图，图6为刚性机匣和不同预紧力作用条件下实体机匣的前15阶固有频率折线图。

图6 刚性机匣和不同预紧力作用条件下实体机匣的前15阶固有频率折线图

从图6可以看出，对于预紧力作用下的实体机匣，其前15阶模态频率值始终小于刚性机匣对应模态频率。可以发现，随着预紧力的增加，机匣结构模态频率逐渐增大。原因是预紧力增大，由螺栓预紧引起机匣内部产生的预应力随之增加，导致机匣刚度矩阵扰动ΔK变大，其各阶固有频率总体上有所增大。

3.4 刚性机匣和实体机匣模态频率差异分析

表3 刚性机匣和不同预紧力作用下实体机匣的前15阶固有频率

定义刚性机匣和预紧力F作用条件下的实体机匣各阶模态频率的相对差异大小δ为式中：ω0n是刚性机匣第n阶模态频率，ωFn是预紧力F作用下实体机匣第n阶模态频率。

通过式(9)计算，得到如图7所示刚性机匣和预紧力F作用下实体机匣各阶频率相对差异图。

图7 刚性机匣和预紧力F作用条件下实体机匣各阶固有频率相对差异

由图7可知，刚性机匣和预紧力作用条件下实体机匣的第7、11、14 阶频率相对差异较大，其他阶频率相对差异较小。原因是刚性机匣分割成两段式机匣时，其分割面附近刚度会大大降低，降低的刚度主要是参与第7、11、14 阶模态频率的有效刚度，导致刚性机匣和预紧力作用下实体机匣在第7、11、14阶频率相对差异较大。同时说明在对螺栓联接结构进行动力学分析时，不能将其简单简化为刚性联接。

3.5 预紧力对机匣模态频率影响程度分析

预紧力变化时，定义机匣各阶模态频率相对变化大小α为

式中：是预紧力F1作用下实体机匣第n阶模态频率，是预紧力F2作用下实体机匣第n阶模态频率。

分别计算预紧力由1 000 N 增加至5 000 N、2 000 N 增加至6 000 N、3 000 N 增加至7 000 N、4 000 N增加至8 000 N时各阶模态频率相对变化大小α。图8所示为预紧力由F1增加至F2时机匣各阶固有频率相对变化大小。

由图8可知，预紧力对各阶固有频率的影响程度各不相同。预紧力变大时，第7阶、第11阶和第14阶固有频率相对变化较大，而其他阶固有频率相对变化较小。

图9是预紧力为6 000 N 时机匣7～12 阶振型图。

图8 预紧力由F1增加至F2时各阶固有频率相对变化大小

图9 预紧力6 000 N时机匣7～12阶振型

结合图9可看出，第7、11 阶振型的连接面处相对变形较大，由预紧力引起的扰动刚度ΔK主要增大参与这几阶模态频率的有效刚度。因此，预紧力对第7、11、14 阶频率的相对影响程度α较大。而对于其他阶振型，连接面处相对变形较小，参与其模态频率的有效刚度主要不在连接面附近，故扰动刚度ΔK主要增大其非有效刚度，因此，预紧力对其它模态频率相对影响程度α较小。

4 结语

通过本文研究，得出如下结论：

(1)预紧力作用下的实体机匣，其前15 阶模态频率值始终小于刚性机匣对应模态频率值。随着预紧力的增大，机匣各阶固有频率总体上有所增大。

(2)将刚性机匣分割成两段式机匣时，其分割面附近的刚度会大大降低。因此，在对螺栓联接结构进行动力学分析时，不能将其简单简化为刚性联接。

(3)预紧力对机匣各阶固有频率的影响程度各不相同。结合振型图发现，对于连接面处相对变形较大的振型，其模态频率受预紧力的影响较大；而对于连接面处相对变形较小的振型，其模态频率受预紧力的影响较小。