“关注过程”不仅在课上

尹 力

很多教师意识到数学教学要“重视过程，处理好过程与结果的关系”，能够在课上充分展开知识抽象、推理、建模的过程。但这种对“过程”的重视是否仅仅停留在课上甚至仅是公开课中？这样的情况并不少见：课毕，教师和学生更关注的是数学结论，因为练习是需要运用结论来解决的。至于课上花费很多时间的“过程”，似乎即时效用不大，所以很快被束之高阁。弗莱登塔尔在《数学教育再探》中清晰地指出：算法是一种完全极端情况，它一旦被掌握，或确信被掌握，人们很可能就不理会它们的来源。但是当它们对数学本身目标构成威胁（即把数学与操作算法等同起来）时，它们就变成了缺点。

一、产生问题

只是课上重视过程，在问题解决中仍旧只关注操作算法，这样的数学教学会带来很多问题。

1.解决问题水平较低。

有的学生只能胜任对于结果性知识简单运用的问题，比如利用面积公式求基本图形的面积，根据运算法则计算分数除法等。这类问题的共同特征是思维含量低，解决问题的途径简单、明确，仅需要付出很少的数学思考。问题稍微增加难度，比如变换情景或将以往解决过的问题综合，他们便无从入手。由此反映出，只进行结果性知识或操作算法这类看似具有即时效用的解决问题教学，并不能在很大程度上提高学生解决问题的水平。相反，关注过程、经历过程、体悟过程看似浪费时间，但更能促进数学思考，形成解决问题经验，达到举一反三的效用。

2.熟悉问题反复出错。

有的学生对于做过的练习反复出错，尤其在复习迎考阶段，当大量练习袭来时。教师可能也很难理解，明明前两天刚做过的题目，为什么又不会？当时教学生时已经具体到每步该算什么，下次只要按照以上步骤重算一遍就行了。偏偏就有不少同学对于结构相同的问题反复出错。由此说明，试图通过对算法一遍遍强调，甚至要求学生记忆，而不是扎实经历易错问题的对比剖析，不深入理解每一步操作算法背后的所以然，无益于真正解决问题。

3.学习缺少情感投入。

“接近和挖掘事物的本质以及之间的因果联系，这一过程本身就是兴趣的主要来源。”（苏霍姆林斯基语）要让学生真正学好数学，培养学生对于数学的兴趣，使数学对学生具有吸引力才是根本之道。那如何使学生产生对数学持久而稳定的兴趣？唯有经历过程、付出思考、理解操作算法背后的实质性联系，才能收获成功的喜悦。久而久之，学生会产生对数学的自我效能感（对学习数学充满信心）。学生自然会喜欢数学，爱思考数学。

二、解决措施

“关注过程”不能窄化为公开课中体现先进教学理念的手段，要发挥“关注过程”的价值，需要在数学学习的方方面面切实关注。

1．说过程，暴露必要的思维。

“说过程”就是把解决问题的程序讲出来，用语言把思维程序固定下来，使思维更富有条理、更加有序。“说过程”的本质是让学生知其所以然。对那些思维迟缓的学生，教师可以用“说过程”作为撬动他们主动思维的支点，让他们自己真正动起来。“说过程”的实质是在说思考的程序，做过的题已经有了现成的程序，只要把它们从运算中提炼出来即可。

“说过程”要注意程序的完整性和程序之间的逻辑性，对于不完整或错误的思维过程要及时指出。而这也是“说过程”的目的之一，暴露学生有问题的思维过程。“说过程”要尽量照顾到班级的每一位学生，采用不同的形式给予学生锻炼的机会，比如，自说、同桌说、小组说、全班说等。“说过程”还应渗透在数学学习的方方面面，不仅在新授课重视学生经历过程说过程，在练习课、复习课、个别辅导、作业订正等不同形式的学习活动中都要重视学生表达解决问题的思维过程。总之，对于学生静态的答案、算式都要保持警惕，正确的结果不等于学生已经实实在在经历了分析问题、解决问题的全过程，认真地将过程、思路用清晰、精练的语言说出来的价值要远远大于呈现出某个正确的结果。

2.勤追问，填补思维的断层。

根据皮亚杰认知发展阶段理论，小学阶段的学生总体处于“具体运算阶段”，能借助具体内容进行一定的分析推理，但逻辑推理水平并不高。推理过程不清晰、不明确、不严密，直觉成分较多。整个思维程序中会出现很多的断层，而对于这些断层式的障碍点，学生常常是绕过去，有时学生甚至没意识到障碍点的存在，只觉得自己的想法是自然、正确的，殊不知错误正在酝酿。追问是监控、调节学生过程性知识，有针对性地启发、引导学生思维走向清晰、深入的有效手段。填补思维断层，完善学生过程性知识需要教师经常追问。

《解决问题的策略——替换》教学片断：

对比题：（1）720毫升果汁倒入9个小杯中，每个小杯能装多少毫升果汁？

（2）720毫升果汁倒入3个大杯中，每个大杯能装多少毫升果汁？

例题：把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯中，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

先解决对比题，然后找出例题中的数量关系。

提问：跟刚才两道问题比，例题的数量关系变得更复杂，请你们想个办法把数量关系变得简单。

生：可以假设全是小杯，把那个大杯替换成小杯。

追问：为什么要假设全是小杯？

生：因为全是小杯的话，题目就变成对比题中的第一题，数量关系更简单。

追问：那大杯为什么能换成小杯？

生：因为大杯容量是小杯的3倍，所以大杯里的果汁可以用3个小杯全部装下，一滴也不少。

追问：“一滴也不少”说得很好，也就是说我们在替换时要注意什么？

生：果汁的总量不能变。

“可以假设全是小杯，把大杯替换成小杯”。虽然学生的回答直戳要点，正好是教师需要的答案，但教师切不可就此打住，错失启发学生思维走向清晰、深入机会。事实情况是，虽然学生给出了以上回答，但对内隐的过程性知识（为什么要替换？替换要注意什么？）并非全然清楚。而通过教师恰当、准确的追问，不断追本溯源，可使学生过程性知识不断完善。

3.改习题，体现缺失的过程。

练习是巩固、提高学生学业水平的重要方式，但平时的习题大部分侧重结果性知识的巩固、提高，变相削弱了过程性知识的重要性。转换观念，过程性知识为何不能被编制成习题而作为巩固学生内部过程性知识的手段。

过程性习题考察的是结果性知识背后的“理”，为什么是？表示什么意思？怎么得出的？也考察思考程序背后的目的，为什么这么做？你是怎么想到的？其实数学教材中就有这类关注学生过程性知识的问题，比如教材中卡通人物玉米的问题。其实还可以进一步追问：“你为什么要这么比？”即明晰学生思考程序背后的目的。像这样的问题教材中还有很多，用好用实这些问题是帮助学生积累过程性知识的有效手段。同时，教师也可以编制侧重过程性知识的习题，如下图。有关多边形的面积，一般考查学生面积公式的运用。实际上，这一单元里面包含很多过程性知识，比如转化的目的、面积公式推导的过程等，图中这道习题考查的就是转化的目的。当然，也可以在面积公式方面做文章，比如，已知梯形的面积公式是“（上底+下底）×高÷2”，那“（上底+下底）×高”算得是（ ）。只有关注梯形面积公式推导过程，才会知道“（上底+下底）×高”是“用两个一模一样梯形拼成的平行四边形的面积”。

“关注过程”实质上是让学生经历思考、理解、感悟数学学习、问题解决的过程。但这里也并非“重过程轻结果”，过程与结果相互依存、不可偏废。没有过程的结果是没有体验、没有深刻理解的结果；不追求结果的过程是缺乏价值和意义的过程。