关于反三角函数几个基本概念和性质的探讨*

广东技术师范大学(510665) 梁海华

华南师范大学附属中学(510630) 马腾冰

一、引言

众所周知,基本初等函数是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常值函数这六类函数.掌握这六类函数的性质,熟悉其相关理论,是学习和研究函数理论的基础.六类函数中,对数函数和指数函数互为反函数,三角函数和反三角函数亦然.高中数学教材对指数和对数函数有较为系统的介绍,是高考的重点;但对反三角函数则不作明确的要求.然而,学生进入大学后,无论是学习《高等数学》还是《数学分析》课程,均会遇到反三角函数,而这些教材默认学生已经掌握了反三角函数的基本知识.因此,在高中阶段掌握反三角函数的基本概念和性质无疑大有裨益.

反函数也是高中数学教学中的一个重点和难点.学习反函数的意义,不仅在于它是构建对数和指数函数、三角和反三角函数的桥梁,还在于通过研究反函数可以更好地理解原函数的性质.在国内,很多教师和学者很早就对高中数学的反函数的教学展开了探讨,发表了很多具有真知灼见的论文,见[1-4].

但是,关于反三角函数的教学讨论,目前国内中学老师在这方面发表的研究成果仍然较少,而且所发表的论文大多着眼于具体知识的教学设计或解题策略,见[5-9].此外,高中数学教材对反函数理论的阐述几为空白,不利于感兴趣的学生甚至部分教师掌握反三角函数的概念和性质.针对这种现状,本文将针对反三角函数中若干最基本的、最重要却又容易产生误解的问题展开讨论,以期为感兴趣的读者提供简明的研习材料.

二、关于反三角函数概念和性质的几点说明

下面以反正弦和反余弦函数为例阐述反三角函数的基本概念和性质,其余反三角函数的相关理论可触类旁通.对于反正弦函数,初学者往往被以下几个问题困扰:y=arcsinx是不是正弦函数y=sinx的反函数?如不是,那它是哪个函数的反函数?除了它,正弦函数还有其他反函数吗?如果有,不同反函数之间的关系如何?下面将逐一解释这些问题.

释疑1y=sinx和y=cosx均没有反函数.

众所周知,y=sinx和y=cosx都是定义在实数域上的周期函数,它们不是单调函数,换言之,由它们确定的实数集到区间[-1,1]上的对应法则都不是一一对应的.因此,这两个函数不存在反函数.

释疑2y=arcsinx和y=arccosx分别是如下函数的反函数:

和

以反正弦函数为例.把y=sinx中自变量的取值范围限制到区间得到由(1)表示的一个单调函数(以下称之为函数(1)).请注意,这个函数和正弦函数y=sinx(定义域默认为存在域,即实数集)的定义域不同,因此,它是一个不同于y=sinx的函数.函数(1)是严格单调的,因此它有反函数,按惯例记该反函数为y=arcsinx,其定义域为[-1,1],值域为

释疑3y=arcsinx和y=arccosx都是专用符号,不能用来表示把y=sinx或y=cosx限制在其他单调区间上得到的函数的反函数.

显然,这些函数也有反函数.必须注意,它们的反函数不能用y=arcsinx来表示,这是因为y=arcsinx是用来表示函数(1)的反函数,是专用符号.

国际上没有对函数(3)的反函数给定专用符号,这是因为它们的反函数可以通过y=arcsinx的简单运算表示出来.事实上,当x∈[-1,1]时,(3)的反函数的值与y=arcsinx+2kπ是相等的.

对于反余弦函数,也有类似的结论,自不赘述.

释疑4sin(arcsinx)≡x,cos(arccosx)x.但一般情况下

对于sin(arcsinx),如果令y=arcsinx,则y表示正弦值为x的那个值,从而siny=x,即sin(arcsinx)≡x.对于(4)的第一个式子,注意到左边函数的值域是y=arcsinx的值域:而右边的取值范围为全体实数,故一般情况下左边不等于右边.例如,取x=2π,则arcsin(sinx)=arcsin0=0/x.

那么,arcsin(sinx)和x有何关系?对于任一实数x,取正整数k使于是记u=x-kπ,易见

上述第二个等式成立是因为反正弦函数是奇函数.

同样地,cos(arccosx)≡x.而对于任一实数x,取正整数k使x∈[kπ,(k+1)π],利用“y=arccosx为奇函数”这一结论(见下面的”释疑5”)不难证明:

释疑5y=arcsinx是奇函数,而y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数.

这一点,从以下事实可以直接推断出来:反函数与原函数具有相同的奇偶性,即,若原函数为奇函数,则其反函数也是奇函数;若原函数为非奇非偶函数,则其反函数亦然.当然,偶函数没有反函数.

尽管y=arccosx不是奇函数也不是偶函数,但其图像平移后仍具有对称性.具体而言,y=arccos为奇函数.事实上,令g(x)=arccosx及f(x)=arccos对g(x)=arccosx及g(-x)=arccos(-x)两个式子的两边均取余弦值,得cosg(x)=x,cosg(-x)=-x.故cosg(x)+cosg(-x)=0.注意到g(-x),g(x)是[0,π]内的两个角,它们的余弦值之和为0意味着两个角互余,即g(x)+g(-x)=π.换言之,或f(-x)=-f(x).所以,为奇函数.

三、反三角函数在平面几何中的应用

反三角函数的应用非常广泛,下面给出一个有趣的例子.我们从中不难看出,在中学阶段了解反函数的基本知识,可以解决许多初等数学中的问题.

例(华师附中高三数学测试题)一个边长为4的正方形广场,被一个半径为2的半圆和一个半径为4的四分之一圆分成四部分,如图1所示.现在,广场的管理者打算在半圆和四分之一圆重叠的部分(图中阴影部分)种植草皮.问该草地的面积S为多少?

图1

图2

下面给出解决本问题的思路.如图2,设正方形四个顶点分别为A,B,C,D,设DC的中点为O(它也是半圆的圆心),两弧在正方形内部的交点为G.连结OG,GB,GC,OB.

第二步:记四边形BGOC与扇形ODG的面积和为S′.令∠DOG=α,易证∠GBC=α.所以S′=SBGOC+S△BOC=8+2α,这里采用了弧度制来计算扇形面积.故

四、结语

三角函数是一种重要的基本初等函数,也是最常用最简单的周期函数.尽管反三角函数不是高中数学的核心内容,但理解和掌握反三角函数具有重要的意义.一方面,可以加深对反函数概念的理解,澄清函数之间的一些似是而非的关系;另一方面,反函数可以看作是原函数的一面镜子,通过对反三角函数的学习和研究,有助于学生更深刻地理解三角函数的性质.因此,本文以反正弦和反余弦函数为例,探讨了反三角函数的一些重要性质,目的是澄清一些常见的误区,便于感兴趣的广大师生更好地理解三角函数和反三角函数的理论.另外,本文最后所举的例子也充分说明了掌握反三角函数的基本知识,可以解决更多几何问题.