用三面角余弦定理巧解二面角问题

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

现在立体几何中引入了空间向量，解决二面角问题学生首选向量法，但是往往因为建系不准确，运算出差错造成失分.由于过于依赖空间向量，对于传统的办法更是望而生畏.下面介绍一种既不建系，也不过多依靠空间位置的方法，用以解决二面角问题.

一、认识定理

1.三面角的定义

由空间中一点P引三条不共面的三条射线PA，PB，PC，以及相邻两射线间的平面部分所构成的几何图形叫做三面角.记作：三面角P-ABC，P叫做顶点，PA，PB，PC，叫三面角的棱.∠BPC，∠CPA，∠APB叫三面角的三个面角.C-PA-B，A-PB-C，B-PC-A叫三面角的三个二面角(如图1).

2.三面角余弦定理

如图1，若三面角的三个面角分别为α，β，γ，它们所对的二面角分别为C-PA-B=A，A-PB-C=B，B-PC-A=C，则

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA；

cosβ=cosγcosα+sinγsinαcosB；

cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosC.(证明略，有兴趣的老师可以证一下)

3.本质分析

从三面角余弦定理的结构可以发现，每个公式仅含有某个二面角和三个面角.从方程的角度考虑，要求某个二面角，只需求三个面角的正余弦.进而转化成平面上解斜三角形问题，将空间问题平面化，体现了转化思想，同时规避了找二面角的困难以及向量法的繁杂运算.例如，在正四面体中，三个面角α=β=γ=60°，任意两个面所成的二面角φ均满足：

cos60°=cos60°cos60°+sin60°sin60°cosφ，

二、应用定理

1.求三棱锥中的二面角

三面角存在于三棱锥之中，因此三面角余弦定理解决三棱锥中的问题，包括求面角和二面角都应该是最得心应手的，我们来研究一道这方面的高考题.

例1 (2014年高考数学辽宁卷理科第19题)如图2，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E,F分别是AC,DC的中点.

(1)求证：EF⊥BC；

(2)求二面角E-BF-C的正弦值.

解(1)略.(2)在三面角B-ACD中，cos∠ABD=cos∠ABCcos∠DBC+sin∠ABCsin∠DBCcos90°

评注本题两次使用三面角余弦定理，第一次用于求面角，第二次用于求二面角.完全避开了两次找二面角的风险，也没有向量法的大量运算.△ABC和△BCD所在平面互相垂直，即二面角A-BC-D的大小为90°，学生容易错误地认为∠ABD=90°,必然导致AD的值错误，也可能导致建立错误的空间直角坐标系，最终都是计算出错误的二面角E-BF-C的正弦值.最可悲的是，在解答过程中这种错误学生没有感觉.大家可以尝试用其他方法解答，然后对比，喜悦之情，油然而生.

2.求非三棱锥中的二面角

三面角余弦定理本质上与三棱锥紧密结合，给人的感觉是似乎在非三棱锥中就无用武之地.实际上在非三棱锥中构造出三棱锥，三面角余弦定理依然可以正常使用.下面再研究一道高考题.

例2(2017年高考数学全国Ⅰ卷理科第18题)如图3，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

解(1)略.

评注解答中巧妙构造了三面角B-APC，问题变得一目了然，要求二面角A-PB-C，只需要求三个面角∠ABP，∠PBC，∠ABC，进而求各条棱棱长.本题中的所有棱长都直接或间接地给出了，条件显得十分饱满，非常合适使用三面角余弦定理解答.相对于当下流行的向量法，整个计算过程十分轻松愉悦.不失为一个好办法.

3.证明面面垂直

面面垂直的定义是：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.依此定义，只要计算出二面角为直角就可证明面面垂直！那么，三面角余弦定理是可派上用场的！

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)略.

证明(1)设AA1=2,则AC=BC=1，

令二面角C-BD-C1的平面角为φ，在三面角D-BCC1中，cos∠CDC1=cos∠BDC1cos∠BDC+sin∠BDC1sin∠BDCcosφ，易解得cosφ=0，φ=90°，所以平面BDC1⊥平面BDC.

评注对于空间想象能力不太强的文科生来说，这种解法可以使他们从难以想象的位置关系中解脱出来.通过不算复杂的运算(主要是平面内勾股数组运算)求出面角，进而求出二面角，最后得出位置关系结论.

三、链接练习

对于一种新方法，我们总有一个认识的过程.第一感觉是陌生，排斥它；然后慢慢地接触它，逐渐熟悉它；然后有意应用它，体会其优越性；最后真正地爱上它.三面角余弦定理本身形式较为复杂，容易被人抛弃，但是只要掌握了，它的应用还是很方便的.只要几何体中的线条数量关系明确，不管位置关系多么隐蔽，都能准确快捷求得相关的面角和二面角以及证明面面垂直.三面角余弦定理最大的功能是：空间问题平面化.对于空间想象能力弱一点的学生来说，毫无疑问是最大的福音.