一道数列极限竞赛题的若干解法与延伸

王 成 强

(成都师范学院 数学学院， 成都 611130)

引言

中学数学已经涉及数列极限的数学概念，试图培养学生对数列极限的意义、几何直观的深刻认识；高考数学中，数列极限考点所占分值较显著. 在大学数学课程的学习过程中，学生需要深刻认识数列极限的概念、性质，并需要掌握利用这些概念与性质来解决数列极限的有关问题，进而提升对数列极限理论的认识. 在大学数学课程(即《数学分析》[1]或《高等数学》[2])中，数列极限理论是重要的学习内容之一，是微积分等后续理论的基础. 数列极限有关的问题能很好地检验学生对大学数学课程的学习状态，能很好地识别出学生学好其他数学课程的潜能. 因此，每一年的研究生入学考试的数学试题、每一年的中国大学生数学竞赛都会涉及数列极限相关的问题[3].

中国大学生数学竞赛(简称数学竞赛)已经举办了十届，2019年举办第十一届，它目前已经获得了所有高校的高度关注. 数学竞赛中的数列极限问题侧重考查学子的数学基础知识的熟悉程度、知识的迁移与灵活运用能力、计算能力，这类问题的研究能很好地指导大学数学数列理论的学习与教学. 本文就第六届(2014年)全国大学生数学竞赛非数学专业组预赛第一题的数列极限问题进行研究：

1问题(*)解答思路的探究

解得a=0,b=1. 于是

探究7 引进辅助幂级数

(1)

可按照下述方式计算幂级数(1)的和函数∑(x)：

于是

注2 幂级数理论也是大学数学课程的重要组成部分[4,5,6,7,8]，掌握好幂级数理论也是学好大学数学的关键途径之一，幂级数有关的问题(例如，探究7中涉及到的幂级数的和函数的计算问题)也常出现在考研数学、大学生数学竞赛等试题中. 除了探究7中展示的方法，本文还提供四种计算幂级数(1)的和函数的方法. 这些方法对理解大部分考研数学、数学竞赛中的幂级数求和函数问题都有裨益.

方法1的想法最为直接，只涉及幂级数的代数运算和幂级数的一些常见结论.

方法2 注意到∑(0)=0，对∑(x)求导得，

于是

方法3 注意到，∑(0)=0.当x≠0时，有

x).

由此可知

于是

2 结论与思考

经过探究，本文针对第六届(2014年)全国大学生数学竞赛非数学专业组预赛第一题的数列极限问题(问题(*))给出了七种求解思路，这些方法将问题(*)与数列的“列项 两项相消”技术、数项级数的求和理论、幂级数的求和函数理论等技术与理论有机地 “联结”起来.

定理1 给定多项式P(x)=a0xN+a1xN-1+…+aN，记pi=p(i-1)(i=0,…，N)

(p1=p(1-1)(1=0,…，N).则

证 将多项式函数P(x)展开成点 -1，0，…，N-2 处的Newton多项式，得

代入x=k，得

于是，有