小学生数学问题提出能力发展研究

（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）

数学问题提出是指“学生在己有的数学经验基础上，对具体的情境给出自己的理解，并建构有意义的数学问题的过程”[1].它与问题解决密切相关，一直以来被认为是数学的重要组成部分，是个人探索、研究数学问题的出发点.因为，个人不仅要识别现实生活中有待解决的问题[2]，也需要在问题解决和数学探究中提出自己的问题，进行自我反思[3]，以及在数学学习中通过这些具有实际意义的问题充分认识到数学的意义，逐步树立起学好数学的信心[4].因此，在数学学习的起步阶段就进行问题提出能力的培养显得至关重要，而这又以能够准确把握小学生数学问题提出能力的现状与发展特征为前提.

国内学者进行了两项具有代表性的实证研究.早期的一项[5]是从某省8个县市9所小学的四～六年级中分别随机选择一个班级，每班又随机抽取40名学生，考查学生在圆点图形和文字描述等表征的规律性问题情境下，提出难易程度不同的3个数学问题的表现.该研究发现：尽管五、六年级分别提出较好、一般的数学问题的数量最多，但是学生的数学问题提出能力普遍较低，达到一般及以上的比例不足35%，年级差异也不明显.最近的一项[6]将被试范围拓展到二～六年级，借鉴SOLO分类，着重从学生提出问题的质量方面，将数学问题提出水平进一步划分为由“最多能提出陈述性问题”到“能较为系统地提出发展性问题”共4个明确的层次，获得了不同的发现：学生在开放的现实情境下具有提出发展性问题的潜能；问题提出能力的发展具有阶段性特征；二～五年级为其中跨度最长的发展阶段.

值得关注的是，上述两项研究在以下方面取得了较大推进.第一，精心设计问题提出情境，更加关注背景的公平性.第二，不仅发现五～六年级学生的数学问题提出能力处于较高的水平，更进一步将二～五年级视为一个发展阶段.但它们均未探讨处于该发展阶段的4个年级之间是否存在显著差异和发展关键期，也没有对数学问题提出能力是否存在性别差异进行调查.其实，关于思维发展的心理学研究早已指出，10～11岁是儿童思维发展的“关键年龄”，由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维[7].此外，13年前相关的一项研究[8]也表明：小学生创造性科学问题提出能力整体呈上升趋势，三～四年级是发展的“关键期”，男、女生创造性科学问题提出能力发展趋势基本相同，男生整体要略高于女生，二者差异不显著.显然，这两项研究的结论和研究方法为回答上述问题指明了方向.基于此，对三～六年级小学生数学问题提出能力的发展规律进行研究.

1 分析框架

在学生数学问题提出能力的评价上，Cankoy和Hasan广泛借鉴已有的研究成果，开发了一个评价小学生数学问题提出能力的量表[9]，并运用概化理论对其可靠性进行了验证.该量表共包含可解性、合理性、数学结构、情境和语言等5个维度.其中，“数学结构”的判断依据是学生提出的数学问题中的未知量在该问题所揭示的思维过程中的特定位置，即是否在其末端之处.比如，学生对“运用算式(160+40)×2，编写两个计算相关图形周长的数学问题.”这一任务，若能提出“一个长方形的周长是400，长是160，宽是多少？”就是运用逆向思维提出数学问题，也即提出的是“起始未明”型数学结构的问题.由此可知，这一维度实际上是在探测学生提出数学问题的思维顺序.“情境”维度是指问题所处理的对象与教师在课堂上使用的形式是否截然不同，或在教科书中是否少见，也即所提出的问题是否非常规.“语言”维度则是指表述问题的语言是否清晰、易懂、流畅与遵守语法规则.由此可知，这3个维度分别是从数学复杂性、情境性和可读性角度评价学生的问题提出能力.

但问题的“数学复杂性”不是单一概念，而是复杂的综合体，已有研究[10-12]又多从语义复杂性角度进行评价.因此将“数学复杂性”分为两个子维度，分别是语义复杂性和结构复杂性.其中，语义复杂性包含6个子指标：重述、组合、更换、变换、比较和分类.前5个指标在文献[10]中有详细论述，在此不再赘述.但这5个子指标难以包含“通过对问题提出情境中某一对象进行分类来提出数学问题”这一情形，因而研究增添此类型，并将其命名为“分类”语义类型.另外，当面对同一个情境提出多个问题时，问题之间的变化则能反映出提问者思维的灵活性，因此“变通性”也应该作为一个重要的评价维度.当然，对于“情境性”，除了常规性判断之外，还有必要考虑提出的问题是纯粹的数学问题还是蕴含个人、职业、社会或科学等情境的数学问题.

因此，研究对上述评价框架进行了调整与扩充，从以下7个方面界定小学生数学问题提出能力，如表1所示.评价实施过程可简要分为如下4个步骤：第一步，如果被试提出的是构不成问题的陈述，或非数学问题，或不符合题意，或重复表述的数学问题，则直接赋0分；第二步，如果被试不满足第一步的条件，则在此基础上评价其提出的每一个数学问题的可解性、合理性、情境性、数学复杂性（语义和结构）、可读性等6个品质；第三步，对于被试基于同一个问题提出情境提出的多个数学问题，评价其变通性品质；第四步，对第二、三步的赋值求和，所得数值即为小学生数学问题提出能力的总体得分.

表1 小学生数学问题提出能力评价框架

2 研究方法

2.1 被试

被试学校为河南省新乡市一所公办小学，每个年级8个班，教学成绩在市属公办小学中处于上等水平.被试家庭的社会经济状况普遍处于市区中、上等水平.研究者依据2017—2018学年上学期期末测试成绩，将三～六年级的每个年级平均分为高、低两个层次班，分别从中挑选一个中等水平的班级.剔除无效测试卷13份，最终统计被试年级人数分布如表2所示.需要说明的是，被试在测试前已经学习了平行四边形、三角形、梯形等图形的周长以及加、减、乘、除四则运算知识，所使用的人教版数学教科书存在一定数量的问题提出情境，在日常的课堂学习中也有问题提出的机会.因此，研究者认为被试已初步了解数学问题提出.

表2 被试年级人数分布

2.2 实验材料

研究选取“图形的周长”为测试内容.遴选的原因是该内容仅在三年级上学期学习，可以避免因被试关于测试内容的知识储备不同而引发的不公平.

Christou等[13]结合问题提出认知过程提出了4种类型的数学问题提出任务，分别是基于理解、转换、选择和编辑提出数学问题.这一分类得到了研究者的认可[14-15]，被广泛应用于[16-17]研究小学与职前教育阶段学生的数学问题提出能力中.据此命制了小学三～六年级学生数学问题提出能力测试题.测试题有4道，分别是基于理解、选择、转换和编辑提出数学问题，其中第一题包含两小题，难度递增，从理解单一算式的意义提出数学问题，到基于“关联”视角建立两个算式所表示图形的组合提出数学问题.

测试题由数学教育研究人员、数学教育研究专家以及区级教研员（小学高级教师）组成的4人团队命制.命制团队围绕图形周长相关的知识，以教材和Christou等学者的问题提出任务为蓝本编制测试题初稿，并经5次预测与访谈、研讨与修改，再结合两位资深的数学教育专家的建议进行调整，从而形成最终稿，如表3所示.

表3 测试材料

2.3 实验程序

以班级为单位集体施测，主试为研究者与一名数学教育研究专家，测试时间为30分钟.为了避免部分学生消极应对，主试在测试前向被试提供相同的激励语和引导语.在测试的过程中，如果被试有什么疑惑，主试会给予必要的答疑，但不会对题意进行任何解释和提示.测试结束后，挑选提问情况具有代表性的个别学生，进行5～10分钟的访谈.

2.4 计分方法

表4为调整与扩充后的小学生数学问题提出能力评价量表.其中，“情境性”的评价分两个步骤进行.首先，判断问题是否常规.比如，被试提出的“长方形菜地长160米，宽比长少3倍，周长多少？”这个问题并没有直接给出长方形的宽，而是将其表述成长方形长的“倍数”关系，由此被称之为非常规问题，被赋值2分.其次，对于常规性数学问题，通过进一步细分为有情境和无情境类型进行赋值.无情境类型仅指纯数学情境，有情境类型指问题至少包含PISA中测评数学素养的真实情境类别框架[18]中的一种类型.“变通性”维度中的数学问题种类是依据情境性、语义复杂性、结构复杂性和未知量种类4个角度进行判断.

2.5 信效度检验

样本的数学问题提出能力总体及各品质得分均符合正态分布.

信度检验：两位评分者随机从三～六年级各选取30份、共计120份答卷进行独立评分.两组分数值的Pearson积差相关系数r=0.918（P=0.000），数学问题提出能力总体得分与各品质得分的Cronbach'sα系数为0.86.说明测试具有较高的分半信度与内部一致性信度.

效度检验：表4是在已有的广泛研究成果[9]的基础之上形成的，突出了测试内容的广度、涵盖度与丰富性，具有较好的内容效度.实验计算了小学生数学问题提出能力各个品质分数与总得分间的相关.数据表明：除结构复杂性之外（讨论部分做进一步的说明）的其他各品质与总得分之间的相关远高于各品质之间的相关，说明具有较好的结构效度.

表4 小学生数学问题提出能力评价赋值表

3 结果与分析

不同年级、不同性别小学生的数学问题提出能力及结构复杂性之外的其它6种品质的平均数和标准差如表5所示.需要特别说明的是，在结构复杂性上，学生的得分仅有0分、1分、2分、3分、5分共5种情形，对应的人数分别为411、48、8、2和1.其中，得分为0的学生占比87.45%，得分为0或1的学生占比99.78%.据此可知，学生在该品质上的得分不具有统计意义，也即各个年级、不同性别的被试在运用逆向思维提出数学问题方面表现极为不佳.因此，不必在本节后续部分对结构复杂性做专门讨论，因而本节后续有关“各品质”的论述不再包含结构复杂性.

3.1 年级和性别对小学生数学问题提出能力的影响

以数学问题提出能力总体及各品质作为因变量，以年级、性别作为自变量，进行多元方差分析.结果表明：第一，年级与性别在数学问题提出能力及各品质上的交互作用不显著（F(3,666)=0.83,P＞0.05）.第二，年级对小学生数学问题提出能力总体具有显著的主效应（F(3,666)=7.99,P＜0.01），表明三～六年级学生的问题提出能力总体存在差异.第三，性别主效应不显著（F(3,666)=0.62,P＞0.05），男、女生数学问题提出能力总体及各品质上的差异不显著.进一步分析表明，年级在小学生数学问题提出能力各品质上均显著，分别为 F(3,666)=14.52，P＜0.01，η2=0.09；F(3,666)=13.13，P＜0.01，η2=0.08；F(3,666)=31.31，P＜0.01，η2=0.17；F(3,666)=18.83，P＜0.01，η2=0.11；F(3,666)=16.56，P＜0.01，η2=0.10；F(3,666)=13.03，P＜0.01，η2=0.08；F(3,666)=23.52，P＜0.01，η2=0.14.

表5 小学生数学问题提出能力及各品质得分均值（标准差）

3.2 小学生数学问题提出能力的年级差异

以数学问题提出能力总体及各品质作为因变量，以年级作为自变量，进行单因素方差分析.结果表明：小学生的数学问题提出能力总体及各品质均呈上升趋势.利用LSD法进行事后多重比较发现：（1）在数学问题提出能力总体及可解性、情境性（图1所示）和语义复杂性3个品质上，三年级显著低于四、五、六年级（P＜0.05），四年级又显著低于五、六年级（P＜0.05），五年级低于六年级但差异不显著（P＞0.05）.（2）在合理性上，如图2所示：三年级显著低于其他3个年级（P＜0.01），四年级低于五年级差异不显著（P＞0.05），但却显著低于六年级（P＜0.01），五年级低于六年级差异不显著（P＞0.05）.（3）在可读性上，如图3所示：三年级显著低于四、五、六年级（P＜0.01），四年级低于五年级差异不显著（P＞0.05），但却显著低于六年级（P＜0.001），五年级也显著低于六年级（P＜0.05）.（4）在变通性上，如图4所示：三年级显著低于其他3个年级（P＜0.001），而四年级尽管低于五、六年级，五年级也低于六年级，不过这种差异并不显著（P＞0.05）.这说明在数学问题提出能力总体及各品质的发展过程中，四年级显著高于三年级，又与五、六年级存在一定的差异.

图1 情境性均值的年级差异

图2 合理性均值的年级差异

图3 可读性均值的年级差异

图4 变通性均值的年级差异

3.3 小学生数学问题提出能力的性别异同

研究发现，男、女生的数学问题提出能力总体及各品质整体均呈上升趋势.利用LSD方法分别对男、女生的数学问题提出能力总体及各品质进行多重比较，进一步分析发现如下：

第一，男、女生数学问题提出能力总体及各品质上得分均值的高低在四年级发生转折性变化.如图5、图6所示：三年级男生在数学问题提出能力总体及各品质上的得分均低于女生；而到了四年级，男生的得分均高于女生；五年级男生在数学问题提出能力总体及情境性、变通性两个品质上的得分低于女生，而在其他4个品质上几乎与女生持平；上到六年级，这一情形几乎没变，男生在数学问题提出能力总体及情境性与语义复杂性两个品质上的得分低于女生，但在其他4个品质上几乎与女生持平.

第二，男生与女生一样，其数学问题提出能力总体及各品质的发展存在3个阶段.对于男生而言，在数学问题提出能力总体及情境性、可读性和语义复杂性3个品质上，三年级显著低于其他3个年级（P＜0.01），四年级低于五年级差异不显著（P＞0.05），但却显著低于六年级（P＜0.05）；五年级低于六年级，差异不显著（P＞0.05）.在可解性、合理性、变通性上，三年级显著低于其他3个年级（P＜0.01），而四年级低于五、六年级，五年级也低于六年级，但这些差异并不显著（P＞0.05）.这说明男生数学问题提出能力的发展可能存在3个较为明显的阶段，依次为：三年级，四年级和五、六年级.对于女生而言，在可读性品质上，三年级低于四年级，差异不显著（P＞0.05），但却显著低于五、六年级（P＜0.05），四年级低于五年级，差异不显著（P＞0.05），却显著低于六年级（P＜0.05），五年级低于六年级，但差异不显著（P＞0.05）.在数学问题提出能力总体及其他5个品质上，三年级低于四年级，但不显著（P＞0.05），不过却显著低于五、六年级（P＜0.05），四年级显著低于五、六年级（P＜0.05），五年级低于六年级，但差异不显著（P＞0.05）.这同样说明，女生数学问题提出能力总体及各品质的发展也存在类似的3个阶段，并在四年级发生显著性变化.

图5 学生数学问题提出能力各品质均值上的性别差异

图6 学生数学问题提出能力总体均值上的性别差异

4 讨论

研究从年级、性别及其交互作用的相关性上，探讨了小学生数学问题提出能力总体及各品质的现状与发展规律.

4.1 小学生数学问题提出能力的结构复杂性特征

在结构复杂性上，89.77%的被试得分为0或1.这说明学生在提出“起始未明”型问题方面的难度异常大，甚至可以说不具备提出该类问题的能力.这一发现与关于问题解决的一项研究结果[19]存在相似之处.该研究认为，学生在解决“起始未明”型问题上遇到困难，主要是由任务结构差异的逻辑性结果引发的.具体而言：当学生解决一个“起始未明”型问题时，除了要克服特定的困难（不能像该类问题描述的那样，简单地运用算术运算）之外，还必须做其他一些事情，比如，理解问题表述和进行算术运算等，以等效“结果不明”型问题.由此可知，“起始未明”型问题的解决在逻辑上可能受到更大的限制，至少与“结果不明”型问题一样困难.

进一步，学生提出“起始未明”型问题在逻辑上受到的限制，与解决它所受到的限制相同，甚至更大.原因在于这类问题的提出涉及特定的情感与认知.一方面，要在情感上敢于挑战顺向思维这种传统的算术思维形式，大胆运用逆向思维；另一方面，在认知上，（必要情况下通过问题解决的方式）初步了解给定情境或任务中的数量关系，通过思维逆序的方式由末端回溯至始点进一步厘清这种数量关系.以前文所举的“起始未明”型问题为例，一被试在回顾自己提出该问题的思维过程中，指出不甘心提出已知长方形的长与宽求其周长的常规问题，而欲反其道以行之的想法和行为.由此可知，“起始未明”型问题的提出对学生的情感、思维容量和思维顺序等要求更高，因而会出现更大的困难.在此方面，被试普遍表现极差，可称之为结构复杂性品质欠缺.

4.2 小学生数学问题提出能力的发展趋势

小学生数学问题提出能力总体及各品质（结构复杂性除外）均呈上升趋势.这与一般意义上的小学生问题提出能力，以及特定领域的小学生创造性科学问题提出能力的研究结果[8，20]一致.主要原因是：第一，小学生数学问题提出能力随着其知识结构和学习经验的日趋完善和丰富而提高.数学知识、生活经验与学习经验是学生数学问题提出能力发展的前提和基础[21]，尽管“图形的周长”这一测试内容是三年级上学期中一个独立的学习内容，但随着年级的增高，尤其是四～六年级“图形与几何”领域中“面积”“数与运算”等内容的学习和经验的积累，无形中帮助小学生深入理解周长知识，丰富关于周长的认知，进一步完善知识结构，由此在一定程度上促进了小学生数学问题提出能力的发展.第二，问题提出能力伴随着学生言语表达能力的增强而提高.问题提出是将发现的问题用语言表述或用符号表达的过程[22]，因而是一种内在的言语活动.正如一位研究者[20]所指出的，问题提出能力的发展应该离不开言语的发展，小学生问题提出能力随年龄增长而发展可能与儿童言语的发展有关.第三，教科书中问题提出内容的编排与日常的问题提出教学是小学生数学问题提出能力发展的外在因素.小学数学一～六年级的教科书中设置了数学问题提出栏目，类型多样且分布于不同的教学环节中[23]，能“更好地发挥教科书在培养学生问题意识和提出问题能力方面的引教导学作用”[24].除此之外，在日常教学中，数学教师会积极创设情境引导学生主动提出数学问题.这二者分别以间接和直接的方式促进了小学生数学问题提出能力的发展.

4.3 小学生数学问题提出能力发展的阶段性

首先，四年级是一个特殊时期.在这一阶段，小学生数学问题提出能力由较低水平向更高水平过渡，并且男、女生数学问题提出能力总体及各品质（结构复杂性除外）上的得分均值间的差异发生转折性变化，男女生数学问题提出能力总体及各品质（结构复杂性除外）间的差异也发生显著性变化.以上表明：小学生在四年级表现出数学问题提出能力及各品质（结构复杂性除外）迅速发展的趋势.

这一发现与国外有关艺术类问题提出的两个早期研究具有很大的相似性.第一个[8]是通过对小学艺术课教师大量深入的观察，发现大多数四年级学生提出的问题更加完善，且在三、四年级实现了一个质的飞越：由一些表层问题发展到刨根问底，提出一些追求事物本质的深层问题.这一研究表明三、四年级是学生问题提出能力的数学复杂性品质具有质的提高的一个时期.第二个[8]则是关于小学生理解和解释图片能力的，研究发现小学生在11岁时可以创造性地解释场景描述，在“问—猜”测验中简洁阐述原因假设的能力初见端倪.该研究发现的前一种能力是学生在仔细观察、描述事物或现象上进行的标新立异、变通等创新，与问题提出的情境性品质和变通性品质有关；另一种能力是推理上的逻辑性、合理性、简洁性的表现，与问题提出能力的可解性、合理性、语义复杂性与可读性品质密切相关.由此可知，这两项研究从数学问题提出能力的6个品质方面对研究结果给予了支持.

另外，研究进一步明确了四年级是小学生数学问题提出能力迅速发展的一个特殊阶段，重要依据是学生思维发展的特殊性，这与小学生创造性科学问题提出能力发展关键期的划分和依据一致[8].小学四年级（10～11岁）是儿童思维发展的“关键年龄”，是具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段[7].小学三年级以具体形象思维为主，而数学本身具有抽象性和高认知的特点，限制了学生数学问题提出能力的发展.直到小学四年级，学生初步具备了抽象逻辑思维能力，数学问题提出能力也随之发生了骤变.

其次，小学生数学问题提出能力的发展可分为3个阶段.其中，三年级为较低发展阶段，四年级为“关键”发展期，而五、六年级为高级发展阶段.这一发现与最近国内一项研究结果具有相似之处[6]——都将小学生问题提出能力划分为3个阶段或水平，但又有一些不同.后者是依据干预措施介入前后二～六年级学生发展性数学问题提出的变化，将学生数学问题提出能力分为如下3个阶段：第一，在二年级没有经历问题提出学习活动前，学生处于从不会提出问题到能提出简单问题的“过渡阶段”，第二，经历问题提出学习活动后，二～五年级学生处于问题提出的“局部思考阶段”；第三，经历问题提出学习活动后，六年级学生进入问题提出的“整体思考阶段”.该划分突出了学生思维广阔性明显变化的3个阶段.相比而言，研究则是从数学问题提出能力各个品质所体现的思维深刻性、灵活性、独创性等方面加以划分，对具体阶段的划分可能更为精细，并突出了关键发展期这一特征.

4.4 小学生数学问题提出能力的性别差异

在数学学习上存在性别差异似乎是一个公认的事实.传统上，数学常常被视为是一个男性占优的学科[25].因此，男女被试在数学问题提出能力及各品质上的差异也成为研究的关注点.研究发现，男、女生数学问题提出能力发展趋势基本相同，呈上升趋势，且二者间的差异性并不显著.这一发现与2003年PISA和TIMSS的数学测验数据所反映的性别差异[26]相似：两者差异很小，并不具有实际意义.这说明男、女生之间的相似性要比差异性多得多.究其原因，一方面，从心理学视角看，男性和女性在大部分心理变量上是相似的[27]；另一方面，中国传统文化中虽然存在明显的性别不平等，但当下文化中却具有强烈性别平等取向[28]：受计划生育政策的影响，中国传统的男尊女卑思想受到了很大的冲击，在教育投入方面，特别是城市家长对女孩的投入与男孩一样多，甚至会更高.研究的被试是市区学生，家庭经济状况整体处于市区中、上水平.由此可以推断，被试父母的教育程度和对教育的投入程度相对较高，在子女的教育投入上并不存在明显的性别差异.可以认为，小学生数学问题提出能力不存在性别差异.

5 结论与展望

5.1 结论

（1）小学生数学问题提出能力的结构复杂性品质缺失；

（2）小学生数学问题提出能力总体及其它各品质呈上升发展趋势，存在3个发展阶段，四年级为发展的“关键期”；

（3）男女生数学问题提出能力总体及其它各品质的发展趋势基本相同，呈上升趋势，二者差异不显著.

5.2 局限性

（1）数学问题提出能力的评价方法.该研究主要使用纸笔测试，要求学生提出数学问题，而没有让他们解答自己提出的问题，由此难以从学生解答的角度更加深入了解他们是如何概念化自己提出的问题；虽然通过访谈了解了部分学生问题提出的思维过程，但覆盖面较小，在一定程度上难于获得更加真实和全面的数据信息.

（2）被试年龄范围与调查范围.由于被试为中部省份一个市区公办学校三～六年级的学生，因而研究的结果是否适用于乡村学校以及经济与文化发达的地区，有待后续研究.

5.3 展望

（1）在数学课程的设计上，可结合小学生数学问题提出能力的发展规律，进一步细划《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有关问题提出能力的两个发展阶段，并从情境性、复杂性、变通性等方面，对该课程标准中第二学段的问题提出能力要求——能从现实生活中发现并提出简单的数学问题，做进一步的具体化与明确化，这可能是未来理论研究与实践探讨的一个重要方向.

（2）在数学教科书的编写上，如何体现如（1）指出的课程要求的可能性变化，以及创设何种类型的问题提出情境有助于激发学生提出“起始未明”型问题，也是值得重点关注的议题.

（3）在以问题提出为培养目标的教学上，教师既要结合各个年级学生问题提出能力的不同水平与特征实施教学，实现能力培养的连续性和梯度性，又要把握好四年级这个关键时期，多种方式着力培养小学生的数学问题提出能力，对此可探索学生数学问题提出能力发展路径的教学研究.

致谢：感谢河南省新乡市新区小学对调研活动的支持！