数学写作融入初中数学教学的实验研究

2019-11-16

数学教育学报 2019年5期

关键词：实验班直线评价

（1.信阳师范学院教师教育学院，河南信阳 464000；2.周口中英文学校，河南周口 466001；3.周口师范学院数学与统计学院，河南周口 466001）

1 研究基础

国内外很多数学教师和教育研究者对数学写作及其教育功能进行了理论探索和实践研究.其中，国内数学写作的研究主要侧重于数学日记；国外数学写作的研究，在内容和形式上，显得丰富多样.此外，数学写作的教育功能及其实证研究为该研究奠定了理论基础.

1.1 文献综述

1.1.1 数学写作的内涵与外延

20世纪60年代，美国教育界关注到写作与学习的密切关系，诞生了“贯穿课程”的写作[1].正如Zinsser所说：“写作是让你自己融入这个学科，并把学科知识内化成你自己的知识的途径.”[2]数学活动中，“写作学习”（writing-to-learn）是在一定的知识储备下，对已有的数学信息分析、比较、内化和综合，从而产生想法和感受，并用文字表达出来的学习过程[3].简要地说，数学写作是以写作的方式，展现学生学习过程的数学活动，“以‘写作的活动’来带动数学的学习”[4].数学写作的内容和形式多样，以文体、功能、内容、形式和思维水平等为标准，可分为不同种类.比如，根据数学写作的内容，分为写数学日记或日志；描述问题解决的思维过程；解释数学概念和原理.

1.1.2 数学写作的价值

作为一种学习活动，数学写作不是将知识看作事实、程序与观念的简单组合，而是帮助学生建立已有知识经验与新知识的联结，促进知识的深度理解.数学写作既可作为过程性评价的方式，评价学生的“数学交流、数学思考、数学情感以及个性发展方面”[5]，诊断学生的错误理解，改进教师的教学策略；又可作为学习的方式[3，6]，在学生主动学习的过程中，增长理解、表达和应用能力.

1.1.3 数学写作的应用与实验

在数学写作方面，美国数学教师结合具体的教学内容，进行应用的尝试和探索，印证了数学写作对于数学教学的重要价值[7-8]；在数学写作任务的开发[9]和呈现[10-11]，写作方式的多样化[12]等方面，积累了经验和方法.一些数学教育家开展数学写作的实验研究，证明了数学写作有促进学生的深度学习[13]，以及评价、诊断和改进教学的价值[14].

综上所述，数学写作是引导学生将数学理解、解题回顾和方法反思，用自己的语言形成文字表达，为数学思维和交流创造机会，反馈学习和成长进程，促进深度学习的活动.以语言与思维的关系为理论基础，数学写作与数学学习的关系是：知识经验的关联中，深入理解核心概念，形成结构化知识；思想方法的反思中，提高数学思维能力，培养质疑批判精神；真情的自然流露中，沟通师生间的感情，形成正确的价值观念.因此，数学写作具备两项教育功能，体现了教学与评价的统整：数学写作是评价学生数学学习的手段；数学写作是促进学生数学学习的途径.与国外研究相比，国内研究缺乏系统性，数学写作教学价值的审视和实现，均缺乏实证研究的数据支撑.相关文献为实验研究中写作任务的开发、呈现，以及研究方法、工具的选择提供了启示和借鉴.

1.2 问题提出

数学语言既是数学学习的目标，又是数学学习的媒介，理解和表达数学语言的能力，在一定程度上制约着学生数学素养的发展.在倡导国家通用语（以下简称国语）教学的背景下，制约少数民族学生数学学习的语言因素凸显出来.写作在提升学习者语言表达能力的同时，有助于知识纳入其已有的认知图式，促进学习的纵深发展.那么，数学写作活动能否成为提高教学质量的有效路径？在文献综述的基础上，开展少数民族初中生数学写作教学的实验研究，对于数学写作教学理论的发展和数学教学实践都有积极的意义.就数学学科教学而言，应明确数学写作的内涵与价值，分析数学写作与数学学习的关系，思考数学写作融入课堂教学的策略.这里以少数民族初中生为研究对象，基本假设是：数学写作鼓励学生用自己的话（指国语）表达所学内容，为学生提供了畅所欲言的平台.通过数学写作的方式：（1）实验班学生的数学写作水平得到显著提高；（2）实验班学生的数学成绩高于对照班学生；（3）数学写作对实验班学生数学学习的情感态度产生积极影响.

1.3 研究框架

研究框架是研究设计的依据.首先，基于文献综述，确立研究的理论基础，包括数学写作的内涵、外延与价值；其次，根据数学写作应用的探索，提出数学写作教学的理论假设；再次，制定实验方案.实施过程中，充分调动任课教师行动研究的积极性，解决少数民族初中生数学写作的问题中总结经验，作为实验的有益补充；最后，提出数学写作融入初中数学教学的策略.研究框架如图1所示.

图1 研究框架

2 研究方法

研究采用实验、调查和行动研究的方法.实验法是在两个或多个变量之间建立因果关系的最有效的定量研究方法.首先，基于相关性和因果—比较，建立变量间因果关系的假设；其次，选择单一变量实验，控制单个因素处理，观察该控制对多个变量的作用；最后，确定所观察到的关系是否构成因果关系.实验中，受控制的自变量为：教学中是否融入数学写作.为确定实验处理效果而测量的因变量为：学生的数学写作成绩和数学考试成绩.学生的数学写作成绩采用评价量表，对学生完成数学写作任务的表现进行评分.将实验班学生前两次数学写作成绩均值作为前测数据，后两次数学写作成绩均值作为后测数据.相应地，将控制班学生前后数学写作测试成绩的均值作为前测和后测成绩.比较实验班和控制班前后测发生变化的大小，确定实验处理的归因.数学考试成绩将实验班和控制班学生初中二年级下学期的数学期末考试成绩作为前测数据，初中三年级上学期的数学期末考试成绩作为后测数据.问卷调查和课后访谈是实验的辅助方法，关注师生对数学写作活动的情感态度和总结反思.行动研究方法用于完善实验操作的进程.

2.1 研究对象

研究对象来源于新疆喀什市××学校的九年级应届毕业班学生.为严格控制内外部效度可能产生的负面影响，尽量消除其它无关变量的影响.从九年级平行班里选取一名民考汉的维吾尔族教师，将其所教的一个班级作为控制班，另一个班级作为实验班.这位教师的国语表达能力较强，从七年级开始代这两个班级的数学课.据教师反映，两个班级的总体水平相当，甚至控制班的学生参与课堂活动更为活跃一些.两个班级最近两次期末考试的成绩，并没有显著差异.研究人员与教师、教务处及时沟通，并对教师进行数学写作理论、操作程序及注意事项的培训，取得实验班学生的积极配合.样本容量共计117人，其中实验班58人，控制班59人.该样本的性别与家庭基本状况如表1.

表1 样本的性别与家庭基本状况

2.2 研究工具

研究工具包括自行编制的“数学写作对数学学习影响的调查问卷”（见附录）和“数学写作的评价量表”（如表2）.关于数学写作的评价方法，国内外制定出多种多样的评分标准.这里采用的数学写作评价表，借鉴国内学者綦春霞编制的数学日记评价表.根据研究的实际需要，对该评价表做出一些改进，重点关注对写作内容的评价.既是实验处理效果的评价工具，也是实验过程对学生数学写作作业评分、反馈的工具.

表2涉及数学写作内容的8个维度，在关注知识技能掌握的基础上，建构以重要概念和思想为核心的认知结构，建立新知识与学生已有知识经验的关联；问题解决的过程中，选择和运用多种表征方式，用自己的语言（国语）阐释理解和思维过程.结合不同层次的具体描述，将每个维度划分为优、中、差3个水平，为测评学生的数学写作提供了评价标准，使教师对学生学习的评价有据可依.由两名研究者共同完成评阅学生数学写作作业的任务.评阅前期，两名研究者随机挑选若干份学生的数学写作作业独立批改，收集与整理批改的数据后，利用SPSS22.0统计软件对数据进行差异性检验，结果为：t=-0.557，P=0.591＞0.05.表明两名研究者评价的数据无显著性差异，即两名研究者评价的一致性较高.因此，数学写作作业的评价任务由两名研究者共同完成，保证了评价的信度.

表2 数学写作评价

2.3 数据收集与处理

数学写作融入初中数学教学的策略，需要在实践中检验和完善.在初中数学教学的自然和实验的两种环境下，控制班按常规教学进行，实验班融入数学写作教学.研究采用质性研究与量性研究相结合的实验方法，分析数学写作理论指导下的教例，结合学生学习结果定量的比对，评价和验证其有效性，发掘和完善其有效操作.

2.3.1 质化数据

运用课堂数学写作活动录像的方式，观察记录实验班的教学过程.描述、解释和分析教师采用数学写作活动的教例.从数学写作应用于课堂教学的具体操作，以及学生相应的学习情况中，归纳出促进学生深度学习的合理性操作策略.

2.3.2 量化数据

根据研究需要，收集的量化数据包括：学生数学考试成绩；学生数学写作的成绩；学生问卷数据.实验启动前，研究者收集了实验班和控制班全体学生进入初中三年级时的考试成绩，将其作为前测成绩.为期20周的数学写作实验中，每周让学生完成1～2次指定的数学写作任务.研究者收集与整理实验班学生每次的数学写作成绩，为检验学生数学写作水平的变化做准备.一学期的实验结束后，研究者收集实验班和控制班全体学生的期末考试成绩，将其作为后测数据，进行实验班与控制班的对比.此外，为全面了解该次数学写作教学实验的效果，研究者以问卷形式调查了数学写作对实验班学生的数学情感态度的影响，并对数据进行整理、对比与分析.调查采用当场发放、回收的方式，问卷一共发放58份，收回有效问卷56份，有效回收率为96.6%.数据处理中，研究者主要采用SPSS22.0进行数据的统计分析和t检验处理.

3 研究过程与结果

3.1 研究过程

数学写作教学实验过程包括以下几个环节（如图2）.

第一，尝试开发多样化的写作任务，以不同的方式、从不同的侧面关注学生的数学学习，每一类任务都可以提供有用的信息来评估学生学习的进步；第二，呈现数学写作任务时，明确数学写作的要求、评价标准，以提示语鼓励和引导学生独立完成数学写作；第三，评价学生数学写作作业的目的：了解学生的学习情况，改进教师的教学和鼓励学生的进步；第四，为全面把握学生的数学写作情况，研究者对每次数学写作情况做出详细总结.

图2 数学写作教学实验流程

3.1.1 数学写作任务的开发

写数学日记或日志，是学生以日记或日志的方式记录下他们对数学知识的理解、评价与意见，包括在数学学习中的真实心态和想法.此类数学写作题目比较开放，学生可选的数学素材较为丰富，可以展示学生的学习过程，还可以表现学生的个性特点.教师根据写作的反馈，制定出切实可行的教学方案，有效地指导学生的学习.比如：

（1）你在课堂上做了什么，你学到了什么？

（2）你不确定的是什么？或者疑惑的是什么？或者由此你想到了什么？

（3）通过本周学习，描述对你来说什么是容易的？什么是困难的？

（4）谈谈你本学期的收获.

写解决数学问题的过程，是学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识，采用新的策略和方法，寻求问题解决的活动过程.此类数学写作题目采用开放性和探究性的问题，需要学生综合应用多种知识和方法寻求问题的解决方案.开展这类题目的数学写作，教师可以了解学生的思维特点与水平，为因材施教提供必要的前提条件.比如：

（1）如何确定圆心的位置？

（2）剪白铁皮的奥秘.用3张同样大小的正方形白铁皮（边长是1.8 m），分别按下面3种方式剪出不同规格圆片.

剪完圆后，哪张白铁皮剩下的废料多些？根据以上的计算，你发现了什么？你的发现是正确的吗，为什么？

解释数学概念和原理，是学生运用自然语言（国语）与数学语言相结合的方式，描述概念的内涵与外延，对概念的形成过程做出生动详细地刻画，阐述原理论证的依据和成立条件，达到全面掌握数学概念和原理的学习目标.比如：

（1）请用自己的话解释什么是圆心角和圆周角，以及它们之间的关系；

（2）请你解释圆周角定理，它是怎么证明的？我从中学到了什么？可以利用它解决哪些类型的问题？

总之，研究选择和编制数学写作任务，遵循以下原则：

（1）数学写作任务须从教学实践中来，紧密结合教学内容；

（2）数学写作任务具有针对性，在不同的学习阶段开发相应的写作任务；

（3）数学写作任务具有开放性，能激发学生的兴趣，让不同层次水平的学生，有信心、有能力从不同的角度表达自己的想法.

3.1.2 数学写作任务的呈现

数学写作任务的呈现，必须精炼、简洁和易懂，避免造成理解上的障碍.在明确写作要求和评价标准的基础上，用提示语调动学生数学写作的发散思维.

（1）写作要求：每个人都有自己的想法，请同学们尝试着用自己的语言表达数学写作内容，切忌抄袭其他同学的数学写作作业；

（2）评价标准：a.能够记录重要的知识；b.能够将知识点与已学过的相关知识、生活经验以及其它学科相联系；c.写作中尝试使用图表、图像、符号和文字等多种表达方式；d.能够清晰、流畅、自然地表达数学写作内容.

（3）提示语：写作不是对照着书本罗列更多的知识点，而是在作品里表达不一样的“你”，写出你的所思、所想和所感，这样的数学写作作业才是最优秀的.

3.1.3 数学写作作业的反馈

对学生递交的数学写作作业，采用“等级+评语”的方式进行指导性评价.在等级评定上，为保证评价的客观性，研究者严格按照“数学写作评价量表”中的评价标准，列表呈现学生作业在各维度的成绩以及总成绩.评语撰写上，鼓励和引导学生创造出更优秀的数学写作作品，表扬学生数学写作作业中的优点，指出其中的缺点和不足，使学生明确今后努力的方向.数学写作情况从两方面向教师反馈，以有效地指导学生的学习.一是，对全体学生的数学写作整体情况分类，做到宏观了解；二是，列出学生在数学写作中出现或提出的具有代表性的问题，做到微观把握.评价的重点不是作业“怎么写”，即用词、语句和段落，而是“写的什么”，即涉及的数学内容和多元数学表征.比如，“剪白铁皮的奥秘”问题，学生数学写作作业的成绩与详细情况见表3.

表3 数学写作作业成绩

数学写作作业的情况：

① 多名学生在计算时漏写长度单位及面积单位，如：苏比伊努尔·艾则孜，肉斯坦江·吾斯曼，阿布都合力克等；

② 有几名学生只写了结论，未写出计算或思考过程，如：阿拉法提，希尔艾力等；

③ 大多数同学未能做到从特殊到一般的归纳推理，即

证明：设正方形边长为a，圆的个数为n，

每个圆的半径为?

正方形的面积=a2，

④ 古丽孜巴·吐逊江和艾斯玛·如孜同学在这次数学日记中对自己的发现进行了证明，写出了问题的一般性推导式，思路清晰，非常棒，提出表扬，鼓励同学们向两位同学学习，攻克证明这个难关；

⑤ 抄袭现象依然存在，比如：有两位同学的日记内容一模一样；

⑥ 多名同学反映函数相关内容比较难，希望老师能够给予帮助.

3.1.4 教师行动的3个阶段

第一阶段：任课教师被动配合的阶段.实验开始，与任课教师沟通，使其了解开展数学写作活动的意义.然而，教师仍存在两方面的疑虑：一是，数学写作能否促进学生的数学学习；二是，除了完成传统的数学作业，数学写作作业是否会产生更多教学和学习的负担.面对任课教师的疑问，实验初期的数学写作任务由高校数学课程与教学论教师拟定，由任课教师每周1～2次布置给学生，两名数学学科教学的硕士研究生负责作业的评阅和情况反馈.再由任课教师根据作业反馈情况，总结和讲评数学写作作业.该阶段，从数学写作任务的开发，到作业的评价和反馈，任课教师只是督促学生完成作业，处于较为被动的参与状态.

第二阶段：参与写作任务开发的阶段.针对数学写作作业中学生们提出的问题，两位硕士研究生总是想方设法地满足其需求.对此，任课教师代表学生，对写作作业的评阅工作表达了谢意.实验中期，任课教师发现学生数学学习的积极性有明显提高，产生了用数学写作任务有针对性地了解学生学习情况的意愿.于是，提出参与数学写作任务的开发.先自行选编数学写作任务，与研究成员商讨后布置给学生.比如，任课教师开发的数学写作任务：“圆周角定理是怎么证明的，运用了什么数学思想方法？”

第三阶段：课堂即兴写作阶段.数学写作为学生探索、扩展、巩固和反思所学的数学知识，提供了一种方法.实验后期，任课教师在课堂上给学生布置写作任务：解释数学思维过程和写学习过程.学生解释自己的解答以及对数学概念的理解，训练了数学表达能力.比如，学习了“三角形与圆的位置关系”后，学生出现“内接、内切、外接、外切”表达不清的问题.教师课堂布置写作任务：“作图说明圆的内接三角形、三角形的内切圆、圆的外切三角形、三角形的外接圆，有什么区别和联系？”帮助学生理清圆与三角形位置关系的几种表述.

3.2 研究结果

3.2.1 质性分析

从课堂即时写作活动的纪录，以及课后教师和学生的总结反思，及时了解数学写作活动的效果.课后访谈主要引导师生的总结与反思.教师访谈的问题，如：课堂数学写作活动过程中，你最满意的是什么？哪些地方不满意？数学写作活动中，你发现了什么问题，有什么解决办法？学生访谈的问题，如：课堂数学写作活动中，你有什么想法和收获？数学写作活动最吸引你的地方是什么？最不感兴趣的地方是什么？以下是实验班“直线与圆的位置关系”课堂教学观察录像片断和课后师生访谈分析，是数学写作融入课堂教学有代表性的教例.

【教师】下面我们讨论直线和圆的位置关系？请大家结合小学点和直线的位置关系、直线和直线的位置关系，以及刚学过的点和圆的位置关系，先在自己的练习本上写一写：这些图形之间的位置关系是如何确定的？你能从前面的学习中获得什么启发？给大家十分钟的时间，写好后小组内交流，再请小组代表发言.现在开始.

（教师在巡视中检查一些学生的数学写作）

【学生1】直线与直线有3种位置关系，分别是：平行、垂直和相交.点和圆的位置关系有，点在圆外，点在圆上，点在圆内.

【学生2】直线和圆的位置关系让我想到，太阳从地平线升起时，将太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，得出圆和直线的位置关系.直线和圆有3种位置关系，分别是：相离、相切和相交.

【学生3】生活中的实际例子来说明.比如：饭桌上馕与筷子的位置关系.当筷子在馕上时，馕与筷子的位置关系时相交；当筷子在馕的边缘时，馕与筷子的位置关系是相切；当筷子在馕外时，馕与筷子的位置关系是相离.

…………

小组代表发言中，学生们认同直线与直线的位置关系有平行、垂直和相交3种.能用数学术语正确地表述点和直线的位置关系、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系；用数学符号正确地表述相应的关系.但没有学生从这些图形关系的讨论中总结出分类的思想方法，并应用于直线和圆的位置关系的讨论.即便有学生预习中知道了直线和圆的位置关系，并罗列出来，也说不出其中的道理.

【教师】其实，讨论这些图形之间的位置关系，需要运用分类的思想方法.分类是根据对象的某一属性特征，把事物不重不漏地划分为若干类别，遵循：明确分类对象的集合；每一次分类的标准是同一的；分类必须是完整的，不出现遗漏；所分的各类别之间不能有交叉重叠.现在，大家看看前面讨论的图形间的位置关系，是如何选取标准进行分类的？

【学生4】直线和圆的位置关系是以直线和圆的交点的个数为标准分类，当直线和圆有0个交点时，相离；当直线和圆有1个交点时，相切；当直线和圆有2个交点时，相交.

【教师】直线和直线的位置关系是以什么为标准分类的呢？

【学生5】两条直线交点的个数.当两条直线有2个或2个以上交点时，重合；当两条直线有1个交点时，相交；当两条直线有0个交点时，平行.

【教师】那么，大家公认的两条直线位置关系中的垂直是怎么回事？是我们选取的分类标准有问题吗？

【学生6】我知道了，垂直是两条直线只有1个交点，是两直线相交的特殊例子.它特殊在：当两直线相交，所成的角是90°时，我们说这两条直线互相垂直.所以说，两直线的位置关系只有两种，就是平行和相交.

【教师】分类的思想方法是数学常用的方法，当被研究的问题包含多种可能的情况，人们不能对它一概而论的时候，就需要按照问题出现的所有的情况讨论，综合每种情况下相应的结论，从而使问题得以解决.除了讨论以上这些图形的位置关系用到分类思想，很多知识也用到了分类思想，比如三角形的分类.课后的数学写作作业中，你们想想还有哪些学过的知识中用到了分类？弄清楚了分类的思想方法，下面我们来讨论直线和圆的位置关系.

（教师引导学生画一个圆，通过移动直线的位置，讨论直线和圆的位置关系.）

【教师访谈】从学生对“直线和直线的位置关系”的分类中，可以看到学生没有掌握分类的思想，错误理解了一般与特殊的关系.有些学生进行了新课的预习，但仅局限于知识点的记忆和简单罗列，并没有理解和掌握方法，甚至不清楚如何将自然语言转化为符号语言.有些学生的学习还处于实物直观阶段，没有做到合理的抽象.除了帮助学生领悟分类的思想，发展学生的言语表征、图示表征和符号表征也很重要.

【学生访谈】这节课我认识到小学数学学习与初中数学学习的联系，分类的思想方法能够使我们的思维变得清晰.一直以为“直线和直线的位置关系”有3种，从来没有意识到“垂直”是“相交”的特例.数学除了用生活中的实例表述，还能用语言和符号表达得更加清晰和有序.这样我不用背“点和圆的位置关系”了，想想两个图形的相对运动和分类标准就可以了.后面还要讨论“圆和圆的位置关系”，我要好好试一试.

【分析】课堂教学中的数学写作，可以在小组合作讨论前调动每个学生的思维参与.学生错误认知的表露、对知识点简单的罗列，帮助教师了解学生已有的知识经验.数学写作任务中“点和直线的位置关系”“直线和直线的位置关系”“点和圆的位置关系”的联结，帮助学生体会分类的数学思想方法，使教学建立在学生已有经验的基础上，帮助学生知其然又知其所以然，进而走向思想方法渗透的深度.

3.2.2 量性分析

（1）实验班与控制班学生数学写作成绩的对比.

为了解实验班学生的数学写作水平是否得到了提高，研究者将实验班学生前两次数学写作成绩均值作为数学写作成绩的前测数据，将实验班学生后两次数学写作成绩均值作为数学写作成绩的后测数据.对数学写作成绩的前后测数据用SPSS22.0做配对样本的均值t检验，结果如表4所示.

表4 实验班学生数学写作成绩前后测差异性对比分析

实验班数学写作前测成绩均值为2.84，后测成绩均值为3.60，其中t=-7.883，P=0.000＜0.05，表明数学写作的后测成绩显著地高于前测成绩.因此，经过数学写作融入教学的实验后，学生的数学写作水平得到了显著性提高.为明确实验班学生数学写作水平提高效果的归因，将控制班的前后测数据采用SPSS22.0做配对样本的均值t检验，结果如表5所示.

表5 控制班数学写作成绩前后测差异性对比分析

控制班数学写作前测成绩均值为2.85，后测成绩均值为2.83，其中t=0.173，P=0.864＞0.05，表明控制班数学写作前后测成绩之间无显著性差异，说明实验班数学写作水平的显著性提高是实验处理的结果.

（2）实验班与控制班学生数学成绩的对比.

数学写作对学生的数学成绩是否会有影响？为回答这个问题，研究者将实验班和控制班学生初中二年级下学期的数学期末考试成绩作为前测数据，将实验班和控制班学生在初中三年级上学期的数学期末考试成绩作为后测数据.对这两组数据，用SPSS22.0分别做独立样本的均值t检验.结果如表6所示.

表6 实验班和控制班前测成绩的对比

控制班前测数学成绩均值为68.19，实验班前测数学成绩均值为67.69，虽然两个班的前测数学成绩略有差异，但t=0.09，P=0.928＞0.05，故认为这种差异是不显著的，表明实验前实验班和控制班的数学基础水平没有差异.

如表7，实验班后测数学成绩均值78.35明显高于控制班后测数学成绩均值71.24，其中t=-2.376，P=0.019＜0.05，故认为这种差异是比较显著的.表明数学写作活动的介入，有助于提高学生的数学成绩.

表7 实验和控制班后测数学成绩的对比

（3）数学写作对学生学习情感态度的影响.

学生在数学学习中形成积极的情感态度，是数学学科素养培育的高阶水平目标.那么，数学写作融入教学，对少数民族初中生数学学习的情感和态度会产生什么样的影响？问卷调查结果显示，经过一个学期的数学写作教学，高达67.9%的学生表示很喜欢数学写作，25.0%的学生对数学写作有一点好感，只有7.1%的学生不喜欢数学写作.学生喜欢数学写作的原因依次为：数学写作能提高学生的数学成绩；数学写作能促进师生间的交流；数学写作丰富了学习评价的方式；数学写作减轻了学生繁重的习题负担.极少数学生厌恶数学，不喜欢数学写作；个别学生认为数学写作会花费大量时间，不喜欢数学写作；还有个别学生因不喜欢动笔，不喜欢数学写作.开展数学写作后，44.6%的学生更喜欢数学；37.5%的学生开始喜欢数学；只有1.8%的学生仍不喜欢数学；另有16.1%的学生说不清楚对学习数学的兴趣是否有变化.可见，开展数学写作活动受到少数民族学生欢迎，大多数学生愿意运用数学写作辅助学习，充实他们的学习生活.

4 讨论与研究结论

比较、分析该研究与以往研究，讨论它们的区别与联系.解释研究结果产生的原因，说明存在的局限与改进.

4.1 讨论

4.1.1 与以往研究的区别与联系

该研究建立在已有研究结果的基础上，以数学写作活动为切入点，探索如何改进初中数学教学，通过实验研究证实

了数学写作促进少数民族学生数学学习的价值假设.与已有研究相比，进一步明确了数学写作的内涵和外延.该研究提出了数学写作有机地融入初中数学教学（如图3），“融入”体现在：数学写作是评价学生学习成果和对学生已有知识技能、能力预评估的工具；是推进课堂教学的活动方式.充分发挥数学写作的两个功能，使教学联系学生已有的知识经验，在教学中发展学生的自我监督和反思能力，促进师生间的对话和情感交流.

图3 数学写作融入初中数学教学路径

4.1.2 实验结果产生的原因分析

纵观实验过程，总结出数学写作融入初中数学教学的3条策略.

第一，引导策略.开展数学写作活动初期，为消除学生对数学写作的陌生感，教师需做一些引导性工作.此外，写作必须是渐进的，应该从简单、短小集中的任务开始，逐渐发展为更具挑战性，需要分析、综合和创新思维的任务.

第二，激励策略.布置数学写作任务时，应明确写作作业的要求和评价的标准；评价学生的数学写作作业时，鼓励学生开放、发散的思维，充满自信的独立表达.评价要从多个角度挖掘学生作业中的“闪光点”，利用激励性、富含感情的语言呈现评语.课堂上，教师表扬一些学生的优秀习作.

第三，总结策略.教师要对数学写作做出总结，宏观了解班级的整体情况，微观把握学生数学学习中有代表性的问题.归纳和总结认知的盲点，在课堂上着重讲解或进行个别辅导.教师反思数学写作活动的各个环节，学生反思自己数学写作的表现，对数学写作活动提出建议.

4.1.3 研究的局限与改进

受任课教师专业素质、课堂管理能力和对数学写作理论理解深度的影响，以及实验时间和精力的限制，该研究存在以下局限.

第一，课堂教学融入数学写作的实验中，缺乏学生先期讨论的介入.其实，学生发现有机会谈论他们的想法，可使他们产生以书面形式解释的想法.班级和小团体内的讨论，会提示更多的学生写出他们听到的任何有意义的、可解释的想法.

第二，数学写作对知识学习的影响，不只体现在提高学生的数学成绩.学生数学考试成绩的提高，从一个侧面证实了数学写作对学生数学学习的影响.数学学科素养目标下，还要求学生具备综合应用知识，解答现实情境中的非常规数学问题的多种数学能力.

为突破研究的局限，未来研究方向包括：一是，从小学或初中低年级实施数学写作融入教学的实验，关照“讨论”在完成数学写作任务中的作用.让学生在写作前讨论他们的想法，以小组的方式分享他们的观点.二是，从活动内容、方式和结果维度，编制课堂观察的量表，总结教学实验的特征和规律；依据课程标准编制数学能力表现测试卷，验证数学写作融入教学的能力培养价值，探索数学写作培养学生关键能力的方法.

4.2 研究结论

第一，实验和调查数据证实了数学写作促进少数民族学生数学学习的价值假设.数学写作融入教学提升了实验班学生的数学写作水平；提高了实验班学生的数学成绩；对实验班学生数学学习的情感态度产生积极影响.第二，进一步明确了数学写作的内涵与价值，分析了数学写作与数学学习的关系.总结出数学写作融入初中数学教学的路径，以及数学写作活动有效融入初中数学教学的策略.

附录：数学写作对数学学习影响的调查问卷

亲爱的同学，你好！

为了了解你对数学写作的态度以及数学写作对你的数学学习的影响，请你根据自己的实际情况如实填写以下问题，谢谢配合！

注：以下题目中，除了特别注明“可以多选”的题目外，其余题目均属于单项选择题.

1.你对数学写作的态度是？（）

A.很喜欢 B.有一点好感 C.不喜欢 D.无所谓

2.对于下面的2a与2b两题，喜欢数学写作的请做第2a题；不喜欢的请做第2b题

2a.喜欢数学写作的主要原因是？（）

A.能提高我的数学考试成绩 B.减少了繁重的数学习题

C.提供了和老师心灵交流的通道 D.考试成绩不再是评价学习的唯一标准

2b.不喜欢数学写作的主要原因是？（）

A.花费了大量时间 B.不喜欢动笔 C.提高考试成绩不如多做几道题有效 D.不喜欢数学