G连通性

平 征

(宁德师范学院数理学院, 福建 宁德 352100)

连通性是一类重要的拓扑性质,在拓扑学、分析学、几何学及相关的物理学、计算机科学等学科中发挥了积极的作用．作为连通性的拓展, Fedeli等[1]定义了拓扑空间的序列连通性; Çakalli等[2-3]引入并研究了满足第一可数公理的Hausdorff拓扑群中G连通性, 并将序列连通性归结为在通常收敛方法下的G连通性; Lin等[4]定义了一般集上的G方法及G收敛性, 建立了较之于拓扑空间中通常收敛性更为一般的收敛概念, 这为在一般集上阐述G连通性奠定了基础．收敛性是拓扑学与分析学的重要研究内容,除通常的序列收敛与统计收敛[5]外, 还有几乎处处收敛、Cesro收敛[6]等作为序列收敛的拓展．Connor等[7]基于实分析中的几类收敛性,引入了实数序列集线性空间上的G方法、G收敛性与G连续性; Çakalli[8]在第一可数的Hausdorff拓扑群中引入了G方法、G收敛性及G连续性; 刘丽[9]研究了由G开集等确定的特殊集的性质．本文依照连通集最基本的思想, 拟引入G隔离集, 通过定义一般集上的G连通集, 讨论G连通性的刻画和基本性质, 以期为今后讨论与连通性及收敛性相关的拓扑性质和应用提供依据．

1 预备知识

设X是一个集, 记s(X)是X中所有序列组成的集,s(X)的元x={xn}n∈N, 设映射f:X→Y, 记f(x)={f(xn)}n∈N．若X是一个拓扑空间, 记c(X)是X中所有收敛序列所组成的集, 集X上的一种方法(简称为G方法)是一个函数G:cG(X)→X, 其中cG(X)⊂s(X)．若x∈cG(X)且G(x)=l, 则称序列x∈s(X)为G收敛于l∈X; 若c(X)⊂cG(X)且对任何x∈c(X)有G(x)=limx, 拓扑空间X上的方法G:cG(X)→X称为正则的[4]; 若x∈cG(X)且G(x)=l, 存在x的子序列x′∈c(X), 有limx′=l, 则拓扑空间X上的方法G:cG(X)→X称为子序列的[4]．

定义1[10]设X是一个拓扑空间,A⊂X, 有: ① 若x∈s(A)∩c(X), 称A为X的序列闭集, 则limx∈A; ② 若XA是序列闭集, 称A为X的序列开集; ③ 若X的每一序列闭集是X的闭集, 则称X是序列空间．

定理4[4]设X是一个拓扑空间,G是X上的一个方法, 有: ① 若G是一个正则方法, 则X的每一个G闭集是序列闭集; ② 若G是一个子序列方法, 则X的每一个序列闭集是G闭集．

本文未定义的术语和符号, 请参照文献[11]．

2 G连通集

定义6设X是一个集,G是X上的一个方法, 若Y不能表示为X的一对非空G隔离集之并,则X的子集Y称为G连通的．显然,G连通集与集X上有无拓扑无关．

定理7设X是一个集,G是X上的一个方法,则下列条件等价: ①X是G连通的; ②X不能表示为一对不相交的非空G闭集之并; ③X不能表示为一对不相交的非空G开集之并; ④X中不存在非空的G开集且G闭集的真子集．

定理8设X为拓扑空间．①设X是序列连通空间, 若G是X的一个正则方法,则X是G连通的; ② 设X是G连通的, 若G是X的一个子序列方法, 则X是序列连通的．

证明 ① 假设X不是G连通的, 由定理7知,X可表示为两个非空不交G闭集之并, 由定理4知,X可表示为两个非空不交序列闭集之并,故X不是序列连通的, 矛盾．证毕．

② 假设X不是序列连通的, 由定义知,X可表示为两个非空不交序列闭集之并, 由定理4知,X可表示为两个非空不交G闭集之并, 故X不是G连通的, 矛盾．证毕．

定理9设X为拓扑空间．① 若X是一个连通的G序列空间, 则X是G连通的; ② 若X是G连通的,X的既开且闭集是G开集(或G闭集), 则X是连通的．

证明 ① 假设X不是G连通的．根据定理7,X可表示为两个非空不交G闭集之并．因X是G序列空间,X可表示为两个非空不交闭集之并, 故X不是连通的, 矛盾．证毕．

② 假设X不是连通的, 则X中存在非空既开且闭真子集．若X上既开且闭集是G开集(或G闭集), 则X可表示为两个非空不相交G开集之并, 由定理7可知X不是G连通的, 矛盾．证毕．

推论10设X是序列空间, 若G是X的正则且子序列方法, 则X的G连通性、序列连通性和连通性三者是一致的．

下面通过3个例子说明3种连通性之间的一些不蕴涵关系．

例1文献[12]中例3.5已证明实空间R的Stone-Cech紧化.βR是非序列连通的连通空间．若取G为R上通常的序列收敛方法, 则βR不是G连通的, 即存在不是G连通(序列连通)的连通空间．

例2集合X={a,b,c}赋予离散拓扑,显然X不是连通空间, 故X也不是序列连通空间．在X上定义G:s(X)→X满足G(x)=a, 则G是X上的一个方法, 易证X的子集A是G闭集为空集, 或a∈A, 故X中非空的G闭集均相交．由定理7知,X是G连通集,即存在不是连通的G连通集．

例3在R上赋予通常拓扑, 则R是序列连通空间．在R上定义G:s(X)→X满足G(x)=x1, 其中x=(xn)n∈N∈s(R), 则G是R上的一个方法．由于R中每个子集都是G闭集[4], 故R不是G连通的, 即存在不是G连通的序列连通空间．

3 G连通子集的性质

引理11设X是一个集, 如果A和B是X的一对G隔离集且Y⊂X, 则A∩Y和B∩Y也是X的一对G隔离集．

定理12设Y是集X的G连通子集, 若X中存在一对G隔离集A和B使得Y⊂A∪B, 则Y⊂A或Y⊂B．

推论13设Y是集X的一个G连通子集,若A是X的G开且G闭集,则Y⊂A或Y⊂XA．

定理15设{Eα}α∈Λ是集X的G连通子集族, 若任意α,β∈Λ, 存在α1,α2,…,αn∈Λ,使得α1=α,αn=β且每一Eαi∩Eαi+1≠∅, 则∪α∈ΛEα是X的G连通子集．

证明 假设∪α∈ΛEα在X中不是G连通, 则存在X的非空G隔离集A和B, 使得∪α∈ΛEα=A∪B．对每个α∈Λ, 因Eα⊂A∪B, 由定理12知,Eα⊂A或Eα⊂B, 不妨设存在α0∈Λ使Eα0⊂A, 下证对每一β∈Λ有Eβ⊂A．因存在α1,α2,…,αn∈Λ使得α1=α0,αn=β且每一Eαi∩Eαi+1≠∅, 由Eα1⊂A,Eα1∩Eα2≠∅,A∩B=∅, 得Eα2⊂A．同理每一Eαi⊂A, 从而Eβ⊂A, 由∪α∈ΛEα=A∪B, 得B=∅, 矛盾．证毕．

推论16设{Eα}α∈Λ是集X的一族G连通子集, 若Y是X的G连通子集且每个Y∩Eα≠∅, 则Y∪(∪α∈ΛEα)也是G连通的．

推论17设{Eα}α∈Λ是一族X的G连通子集, 若∩α∈ΛEα非空, 则∪α∈ΛEα是G连通的．

定义18[4]设G1,G2分别是集X,Y上的方法,f:X→Y是一个函数, 且f是(G1,G2)连续的, 若F是Y中的G2闭集, 则f-1(F)是X中的G1闭集．

定理19设G1,G2分别是集X,Y上的方法, 若函数f:X→Y是(G1,G2)连续的, 且U是X的G1连通子集, 则f(U)是Y的G2连通子集．

本文的结果在拓扑空间的连通性与序列连通性, 或在满足第一可数公理的Hausdorff拓扑群的G连通性中可找到, 但连通性是任意可积性,如何定义积集的G方法及积的G连通性, 有待进一步的研究．

致谢:本文是在林寿教授的悉心指导下完成的, 特此致谢!