数学思维视域下“教表达”的再认识与思考

（贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550025）

培养学生关键数学能力，是发展学生数学核心素养的落脚点，而数学能力的核心又在于数学思维能力.正如奥加涅相指出的：“区别于传统教学，现代教学的特点在于力求控制教学过程以促进学生思维发展，而基本的思维方式则成为学生掌握的专门内容.”[1]《高中课程标准（2017年版）》中也将培养学生会用数学的思维思考世界作为培养数学核心素养之一.由此可见，培养学生的数学思维，成为数学教学与数学研究者的核心任务.

“教表达”，是2014年1月贵州师范大学吕传汉教授提出的“三教”教育理念之一，旨在让学生学会“说数学”，即用数学的语言表达世界[2].学生用数学语言表达客观世界，实质上就是将所学数学知识构建数学模型应用于外部世界，用数学模型刻画客观世界中研究对象的性质、关系与规律.在知识的良好构建与探寻事物变化规律过程中，必然促成学生数学思维能力.然而，在课堂教学中，教师往往将学生的表达作为课题引入、教学环节的桥接作用，对学生的表达的关注局限于表达内容是否符合教学主题，表达方式是否流畅、清楚，忽视“教表达”对学生数学思维的提升作用.研究认为，教师应有意识地立足于数学思维的视角，认识“教表达”在数学教学中对学生发展的作用.

1 思维与数学思维

思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，它体现的是事物的本质与内部规律性，是人类在社会实践中产生的一种特有的精神活动[3].简单地说，人的大脑对客观现实中存在的问题进行思考的这种内部活动就是思维.

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动[4].具体而言，数学思维就是以数学中的空间形式和数量关系作为对象，以数学语言和符号作为载体，在此基础上认识和发现数学规律的一种思维.数学思维既具有一般人类思维的特点，又具有独特的数学特点和操作方式，特别是数学的抽象性、严谨性、符号性等性质，决定了数学思维具有不同于其它思维的独特风格.数学思维方式通常可以相对地分为单维型和多维型、封闭型和开放型、静态型和动态型等[5].

2 数学交流与教表达

“数学交流”主要指：在课堂或课外学习过程中，能够将自己习得并理解的数学知识、技能、思想方法、情感态度等以口头或书面的形式传递给对方.“表达”是指“表示（思想、感情）”，主要包括书面表达和口头表达[3]，是学生面临一定的现实情境（包含数学情境、现实情境或者是其它学科情境）时，通过分析、思考，在所面临的情境中建构数学模型，并用数学的语言（诸如文字语言、图形语言、符号语言）描述的过程.数学交流必然基于数学表达，数学学习中的表达，也是为了达到数学交流的目的.因此，“教表达”，旨在通过教师引导进行师生交流、生生交流，让学生学会“说数学”，让学生经历思维过程后表述自己的思考，在表述中倾听，在倾听中通过表达交流，在交流中进行再思考和改进，从而促进知识的领悟和数学思维的提升.

3 “表达”对学生数学思维发展的作用

3.1 表达——能引发学生思考的动机

认知理论认为，动机有助于指引注意的方向，影响信息加工的方式[6].教师给学生表述自己思想或观点的平台，不仅是给学生一个展示自己数学思维的机会，同时也让学生产生思考的动机.学生在进行表达时，总会希望获得别人的赞誉与尊重，形成一种无形的思想约束，也就形成了一种迫使自己思考的外部动机.在这种外部动机的驱动下，就会在进行表达前，对问题进行尽量仔细和周密的思考，完善自己对研究对象的认知建构.当自己的表述得到别人认同时，会引发学生浓厚的数学兴趣；当自己的表述被质疑时，会激起学生对问题的再次思考.教表达，并不完全体现在“教”上，更重要的是对学生的引导，包括对学生表达方式、思维、心境的引导，增进学生思考与表达的动机，更愿意主动参与数学讨论和小组学习活动，喜欢与大家交流数学学习经验与体会，有积极地将所学数学知识与实际联系的倾向，进而逐步将外部动机转为成就动机或对数学情感因素的内部动机.由此，学生便形成仔细思考—清楚表达—深入思考—充分表达的良性循环状态.

3.2 表达——思维的可视听化过程

国外的教育研究更加重视对于学生在学习过程中真实思维活动的深入了解，而中国在数学教学中教师所关注的往往只是如何能够帮助学生学会数学地思考，却很少关注学生在数学学习过程中的真实思维活动[7].从唯物辩证的角度来看，意识依赖物质而存在.任何思想、理论的形成，务必依赖于一定的物质基础.要想培养学生学会数学地思维，就应当立足于学生在数学学习中真实思维活动的深入了解，唯如此，相关的教学理论才能脱离经验之谈，上升到应有的理论高度.

学生的表达与数学交流，实质上是对自己的认知过程、思维方式的一种流露与展现，使得这种潜在的、内隐的数学思维转化为一种外显的可视、可听的过程.无论是教育研究者，还是教学工作者，都应注重对学生可视化思维——通常是书面表达，以及可听化思维——通常是口头表达的研究.从学生的表达中了解其现有认知结构和真实思维方式，以师生对话的方式了解学生现有思维的缘由.在此基础上，结合课程学习目标中应达到的数学认知要求，才能展开研究应如何引导和培养学生进行数学思维的问题.这就要求教师不仅要在上课前进行备学生、备教法，还应在上课中根据学生的表达与交流中进行生成式教学，处理好教学过程中预设与生成的关系.

3.3 表达——思维的流动过程

在现今信息化时代，人与人之间的交流已拓展到人机交流、人与数据的交流，而且信息互换已从时间上得以压缩，在空间上得以拓展，信息交流变得愈加的重要.表达，是交流的开始，学生在进行数学表达时，不仅展示了自己的数学思维，还创造了学习合作者倾听的机会.其他学生在倾听时，也会进行数学思维活动，可能会产生赞同、评价、质疑、反驳的心理倾向.教表达，旨在将学生的这种心理倾向得以实现，促进学生进行表达和交流，使学生的数学思维在表达中流动起来.思维犹如水源，静态的水源是一潭死水，流动的水源才是源头活水.流动的思维才能吐故纳新，得以活跃，更新自身的循环.在数学交流中，人们头脑中相对静态的思维得以流淌，流动过程中，倾听的学生根据表述者呈现的思维，可能会改变或更新自己的原有认知，也可能提出质疑和反驳，更新别人的认知.

思维的流动，更能改变思维的形态.数学思维是以数学知识为载体的，学生的传统数学学习过程通常可以分为3个阶段：纳入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作运用阶段，这也是知识形成的一般过程[8].在与外部进行信息交互之前，思维模式通常困于一个思维模式，思维活动局限于固定程式，思考方法也显得墨守成规和机械化，这几乎是每一个学习者学习知识的一个起始阶段.由此形成的是数学思维方式通常为单维型、封闭型和静态型.只有在知识形成的每一个阶段，有意识注重学生的数学交流，让学生的数学思维流动起来，与他人交流中进行信息交互与加工提取，才能从多角度、多层面进行思考，获得多层次、突破性的思维方法，进而逐渐让学生将数学思维方式转变为多维型、开放型、动态型思维.

3.4 表达——能养成学生批判性思维与辩证思维

学生在表达过程中，会不由自主地对自己所阐述的观点进行思考，同时也会对别人的观点进行评判甚至反驳，带有较强的说理性与辩证性.教师在教表达的过程中，注意引导学生的表达与交流，注重交流中的数学思维含量，以促进学生批判性思维和辩证思维的养成.

批判性思维是通过恰当提问和客观事实进行质疑、分析和论证评估的思维[9].有了这种思维，在数学问题解决中，就能考虑到一切可以利用的条件，不断验证所拟定的各种假设，最终获得独特的问题解决方法.因此，批判性思维是培养学生创新精神和实践能力的重要组成部分.数学教学中的批判性思维，既包含了对他人观点的批判性思考，也包含对自己的批判性思考.因而从认知心理学的角度，批判性思维又可称为元认知，即对认知的认知.在实际教学过程中，教师通过教表达，引导学生进行数学交流时，学生会对他人的表述会进行质疑与评判.学生通过自己表述、他人评价，又会对自己的认知进行再认知，思考自己的不足，及时调节自己的思维过程，修改思维方式和思维手段，减少思维的盲目性和触发性，发展思维的分析性和主动型，提升自己的思维水平.

辩证思维是指人们运用概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观事物的发展过程[10].辩证思维最基本的特点是将对象作为一个整体，对其内部，分析其内在矛盾运动与变化，究其外部，分析其与各方面的相互联系，从正反两方面对事物进行系统、完整的认识.教表达的过程中，不同的学生有不同的知识经验和认知水平，学生能听取针对同一数学问题的不同角度、不同层面的观点，甚至教师有时可以通过引导、追问学生的表达，帮助学生无意识或有意识地整合、提升思维水平.使学生能逐步结合形象思维与逻辑思维，集中思维与发散思维，形成多维性思维.当这种多维性思维达到一定水平时，就能从动态的、全面辩证的观点看待事物的本质，从而形成辩证思维.

4 数学课堂中“教表达”的教学策略

基于以上分析，教表达不仅可以培养学生的语言交流与数学交流能力，更能形成学生进行思考的动机；教师通过学生的表达，能够了解和审查学生的数学思维方式和思维水平，便于进行生成式教学，利于学生数学思维的培养；学生通过生生交流、师生交流，得到异于自己的不同层面的数学思维整合，提升自身数学思维品质，最终促成自身数学核心素养.于是，注重数学思维视域下学生的数学表达，是课堂教学中教师应有的认识，在数学思维视域下，教师在数学课堂教学中应如何“教表达”，是值得教师和教育研究者思考的问题.

4.1 注重学生的情感交互

这里讲的情感，并不局限于学生的数学学科情感，还包括学生与学生之间，特别是学生与老师间的情感.学生喜欢数学的重要原因，往往是由于教师与数学教学内容之间形成恰当的氛围和教师在教学过程中体现着丰富的数学情感，从而感染学生，让学生被数学所吸引.例如，挪威数学家阿贝尔之所以能成为中学生数学家，成为“群论之父”，很大程度得益于他的数学教师霍姆伯的循循善诱和因势利导[11].教表达要首先注重师生的情感交互，特别是性格较为内向、腼腆的学生，教师要表露出愿意倾听学生发表自己看法的神情，哪怕是学生错误的、不确定的答案，也要流出期待的眼神或赞许的目光，并对学生的表述给与中肯的评价.让学生在表述前得到教师发自内心的期待，表达中得到教师的倾听，表达后得到教师的指点，如此，才能让学生从情感上愿意将自己对问题的真实看法表达出来，愿意与老师交流、与同学分享.只有师生之间有了这种情感交互，教师才能了解学生的数学思维，进而有针对性地予以指正和改善.

4.2 足够的思考时间与空间

在新课程改革的理念下，多数教师开始有了以学生为本的意识，已经开始拥有了从关注教师的教到更关注学生的学的理念转变，因而开始注重放手让学生去表达.这一理念当然是没有问题的，然而，不少教师却仅仅从形式上让学生很“自由”地表达，学生也显得充满活力与热情.往往是教师抛出一个问题后，学生便开始积极地回答甚至是抢答，课堂显得非常活跃，教师对课堂氛围也自觉满意.实际上，课堂这种形式上的热闹，学生这种表层的表达带来的问题是：其一，部分学生充满疑惑的表情被这种热闹的氛围掩盖和埋没了；其二，学生对问题缺乏深入的、条理性的思考，违背了教表达的初衷.

学生的表达，务必是基于一定思考的表达.教师在让学生进行表达前，要确保大部分学生对问题有了较好的思考.这就要求教师在教学过程中，要给学生留出足够的思考空间和思考时间.所谓足够的思考空间，即向学生呈现的情境或者抛出的问题要有一定的思考性或难度，让学生处于一个“结构不良”的问题中，让学生通过思考才能获取问题的信息和解决方法，在思考过程中让数学思维有一定的伸展和延伸的空间.所谓足够的思考时间，即在向学生呈现具体情境时，教师既不急于让学生进行回答，也不急于回答学生提出的问题，而是留给他们足够的时间去思考.当学生思考不出结果时，可组织学生进行交流和讨论，在互相启发中寻求解决问题的方法；当问题解决之后，教师不要急于收场，让学生思考有没有更多的解决方法，能否由此提出新的问 题[12].这样，学生在表达前经过充分的思考，才能进行有条理地表达，促进数学领悟.

4.3 注重学生思维过程

前面已经论述，学生的表达过程实则是学生思维的一个展示过程，是思维的可视化.教师在引导学生进行表达的过程中，要特别关注学生的思维过程，对其中缺乏思考的环节进行追问，对思考不正确的环节进行诘问，帮助学生形成完善、清晰的思维图式.在关注学生思维过程中，教师还可以反思自己的教学预设，对自己没有预先考虑到的“断点”进行修改与调适，根据学生的认知进行生成式教学.

例如，义务教育阶段第三学段——三角形内角定理证明的课堂教学过程中，通常会遇到如下一些教师处理不得当的情况，可以从注重学生思维过程，根据学生的表达进行完善.

（1）如右图，在引导学生进行“剪一剪、拼一拼”的数学活动后，让学生将该定理转化为数学语言，猜想证明方法时，部分学生会因为提前预习而直接得出添加平行线的方法，这一过程其实是缺乏应有思考的.如果教师不抓住这个机会对学生的表达进行追问，直接根据学生所答添加平行线进行问题解决，那么不仅使学生进行数学活动成为摆设，还失去一个培养学生良好思维习惯的机会.

此时，教师应对学生进行追问：“你是怎么想到这种方法的？”亦或是“你为什么要这样想？”等问题，让学生对自己的决策做出思考，找出真正的思维来源.通过这样的追问，可能会有学生提出这样想的原因来源于刚刚拼纸模型的启示，也可能会有学生提出是前面内容中渗透过的初中几何证明方法——即用已学定理与基本事实等推导出新学定理的几何证明思路，因而想到用平行线的性质进行证明.在这种师生交流中，渗透了几何证明思想，培养直观想象的素养.

（2）学生在猜想证明方法时，可能会有部分学生想到的不是添加平行线，而是通过作角相等来进行证明.如右图，过点A作∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，根据等量代换及平角性质得到∠B+∠C+∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°.学生的这个表述过程虽然有较大漏洞，但也确为解决此问题最为自然的方法，因为学生刚刚的拼图活动就是将三角形的3个内角拼成一个平角进行推理得到的.由于老师对学生的这种思考缺乏预设，可能会直接忽视学生这种看起来有很大漏洞的方法，错失拓展学生思维的良机.

事实上，教师如果对学生进行诘问：你怎么知道∠DAE是一个平角，一方面学生很有可能会进一步思考而得出，另一方面教师也可根据自己思考，引导学生得出：因为∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，根据平行线的判定定理得到DA//BC，AE//BC，再根据过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，所以得到DAE三点共线，从而得到∠DAE为平角.如此一来，学生的推理不但符合逻辑，而且其思维的形成也相比教材中呈现的思路更为自然，问题解决的办法更有创造性.

数学教学过程中，学生的创新往往来源于学生不经意的、教师预设之外的一个联想，教师要珍视学生不同寻常的想法，注重学生表达出的思维过程，发现学生的思维创新点.

4.4 将合作学习引进课堂教学

教表达的最终目的是为了促进学生数学交流和数学思维的流动、交融，因此在实际教学过程中，教师可以借助合作学习模式促进学生的数学交流.合作学习是当前很受重视的一种学习形式，它主要指让学生在小组或小团队中开展学习，互相帮助，学习某些学科性材料.从认知理论的角度来看，合作学习可以促进学生对学习材料的意义建构，促进高水平的思维和学习活动，发展辩证思维能力.从社会认知角度来看，学生在合作学习过程中，看到同伴们的成功，会提高他们自身的自我效能感.当然，最为重要的是，学生在合作学习中有更多的、更深度的交流，相互之间的想法、思路都更加明确化和外显化，可以更好地对自己的理解和思维进行监控，对学习对象进行更完整的表征.可以说，合作学习在课堂教学这一大背景下，为学生的数学交流搭建了一个更为适合的平台，平台适当减小了，学生的表达空间却增大了.

在合作学习中，教师在学会放权的同时，也要培养学生学会沟通、合作的技能，学会分享学习成果、协调和处理分歧.最终为学生争取更广阔的交流空间和更高水平的思维活动，同时培养学生的合作精神.

4.5 合理融入信息技术

在“互联网+”时代，信息技术的广泛应用正在对数学教育产生深刻影响[13].在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要手段，它不仅为师生交流、生生交流搭建了平台，更将数学交流拓广到另一维度——人机交流.正是信息技术具有“思维可视化”的特点，教师在教学中可充分利用信息技术将问题解决的思维呈现出来，主动将数学思维以形象的方式表达给学生，使得抽象的数学模型变得直观化，利于学生从形象思维和直觉思维过渡到逻辑思维；也可让学生通过动手操作、主动探究，将自己的思考在信息技术平台上进行实践探索、分析验证，将自己的数学表达呈现给平台，让它通过“自己的丰富的思考”再回应给学生，培养学生发现问题和提出问题的能力.传统教学中，有些抽象的数学问题教师难以通过语言或是教具进行直观表达，学生对自己的某些思考也处于“只可意会，不可言传”的朦胧状态，借助信息技术平台，可以弥补这一缺陷.

例如，在中学数学教学中，教师既可用计算机展示函数图象、几何图形运动变化过程，让学生在图象分析、图形运动中进行猜想、归纳，抽象出数学本质，用数学的眼光观察世界；也可发挥学生的主观能动性，利用计算机进行大规模的计算、探究算法，或是利用计算机获取数据，绘制统计图表，使学生能更充分、完整地进行数学建模，用数学的语言表达世界.

5 结束语

教表达，不应仅成为学生认知与新知之间、教学知识结构之间的一种“搭台阶”的作用，也不应仅将其看成一种锻炼学生表达能力的作用.而应以发展学生能力为目标，以提升学生数学思维为初衷，着力认识“教表达”的思维意蕴.在数学课堂教学中，教师应注重教表达对学生数学思维的促进作用，把话语权交给学生，鼓励学生思考与表达，抓住有价值的表达进行引导，对未经适当思考的回答进行追问，调动学生思考的积极性.注重以合作交流的形式，培养学生辩证思维能力，适当融入信息技术，在人机交流中培养学生积极探索、发现问题的创造与实践能力.