说说含参函数那些事

姜丽娟

[摘  要] 在含参函数问题的解决过程中，我们需要将建模思想提升至更高的层面，需要学生对比含参函数问题的特征与共性，注重归纳与总结、对比与分析，以此提升建模思想的领悟深度和宽度，促进学生数学思想的渐进提升.

[关键词] 函数;初中数学;思维;建模

初中数学的学习以探究规律和掌握方法为主要任务，善于总结、勤于反思是学习数学的重要方法. 教师的任务是引导学生分析题目的特征，看透问题的本质，从而学会解决问题的方法. 函数是初中数学的重要内容，在中考中的比分较重，也是令很多学生“望而生畏”的难点. 函数问题因其多变、抽象而显得深奥，如在教学实践中，教师常常发现二次函数中的含参函数正确率较低，多数学生找不到该类问题的思维方向. 其实，含参函数也有一定的常规思路，下面笔者就初中阶段常见的含参函数类型及其基本思路谈几点不成熟的看法，权当抛砖引玉，给各位同仁作为参考.

化多为少，多参变一参

多参函数，就是函数解析式中包含多个参数，显然参数的数量越多越不利于问题的解决，因此“消参”是解决多参函数的重要策略. 在实际问题中，通常可以根据所给条件找到两个参数之间的关系，将其中一个参数用另一个参数来表示，从而化多为少，使多参变为一参.

例1  在平面直角坐标系xOy中，点A（1，-1）在抛物线y=x2+mx+n（m>0）上.

（1）若m-n=4，求m，n的值;

（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，求tan∠OBC的取值范围.

分析  （1）此问为基础问题，将A（1，-1）代入解析式可得关于m，n的二元一次方程，再与m-n=4联立，即可求出m，n的值.

（2）此问是函数与几何问题相结合的问题，首先可以根据条件画出草图（如图1），根据草图可以将tan∠OBC表示出来，即tan∠OBC= = = ，然后将A（1，-1）代入抛物线解析式可得1+m+n=-1，所以m=-2-n. 由此可以消去一个参数，即可以得到 = = + . 由m>0可知n<-2，所以- < <0. 所以0

变式  在平面直角坐标系xOy中，点A（1，-1）在抛物线y=x2+mx+n（m>0）上. 将抛物线平移，平移后的新抛物线仍经过点A，且点A的对应点A1的坐标为（1-a，2m-1）. 当a≥- 时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.

分析  因为点A（1，-1）在抛物线上，所以可得n=-2-m，所以y=x2+mx+n=x2+mx-2-m=x+ 2- -2-m. 由A（1，-1）平移后的对应点为A1（1-a，2m-1）可知抛物线向左平移了a个单位长度，向上平移了2m个单位长度，因此平移后的抛物线的解析式为y=x+ +a2- -2-m+2m，整理后可得y=x+ +a2- -2+m. 因为平移后的抛物线也经过点A（1，-1），所以1+ +a2- -2+m=-1，即1+ +a2= -12. 所以1+ +a= -1或1+ +a=- +1. 所以a=-2（舍去）或a=-m. 所以平移后的拋物线的解析式为y=x- 2- -2+m. 设p=- -2+m=- （m-2）2-1，因为a≥- ，又m>0，所以0

函数中含有多个参数是无法直接解决问题的，在初中阶段，多参函数问题的难度通常不会太大，并且可以笼统地认为多参便是消参的提示，看到多个参数就可以利用题目中给出的有效信息进行转化、消参，使得多个参数最后消成一个参数，让问题变得清晰，降低问题难度，从而进一步解决问题.

化虚为实，抽象变直观

抽象是函数的一大特征，也是很多学生感到函数问题难度较大的原因之一，对于初中生而言，函数的概念确实比较抽象，但图像是函数的重要属性，它可以让抽象的函数变得直观，让条件与问题变得明显，能化虚为实.

例2  在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-3a（a≠0）经过A（-1，0）.

（1）求抛物线的对称轴;

（2）已知B（0，4），C（5，4），且抛物线与线段BC恰有一个公共点，求a的取值范围.

分析  （1）将点A（-1，0）代入解析式，可得a-b-3a=0，所以b=-2a. 所以抛物线的对称轴为直线x=- =1.

（2）需要结合图像进行分析. 由于不知道抛物线的开口方向，因此需要分情况讨论. ①如图2，当a>0时，25a-10a-3a≥4，解得a≥ ;②如图3，当a<0且抛物线的顶点不在BC上时，-3a>4，解得a<- ;如图4，当a<0且抛物线的顶点在BC上时，a-2a-3a=4，解得a=-1. 综上可知，a≥ 或a<- 或a=-1.

变式  在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（-2，3）. 若此抛物线与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围.

分析  抛物线与线段AB已有一个确定的交点A（-2，3），如果此抛物线与线段AB有两个不同的交点，那么还有一个交点必须也落在线段AB之间. 由点A（-2，3）在抛物线上，消去b可得二次函数的解析式为y=ax2+2ax+3，再由A，B两点的坐标可求出直线AB的解析式为y=-x+1. 令ax2+2ax+3=-x+1，得ax2+（2a+1）x+2=0，可进一步化简成（ax+1）·（x+2）=0，于是可求出x1=-2，x2=- ，所以-2<- ≤1. 又a≠0，分情况讨论：当a>0时，可求得a> ;当a<0时，可求得a≤

-1，所以a的取值范围为a> 或a≤-1. 解题时可简单画出函数的可能图像，以方便理解，比如图5.

图像是函数的表达形式之一，它能形象地呈现出函数的多方面性质. 含参函数问题一般都比较抽象，直接根据题意无法理解其含义和厘清数量之间的关系，因此需借助图像让问题变得明显. 图像不需要很精准，但需要体现出顶点、对称轴、开口方向、特殊点等关键要素，接着利用函数的性质便往往可以巧妙地解决含参函数问题.

化动为定，动点变定线

动态問题是数学中“经久不衰”的经典问题，不仅存在于函数中，存在于各类几何问题中，还存在于综合问题中，对数学基础及思维的活性有较高的要求. 在含参函数中，动态问题常常以动点的形式存在，显然动点不是毫无规律可循的，它的动存在轨迹，因此“动中求定”是解决动态问题的基本原则.

例3  如图6，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A（0，-4），B（-1，-4），C（-1，-5），D（0，-5），已知抛物线y=x2+mx+2m-4（m为常数），其顶点为M.

（1）求证该抛物线经过定点，并求出定点坐标;

（2）如果该抛物线与正方形ABCD的边有交点，求m的取值范围.

分析  （1）求含参函数的定点，只需提取参数，将抛物线的形式改写即可，抛物线的解析式可变形：y=x2+mx+2m-4=m（x+2）+x2-4，由定点的性质可知该点不随参数m的变化而变化，因此x+2=0，解得x=-2，所以抛物线经过定点（-2，0）.

（2）对于y=x2+mx+2m-4，令x=- ，可得y= ，所以抛物线的顶点M的轨迹为y=-（x+2）2，结合图像可知，如果抛物线与正方形ABCD的边有交点，那么抛物线与y轴的交点必在A点下方（包含A点），且当x=-1时对应的点必须在C点上方（包含C点），因此可以得到不等式组2m-4≤-4，1-m+2m-4≥-5， 解之得-2≤m≤0.

变式  如图6，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A（0，-4），B（-1，-4），C（-1，-5），D（0，-5），已知抛物线y=x2+mx+2m-4（m为常数），其顶点为M. 若∠ABM=45°，求m的值.

分析  直线AB的解析式为y=-4，如果∠ABM=45°，那么直线BM的解析式为y=x-3或y=-x-5. 由例3可知抛物线的顶点M的轨迹为y=-（x+2）2. 分情况讨论，当直线BM的解析式为y=x-3时，令-（x+2）2=x-3，解得x1= ，x2= （舍去），所以m=5- ;当直线BM的解析式为y=-x-5时，令-（x+2）2=-x-5，解得x1= ，x2= （舍去），所以m=3- . 综上可知，m的值为5- 或3- .

含参函数因为有参数的存在，看似是“动”的，但它常常与定点有关，所以求出定点、挖掘隐含条件对于解决含参函数问题非常必要. 对于含参函数中的动点，它的轨迹即为一条定线，所以遇到动点时，可以尝试通过求动点的解析式来解决问题.

条件抽象、含有动点是初中阶段所触及的含参函数问题的主要题型，消参、画图、找轨迹是解决上述问题的主要策略. 上文也许总结得不够全面，分析得也不够深入，但在数学教学实践中，笔者深切感悟到，注重分析与归纳，关注学生的学习方法是提高学生学习能力的主要途径之一. 因此，教师要不断强化学生对数学方法的认识，只有引导学生对相似问题进行分类总结，对同一类问题的解题方法进行归纳反思，才能让学生领悟数学思想、找到数学学习的方法，从而真正学会学习.