在解题中提高，在提高中升华*——以几何问题为例

☉江苏省南京师范大学苏州实验学校 施文军

一、问题现状

众所周知，几何是初中数学重点学习的内容.在历年各地的中考命题中有近50%的考题与几何相关.由此可见，其重要性毋庸置疑.在多年的教学中，学生普遍认为初中几何知识过于复杂，涉及的内容太多，考题变化多种多样，面对一道题时，不知如何作辅助线，找不到解题的切入点.

二、考查要点

结合笔者多年教学经验，发现在初一的时候我们几乎已经把初中几何所考的内容都学完了.面对这个问题，可能部分学生表示不认同.那么笔者的依据是什么？

实际上我们小学就学过几何，只不过那时我们学习的重点是几何图形的基本性质，如周长、面积等.到了初中，除了丰富几何基本性质，学习的重点则变成了在同一平面内几何图形的关系.但这些关系总的来说只有两种：

（1）边（线段）的关系，包括位置关系与数量关系.位置关系在初一的时候就学过了，只有垂直与平行两种.不仅初中，甚至高中也只有这两个关系会在考试中出现.边的数量关系考点也只有三种：相等，比例，以及利用数量关系求线段长.

（2）角的关系，只有数量关系及利用数量关系求角度这两种.

我们整整三年的初中数学，几何只考这几类问题.如下面两例及其解析过程.

例1如图1，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE.

图1

（1）求证：DA=DF；

分析：本题第（1）问证明两条边相等，即两条线段的数量关系；第（2）问，求平行四边形的面积，其实是寻找线段的数量关系.第（1）问的解答借助已知中的平行关系，从角的关系入手.第（2）问，通过挖掘题目中隐含的垂直关系，利用直角三角形中的三角函数和勾股定理来寻找边的数量关系.（具体过程略）

例2如图2，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，连接AC、BC、OP，AC与OP相交于点D.

（1）求证：∠B+∠CPO=90°；

分析：本题第（1）问考查的是角的数量关系，可从如下两种视角求解.

方法1：由已知条件可得PO⊥AC.

因为PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，所以OA⊥PA，PC=PA，∠PAC=∠PCA.∠CPO+∠PCA=90°.

因为AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠B+∠CAB=90°.而∠CAB+∠PAC=90°，所以∠B=∠PAC.

综上得∠B+∠CPO=90°.

图2

图3

方法2：连接OC，如图3.

因为PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，所以OC⊥PC，OA⊥PA，∠APC=2∠CPO.所以∠OCP=∠OAP=90°.

因为∠AOC+∠APC+∠OCP+∠OAP=360°，所以∠AOC+∠APC=180°.又因为∠AOC=2∠B，所以∠B+∠CPO=90°.

第（2）问求边的长度，可将其置于直角三角形中，利用三角函数及勾股定理求解.

如图4所示，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠BAC=90°.

因为∠ABC+∠CPO=90°，所以∠BAC=∠CPO=∠APO.

图4

三、策略探析

以线段相等为例，初一我们学习的方法是利用三角形全等来证明线段相等，初二补充了利用特殊图形（等腰三角形、平行四边形、构造辅助图形等）证明线段相等，初三学习函数之后又加入了解析法求线段长、证明线段相等.换句话说，我们所学的问题三年来并没有增加，一直都是这几类，而解题的思想方法每年都在增多.如：

例3 如图5，在Rt△ABD中，∠BAD为直角，AC⊥BD于点C，CD=CE，BF⊥AE的延长线于点F.

求证：AC=CF.

分析：结合已知条件中所给的垂直关系，构造辅助圆，可简洁证明.

图5

图6

证明：以AB的中点O为圆心、AB为直径构造圆，如图6所示.

可得∠CAD+∠CAB=90°，∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，则∠CAD=∠B.

因为CE=CD，所以AE=AD，∠CAE=∠CAD=∠B.又因为∠B=∠F，所以∠CAE=∠F.

所以AC=CF.

例4如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在⊙O的切线CM上取一点P，使得∠CPB=∠COA.

图7

（1）求证：PB是⊙O的切线；

分析：第（1）问，求证PB是⊙O的切线，可从寻找线段的位置关系入手.

证明：因为PC与⊙O相切于点C，所以OC⊥PC，∠OCP=90°.因为∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180°，所以∠BOC+∠CPB=180°.

证明：在四边形PBOC中，∠PBO=360°-∠CPB-∠BOC-∠PCO=90°，所以半径OB⊥PB，即PB是⊙O的切线.

分析：第（2）问求边的长度，既可以从边的关系入手，也可从角的关系入手.

方法1：连接OP，如图8.

因为PB、PC都是⊙O的切线，所以∠CPO=∠BPO，∠OCP=∠OBP，∠COP=∠BOP=60°.所以PB=OB·tan60°=6.

图8

图9

方法2：连接BC，如图9.

因为PB、PC都是⊙O的切线，所以PB=PC.

所以△PBC为等边三角形，所以PB=BC=6.

四、教学建议

笔者在教学中研究发现，大部分学生几何成绩不理想不是单纯的基础知识不好，而是不知道该从什么地方入手，不知道如何作辅助线.几何题的难点在于图形的变化和已知条件的隐蔽，问题往往都问得非常直接，这就可以成为我们的入手点.题中会明确告诉我们要求的是线段长还是位置关系，再联系我们所熟悉的基本图形，辅助线就呼之欲出了.

以求线段长为例：

初一的时候我们只学过利用全等求线段长，也就是找到与所求线段相等的线段即可.

初二的时候我们学习了用勾股定理求线段长.

初三的时候我们学习了用锐角三角函数与相似求线段长.

这样根据方法的要求，勾股定理与锐角三角函数都与直角三角形有关，在解决相关问题中通过作垂线，将所求线段放在直角三角形中，就成为了做题的首选.这也就是我们常说的问题切入法.诸如此类的方法很多，例如特殊点切入法、特殊线段关系切入法等.因此教学中教师要注意从这些角度进行渗透，让学生知其然，又知其所以然.

由于篇幅关系在这里就不再一一介绍了.最后，学习数学是有极强的规律性的，只要我们在教学中善于总结规律，并加以利用这些规律，数学就会越学越简单.W