关于除数是分数或者小数除法的一个注

（东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024）

小数除法与分数除法是小学数学教学的重点和难点，现行的几套小学数学教材都是先讲小数除法，后讲分数除法.因为教材的编写者认为，小数与整数在形式上更相似，因此更便于学生理解和掌握.可是，如何把相似变为算法呢？于是创造出一个“商不变”原理：除数和被除数同时乘一个整数商不变；然后以整数除法的数值计算为例，说明这个原理正确；最后把这个原理用到小数除法，把分子和分母中的小数同时变为整数，得到小数除法的算法.比如，

可是，为什么以整数为例得到的结论对小数也成立呢？这样的原理如何用到分数的除法呢？特别是，这样的教学没有解决更为基本的问题，就是小数的乘法的运算，为什么可以移动小数点呢？比如，

的道理是什么呢？因此，这样的关于小数的乘法运算与除法运算不是一致的，很难让学生感悟数学的运算是有逻辑的，似乎会感觉到数学的各种运算是相互独立的.

因此，可以先讲分数乘法和除法再讲小数乘法和除法，这就需要把小数写成十进制的分数，比如，在“分子分母分别相乘”的分数乘法运算的基础上，进行小数乘法的教学这就是小数乘法的算理，在这个基础上得到小数乘法的算法：小数点后面的位数的个数相加.同样，对于小数的除法，也可以在“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”的基础上进行，运算过程等价于分子分母同时扩大基于10的进制，这是“商不变”的特例，小数除法只需要这个特例.特别是，在这样的运算中可以让学生真正理解小数也是十进制的.

但是，这样的教学还是就事论事，没有顾及数学计算的一致性.对于现在讨论的问题，需要注意两个一致：乘法除法运算一致；整数、小数、分数运算一致.乘法除法运算一致是因为除法是乘法的逆运算，表达为

其中a表示除法运算得到的商.因为等式两边同时乘以一个数等号不变，所以可以得到

这就是商不变的道理（在这个意义上，在进行加法和减法的教学中，也应当关注减法是加法的逆运算，一方面可以作为乘法和除法运算的铺垫，另一方面可以体现数学运算的一致性）.在教学过程中，应当把上述关系反过来；并且先从整数开始，然后过渡到分数或者小数，比如

在右边等式的两边同时乘以1/4，得到

知道除以一个整数等价于乘以这个整数的倒数（最后一个式子就是可以用分数表示除法的缘由）.然后再过渡到除数是分数的除法

也可以过渡到除数是小数的除法

其中，中间的式子等价于把0.5扩大10倍再缩小10倍，这就是移动小数点的缘由.然后再把这样的算法扩充到更一般的分数或者小数的除法.