金融工具中连续时间利息计算应用研究

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2017年3月31日，财政部修订发布了《企业会计准则第22号——金融工具确认和计量》(财会〔2017〕7号)，在该准则的第一章总则中第二条就明确规定了金融工具的含义。金融工具，是指形成一个企业的金融资产，并形成其他单位的金融负债或权益工具的合同。而货币时间价值和风险的量化是金融资产价值计量的基础，金融资产的价值或价格就是由货币的时间价值和所承担的风险价值共同决定的。货币的时间价值通常通过利息(或反过来，折现)来体现。货币无疑是现代金融的核心，因而货币的时间价值及相关的利息、折现理论，既是整个金融的基础，也是运用各种工具和方法对金融资产进行定价和计量的基础。

一、关于利息计算的相关基础理论概述

常见的计息方式有单利和复利两种，其区别在于初始投资所产生的利息是否继续计息，造成的结果则是单利方式下单位时间内的利息为恒定常数，复利方式下单位时间内的利率为恒定常数。例如，一个单位的投资经历任意一个单位的计息时间段所产生的利息都是一个常数，那么这种利息计算方式称为单利方式，所对应的利息称为单利。按照利息累计函数的形式，单利方式下的累计函数：1个货币单位的本金在t时刻的价值a(t)=1+it，其中i为1个货币单位本金经过1个计息期产生的利息，即为单利利率。

在单利方式下，实际利率是随着时间发生变化的。这里实际利率是指在一段时间内产生的利息除以期初的投资本金，由于随着利息的积累，投资价值越来越大，但每单位的利息却是恒定的，因此利率逐渐下降。设i为单利利率，那么第n个计息期的实际利率为

显然，上面的in是n的递减函数，因此单利计息方式下隐含的实际利率是递减的。与单利不同，在复利计息方式下，已经产生的利息收入自动计入下一期的本金。毫无疑问，复利计息方式更加公平合理，也是现实中更加常见的计息方式。例如，1个货币单位的投资经过任何一个单位的计息时间段的利率为常数，那么这种利息计算方式称为复利方式，产生的利息称为复利。复利意味着之前投资产生的利息经过再投资后将产生新的利息，在复利方式下，在投资期间内的每一个时刻，过去时间内投入的所有本金和产生的全部利息都将用于下一时间段内的再投资，从而产生新的利息。复利就是俗称的“利滚利”的计息方式。复利方式下的累计函数：a(t)=(1+i)t。

计息方式与累计函数是一一对应的，单利计息方式下累计函数必须是上述线性函数的形式，复利计息方式下的累积函数必须是指数函数的形式。反之，线性累积函数必然是单利计息，指数累积函数必然是复利计息。例如，如图1所示，本金100元，年利率10%的情况下单利和复利方式下的累积收益对比。

图1 复利与单利的收益增长速度比较

折现是计息的反过程。由于几乎所有的金融工具都是面向未来的，因此，在金融资产计算的过程中，折现的应用甚至会多于计息。正所谓金融资产计量中所体现的货币时间价值，都是通过折现因素来实现的。初始的本金在经过一段时间的投资后会产生利息，从而导致投资货币的价值随着时间产生变化，利息或投资货币随时间的相对变化就是利率。利息体现了货币具有时间性，或者说，具有时间价值，初始投资的货币经过一段时间价值会发生变化，而不同时间点的同样数量的货币将具有不同的价值。利息的计算，反映了一般的金融投资活动中的“顺时针”过程，即在开始和结束两个时刻中，从开始推演至结束时点，将这个过程反过来，从结束推演至开始，就是与计息过程相对应的折现过程。

二、连续时间利息的计算

在复利方式下，由于已产生的利息要加入计息基数，即使是在利率相同的情况下，不同的计息频率也会影响计息的结果。在实务中，计息频率通常是一个确定的、客观的时间段，如1年、1月或1天。但在理论上，计息期间可以无限分割、趋近于零，计息频率可以无限大。最理想的情形，假设在每个时点瞬间都可以进行计息和结息，那么投资的价值变化将非常频繁，每个时点都在发生变化。这种理想化的计息方式称为连续利息计算。实务中按年、按月、按日的计息方式则称为离散利息计算。尽管在现实中永远不可能做到连续计息，总要有一个时间分割、总归是离散计息，但对连续利息的分析和研究将有助于深化对利息的理解并辅助对一般离散情形的分析。特别是在关于复杂金融产品定价的连续时间模型中，经常大量使用连续利息计算。

离散状态的利率表示的是利息累积在一段给定时间(如1年、1月或1日等)内的速度，利息力则是表示利息累积在“瞬时”的速度，这种定义和表达方式，将有利于计算连续时间下的金融资产定价，同时有利于在进行定价时引入函数、微分、积分、随机过程等成熟的数学工具。这一点优势，是离散利息所无法比拟的。因此，尽管现实中的计息都是“离散”的，但在金融资产价值计量的各种研究分析和实务计量中，却大量使用连续计息模型。

三、实务中引入连续计息的原因分析

现实中，所有的计息都是“离散”的，无论计息期间分割地多么精细，总有一个大于零的“间隔”，连续利息事实上只在理论中存在。那么，为什么要引入和分析连续时间利息?笔者认为主要有以下三点原因。

第一，利率往往是随时间变动的，甚至带有一定的随机性，为了更好地反映利率这一特征，需要引入连续时间利息。连续时间利息是在时间区间趋近于无穷小时，分析利率和投资价值的变化，这与积分的理念一致。例如，在单利方式下，假设利率为i，那么单位本金经过t时间后产生的利息即为it,这是非常简单明了的。但是，如果利率是随时间变化的，则情况将变得复杂。假设利率是时间函数i(t)，那么在每个计息期间1单位本金产生的利息近似于i(s),最极端的情况下，当计息区间趋近于无穷小时，所计算的结果也趋近于“精确结果”，因此在时间t内，在随时间变化的利率i(s)下产生的利息为

在复利下，情况类似，当利率为恒定常数i时，复利方式下1单位本金在t时间后的投资价值为

于是，当复利变动时，可以认为时利息力函数在随时间变化，因此，1单位初始本金在t时间的投资价值为

上边的表达式其实就是复利方式下连续时间利息的累积函数。从这个角度理解，累积函数实际上就是在一定的计息时间内，使用积分的方法将利息力函数“累加”起来得到投资价值，而利息力函数则代表了“瞬间”的利率。类似地，也可以从这个角度去理解贴现函数和贴现力函数。有了如上表达式，分析一些连续时间下的复杂金融工具将变得非常方便。

第二，使用连续时间利息进行分析，可以避免计息期间的“选择恐惧症”。实务中经常采用的计息方法是1年以上用复利、1年以内采用单利的方式进行计息，那么即使名义利率相同，但由于计息期间的选择不同，仍将导致不同的计息结果。假设年利率为i，如果以1年为计息期，那么无疑投资价值为1+i；而如果对计息期进行细分，假设分为n份，相应地每期的利率为i/n,那么到期投资价值为(1+i)n。显然n越大，到期投资价值就越大，而当n趋向于无穷时，投资价值就趋向于连续时间下的计息结果。

第三，引入连续时间计息，可以在金融资产价值计量时方便地使用各种成熟量化分析工具。在离散状态下，可以使用的数学工具是非常有限的，而在连续时间模型里，则有大量的分析工具可供使用，这极大地方便了金融资产的量化分析。