用特征值和特征向量对一般线性递推关系的讨论

【摘要】本文推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量求线性递推关系中的通项公式。

【关键词】递推关系 特征值 特征向量。

正文：   用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论。

设k阶线性循环数列{xn}满足递推关系：

[xn=a1xn-1+a2xn-2+…+akxn-k，n=k+1，k+2，…]

其中[ai（i=1，2，…k）]是常数，且[ak]≠0。

方程组

可表示为矩阵形式：

则（1）可写成：

由（2）式递推得[an-k+1=A2an-k-1=…=An-ka1]

其中[a1=[xk，xk-1，…x2，x1]T]

于是求通项xn就归结为求xn-k+1，也就是求[An-k]。

如果A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则An-k=PBn-kP-1，由于

从第一列开始每一列乘以λ加到后一列上，可得到：

若λ是A的一重特征值，显然有R（λE-A）=k-1，则线性齐次方程（λE-A）X=0的基础解系中只含有一个解向量。因此当A有k个特征值时λ1，λ2，…，λk这k个特征值对应的特征向量分别是p1，p2，…pk，以这k个特征向量为列构成的方阵记为P，则P是可逆的，并且P-1AP=B。

例1  设数列{xn}满足递推关系：

求通项xn。

解  {xn}是三阶循环数列，将方程组

用矩阵表示为：

并有上式递推得

其中x1=1，x2=x3=5

由[λE-A]=0，即

得A的特征值为：[λ1=1，λ2=-2，λ3=2]

再有特征方程（[λiE-A）X=0（i=1，2，3）]解得对应于A的特征[λ1，][λ2]，[λ3]值的特征向量分别为：

令

即

代入（3）式得  。

参考文献：

[1]曹锡皞等编《高等代数》北京师范大学出版社.

[2]奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用.枣庄师专学报.

作者简介：林冬梅，女， ，毕业于山东师范大学，数学专业.淄博职业学院，副教授，从事数学研究、數学教学工作。