关于拟F-群的一些新判别

2019-12-04陈巧琳李保军

扬州大学学报（自然科学版） 2019年4期

陈巧琳, 尤泽, 李保军

(成都信息工程大学应用数学学院, 成都 610025)

定义1[2]设F为一个群类, 如果对G的任意元素x和任意F-离中心主因子H/K,x在H/K上诱导一个内自同构, 则群G称为一个拟F-群．

设F为一个饱和群系, 则一个F-群的所有主因子都是F-中心的, 因此一个F-群一定是拟F-群, 但反之不然．本文所讨论的群类F皆为饱和群系, 并用符号F*表示所有拟F-群的群类．如果存在G的子群T∈F*且G=HT, 则G的子群H称为有拟F-补充．

定义2[5]如果|(G/K)∶CG/K((H∩L)K/K)|是一个π((H∩L)K/K)-数, 则子群H称为在G中有Π-性质．设G的一个子群T在G中有一个补充X, 使得X次正规于G且T∩X≤I≤T, 其中I为G的某个有Π-性质的子群, 则称T在G中是Π-正规的．

文献[5]利用子群的Π-性质和Π-正规性获得了一系列好的研究成果, 其工作受到广泛关注[6-10]．本文拟借助子群的Π-正规性研究群的结构, 并给出拟F-群的一些新判别方法．

1 预备知识

对于拟幂零群,容易证明:

性质3G为拟p-幂零群当且仅当G/Op′(G)为拟幂零群．

引理5[5]设H为G的一个子群,N为G的一个正规子群, 则

1) 如果H在G中有Π-性质, 则HN/N在G/N中有Π-性质;

2) 如果H在G中有Π-性质, 则H在G中是Π-正规的;

3) 如果H在G中是Π-正规的且N⊆H或(|N|,|H|)=1, 则HN/N在G/N中是Π-正规的．

引理6[5]设H为群G的一个p-子群,L为G的一个极小正规子群．如果H∩L≠1且H在G中是Π-正规的, 则L为p-群．

引理7[5]设H为群G的一个p-子群且N为G的一个极小正规子群．如果H正规于G的某个Sylowp-子群且H在G中是Π-正规的, 则H∩N=N或1．

引理8[10]设K为群G的一个正规子群且G/K∈F, 其中F为任意饱和群系．若K的所有p阶和4阶(当p=2且K的Sylow 2-子群非交换)元素皆含于G的F-超中心, 则G/Op′(G)∈F．

如果对任意群G和它的一个可解正规子群N满足: 当G/Φ(N)∈X时,G∈X, 则群系X称为可解饱和的．

引理9[3]设F为包含幂零群系的一个饱和群系, 则F*为可解饱和群系．

引理10[11]设群Q稳定作用在p-群P上, 则[P,Op(Q)]=1．

2 主要结论

证明假设定理不成立．设G为极小阶反例,可通过以下步骤完成定理证明:

(1)Op′(N)=1, 容易验证, 条件对(G/Op′(N),N/Op′(N))仍成立．若Op′(N)≠1, 则由G的选择可知G/Op'(N)为拟F-群; 由F包含所有p-幂零群知, 所有p′-主因子都是F-中心的, 故G为拟F-群, 矛盾于G的选择, 从而(1)成立．

(3)Op(N)≤Z∞(G)．欲证Op(N)≤Z∞(G), 只要证明N的所有G-不变子群P皆含于Z∞(G)．设L为含于P的任意G-不变子群, 则由对|P|的归纳, 有L≤Z∞(G)．设PZ∞(G)并令L为所有真含于P的G-不变子群的乘积,L≤Z∞(G)且P/L为G的主因子．若P/L循环, 则|P/L|=p且G/CG(P/L)为方次数整除p-1的交换群．由(|G|,p-1)=1, 得G/CG(P/L)=1, 即P/L为中心主因子, 又L≤Z∞(G), 故P≤Z∞(G)．设P/L非循环, 令C=CG(L)．由引理10知Op(G)≤C, 显然CG, 则P∩LC=L(P∩C)G．由P/L为G的主因子, 得P∩LC=L或P．若P∩LC=L, 则P∩C≤L, 故[P,C]≤L．于是C平凡作用在P/L上, 即G/CG(P/L)为p-群．另一方面,G/CG(P/L)为p′-群, 则G/CG(P/L)=1,P≤Z∞(G)．设P∩LC=P,有P∩CL．由L的选择可知P∩C=P, 即L≤Z(P)．令a,b为P的任意2个p阶元, 若p≠2或P交换, 则(ab)p=apbp[a,b]p(p-1)/2=1, 故Ω={a|ap=1}为P的1个特征子群．若Ω≤L, 由引理10 以及Op(G)≤C,Op(G)平凡作用在P上, 有G/CG(P/L)=1,P≤Z∞(G)．设Ω=P, 则P的所有元素皆为p阶．令H/L≤Z(Gp/L∩P/L)为p阶群, 其中Gp为G的一个Sylowp-子群, 取x∈HL, 则H=〈x〉L且〈x〉为p阶群．设〈x〉在G中有拟F-补充T, 由L≤Z∞(G)且F包含所有p-幂零群可知TL仍为拟F-群．不妨设T=TL, 即L≤T, 若T=G,则G为拟F-群, 矛盾. 故T