重关联，明变化，找分别——浅析二次函数不同解析式的联系与区别

☉江苏省无锡市第一女子中学初中部 项 菲

二次函数的解析式是研究二次函数问题的基础，在教学过程中，学生往往对三种不同形式的解析式的表示方法应用自如，而对它们之间的联系与区别不能做到十分明晰，尤其是如何进行推演的过程更是一知半解，从而出现孤立记忆的情形.因此，教师有必要让学生从本源上来认识和理解三者之间的区别与联系，真正做到对二次函数知识的全面掌握.为了清楚地说明这些问题，不妨先借助函数图像，从最基本的问题谈起：

问题1：函数y=ax2与y=x2的图像之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2、y=、y=-2x2的图像，通过这些函数图像与函数y=x2的图像之间的关系，推导出函数y=ax2与y=x2的图像之间所存在的关系.先画出函数y=x2、y=2x2的图像.列表：

表1

从表1中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了.

再描点、连线，就分别得到了函数y=x2、y=2x2的图像（如图1所示），我们可以得到这两个函数图像之间的关系：函数y=2x2的图像可以由函数y=x2的图像各点的纵坐标变为原来的两倍得到.

图1

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y=ax2（a≠0）的图像可以由y=x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax2（a≠0）中，二次项系数a决定了图像的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.

问题2：函数y=a（x+h）2+k与y=ax2的图像之间存在怎样的关系？

同样地，利用几个特殊的函数图像之间的关系来研究它们之间的关系.可以作出函数y=2（x+1）2+1与y=2x2的图像（如图2所示），从函数的图像不难发现，只要把函数y=2x2的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，就可以得到函数y=2（x+1）2+1的图像.这两个函数图像之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3x2、y=-3（x-1）2+1的图像，研究它们图像之间的相互关系.

图2

通过上面的研究，可以得到以下结论：

二次函数y=a（x+h）2+k（a≠0）中，a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.

利用上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的方法：

所以，y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以看作将函数y=ax2的图像作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）具有下列性质：

（1）当a＞0时，函数y=ax2+bx+c的图像开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大；当时，函数取最小值

（2）当a＜0时，函数y=ax2+bx+c的图像开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小；当时，函数取最大值

图3

图4

上述二次函数的性质可以分别通过图3和图4直观地表示出来.

有了以上的演变过程，二次函数的两种基本解析式形式之间的关联和演变已经非常明晰了，下面先写出这两种二次函数解析式的形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；

（2）顶点式：y=a（x+h）2+k（a≠0），其中顶点坐标是（-h，k）.

除了上述两种表示方法，还可以用交点式的形式来表示.为了研究交点式的表示方式，我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点个数.

当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交时，其函数值为0，于是有ax2+bx+c=0 ①.

并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标（纵坐标为0），于是，不难发现，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关，由此可知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立.

（2）当Δ=0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有一个交点，则Δ=0也成立.

（3）当Δ＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有交点，则Δ＜0也成立.

于是，若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以

由上面的推导过程可以得到下面的结论：

若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则其函数关系式可以表示为y=a（x-x1）（xx2）（a≠0）.

这样，也就得到了表示二次函数的第三种表示方法：

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），x1、x2是二次函数的图像与x轴的交点的横坐标.

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.下面不妨看两道例题：

例1已知二次函数的图像过点（-3，0）、（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式.

解法1：由二次函数的图像过点（-3，0）、（1，0），可设二次函数为y=a（x+3）（x-1）（a≠0）.

展开得y=ax2+2ax-3a.

由于二次函数图像的顶点到x轴的距离为2，则|-4a|=2，即

解法2：由二次函数的图像过点（-3，0）、（1，0），得其对称轴为直线x=-1.

由顶点到x轴的距离为2，得顶点的纵坐标为2或-2.

于是可设二次函数为y=a（x+1）2+2，或y=a（x+1）2-2.

由于函数图像过点（1，0），则0=a（1+1）2+2，或0=a（1+1）2-2.

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.

例2二次函数的图像过点（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），求此二次函数的表达式.

解：设该二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0）.

由函数图像过点（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），可得：

解得a=-2，b=12，c=-8.

则所求的二次函数为y=-2x2+12x-8.

通过上面两个例题，不妨归纳一下：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

在解题时，根据题目的已知条件，求解二次函数的解析式，需要遵循简便、易行的方式，灵活地选取方法，一般遵循以下原则：

（1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示；

（2）知道顶点的坐标时，常用顶点式来表示；

（3）如果知道图像与x轴的交点坐标，常用交点式来表示.

综上所述，上述三种情况要灵活运用才能更全面也更好地理解二次函数的解析式.W