步步为营，稳中求变——2019年济南市数学学考第27题赏析

☉山东省济南实验初级中学 赵圣柱

每年的学业水平测试不但承担着检测一个初三学生是否达到毕业标准的任务，而且有为高一级中学选拔优秀人才的双重使命.因此学业水平测试题目既要全面考查初中阶段应知应会的基础知识、基本技能和情感态度价值观，而且要考查学生是否会灵活运用数学知识在数学思想指引下解决基本问题，是整个命题团队集体教研、集体探讨形成的智慧结晶.因此，研究每一年的学考为初三的数学老师指明了教学方向.我今年又送了一届毕业班，有幸被选中参加了中考阅卷，在紧张的阅卷过程中看到数以万计的学生答题情况，和其他阅卷老师交流讨论学生的答题思路收获很大.下面就2019年济南市中考第27题的设计谈谈个人的感悟.

（2019年济南市中考第27题）原题如下：

已知：在如图1所示的直角坐标系中，抛物线C1∶y=ax2+bx经过点A（-4，0）、B（-1，3），将抛物线C1∶y=ax2+bx绕原点O转180度后得到C2.

（1）求抛物线C1的解析式和顶点G的坐标.

（2）点D是抛物线C1对称轴左侧的一个动点，设点D的横坐标为m，连接DO并延长交抛物线C2于点E，交过点A的直线于点M，若，求m的值.

（3）在（2）的条件下，若抛物线上存在点P使得∠PED=∠GAB，求点P的横坐标.

乍一看题目，济南师生感觉到变化很大：涉及了济南市没有考过的抛物线运动.但是通览全题就会发现这个题目依然体现了济南市命题的稳定性：第（1）问是常规的求抛物线的解析式和顶点的坐标；第（2）问考查了初中所学的中点、中位线、中心对称、相似等知识，把点D的坐标转化为点M的坐标，利用公共点M是直线DE和直线AM的交点这一特性达到求出m的目的，思路指向明确，很好地考查了学生灵活应用所学知识解决基本问题的能力；第（3）问是在第（2）问回答的基础上探究两个角相等前提下未知点P的坐标.这就打开了学生的思考空间，一般两个角相等就是寻找相似，苦于未知点P导致直线PE画不出，基本图形找不到而无从下手.个人感觉2019年济南市命题思路清晰，既体现了中考命题的持续稳定性，全面考查了学生的学习情况，又能在压轴题目中突破旧思路而不断创新，从知识点的全面考查，到数学思想的体现和应用数学解决问题实现情感态度价值观的经历中，很好地体现了初中数学的核心素养.下面从不同角度的解题思路分析如下：

第（1）问是很常规的基本运算的考查：

只要把A、B两点的坐标代入到y=ax2+bx，得到：轻松得到解析式：y=-x2-4x.再把点A与点O的坐标代入对称轴公式先求横坐标x=再求纵坐标；或者直接代入顶点公式，求得点G（-2，4）.第（1）问是送分的题目，这就要求教师在讲解待定系数法确定二次函数解析式时要到位，务必使每个学生掌握用待定系数法确定解析式和二元一次方程组的求解，还要掌握顶点坐标公式，这是应知应会的基础知识，不允许出错.

第（2）问考查学生灵活应用知识的能力，粗略一看涉及了抛物线旋转、线段的倍数关系、与未知直线的交点等很多不相干的头绪.但是抽丝剥茧后就会发现完全可以转化为很基础的数学知识.也正因为如此，考生们仁者见仁智者见智，解题的方法较多.阅卷结束后反复回顾总结出常见的三种解题思路：

图1

图2

方法1：借助中点是最简单的思路.按照题目要求，一步步转化即可：如图2，因为抛物线旋转180°，就意味着点E、D关于原点中心对称.又因为，所以可以转化为OM=2OE，也相当于点E是线段OM的中点.因此设点D（m，-m2-4m）.那么，由中心对称得到点E（-m，m2+4m），进而得到点M（-2m，2m2+8m）.因为点M在过点A（-4，0）的直线上，确定直线为把点M的坐标代入，得到二次方程得到又因为点D在对称轴的左侧，所以m=-3.

方法2：通过方法1的分析，可以转化为利用位似图形的性质来解决，借助于图形放大或缩小时点的坐标的变化来实现.参看图2，相当于线段OM是OD的2倍.又因为点M与点D在原点O的异侧，所以点M的坐标是点D的坐标的-2倍，即：设点D（m，-m2-4m），那么得到点M的坐标（-m，2m2+8m）.然后把点M的坐标代入y=-中，得解得m2=-3，最终m=-3符合要求.

方法3：借助于三角形中位线或相似知识.分别过点E和M作x的垂线段EH与MN，会发现EH就是△OMN的中位线（或者且相似比为1∶2），设点D（m，-m2-4m），得到点E（-m，m2+4m）和M（-2m，2m2+8m），然后把点M的坐标代入中即可求出.

综观以上方法，涉及中点、中心对称、中位线、位似图形等最基本的知识点，学生灵活应用以上知识点，在直角坐标系里实现数形结合，把点M的坐标代入直线的解析式即可.尽管思路简单，但是由于学生计算能力差而算不对，符号正负弄不清楚，导致思路正确但计算过程错误.这就要求教师平时在教学中注意概念教学的严谨，在数形结合训练中特别关注用点的坐标表示边的长度时容易出错的符号问题，在数与式的计算中强化基本计算，使学生形成较强的基本运算能力，不能在运算中失分.

第（3）问是命题人为学有余力的学生呈现的压轴题目.题目设计巧妙，很灵活，有深度，很好地考查了学生的综合答题能力.因为这个题目给出了两个角相等，那就意味着构造三角形的相似是不二选择.

图3

图4

方法1：如图4，过点G、E分别作x轴的垂线段GF、EH，构造了一对相等角∠AFG=∠EHT=90°.容易发现∠BAF=∠OEH=45°，与已知条件∠PED=∠GAB，分别相加得到∠GAF=∠PEH，可得利用对应线段成比例求出HT=6，进而求出点T（-3，0），得到直线EP的解析式y=与抛物线C1∶y=-x2-4x联立，可以求出点P的横坐标x=

方法2：如图5，连接GB.易判断△AGB是直角三角形而且由题可知直线AB与直线DE相互垂直，因此∠ABG=∠EHI=90°.联立两条直线的解析式可以求出点H（-2，-2）由已知条件∠GAB=∠IEH，得到利用相似性质求得；然后过点H作HQ∥y轴，过点I作IQ∥x轴交于点Q，构造了一个等腰直角△IHQ，把点H（-2，-2）先向下平移个单位再向左平移个单位后得到点从而求出直线EI的解析式再与抛物线C1：y=-x2-4x联立，即可求得点P的横坐标x=

图5

图6

方法3：如图6，因为对顶角相等，所以∠AIF=∠EIH.又已知∠GAB=∠IED，所以不添加辅助线，照样存在所以∠AFI=∠EHI=90°，所以直线EP与直线AG相互垂直.易求得kAG=2，借助k1·k2=-1，得直线kPE=又因为点E（3，-3）已求出，从而得到直线EP的解析式再与抛物线C1∶y=-x2-4x联立，即可求得点P的横坐标x=

不管是第（2）问还是第（3）问，通过三种思路分析解答的过程不难看出，尽管此题增加了抛物线的旋转背景，但是仅仅起了干扰的作用.如何去伪存真挖出所需知识，如何添加辅助线构建出基本图形，如何在基本图形中找到有效数量关系，才是解决问题的根本途径.步步为营，稳重求变.这就是济南市中考第27题的命题原则，也恰恰是我们今后的教学要努力的方向.F