对货币时间价值的再认识——年计息n次的复利计息现值计算探讨

武国辉，周一萍

(黄冈师范学院 商学院，湖北 黄州 438000)

对货币时间价值的再认识
——年计息n次的复利计息现值计算探讨

武国辉，周一萍

(黄冈师范学院 商学院，湖北 黄州 438000)

货币时间价值原理在企业筹资、投资决策当中起着基础性作用，在对复利现值计算进行介绍的基础上，对该例题进行了深入剖析，并对半年计息一次的复利现值低于一年计息一次的复利现值原理进行了归纳。进一步的运用二项式定理得出了年计息m次复利现值计算规律，复利现值计算规律的归纳总结能够指导企业的投融资决策。对于企业筹资而言，在相同的名义利率下，计息期越短，其实际负担的资本成本越高。对于银行等金融机构的贷款行为而言，在相同的名义利率下，计息期越短，意味着其实际收益率越高。

货币时间价值；复利现值；二项式定理

货币时间价值原理是财务管理的一项基本价值观念，长期投融资决策必须考虑时间价值因素，时间越长，货币时间价值的影响就越大。因此，货币时间价值的计算是财务管理中的一个基础性的问题。特别是计息期短于一年时间价值的计算，是教学中的一个难点问题。本文将通过对教学案例的讲解和剖析，试图运用数学原理说明每年计息n次复利现值计算中的一些规律性问题。

1 教材例题讲解

根据货币时间价值计算原理，当计息期短于1年，而利率又是年利率时，计息期数和计息利率存在如下换算关系：

t=m×n

式中，R表示期利率；i表示年利率；m表示每年的复利计息频数；n表示年数；t表示换算后的计息期数。

为了说明问题方便，本文从一个教学案例谈起[1]，教学案例选取的是荆新、王化成、刘俊彦主编，中国人民大学出版社出版的《财务管理学》第七版第2章的一个例题，详见该书第39页例2-13。

某人准备在第5年年末获得1000元，年利息率为10%。试计算：(1)如果每年计息一次，则现在应存入多少钱？(2)如果每半年计息一次，则现在应存入多少钱？

(一)如果每年计息一次，即n=5，i=10%，FV5=1000，则

PV=FV5×PVIF10%,5=1000×0.621=621元

(二)如果每半年计息一次，即m=2，则

t=m×n=2×5=10

PV=FV10×PVIF5%,10=1000×0.614=614元

需要强调的是，复利现值计算的基本规则是折现率和计息期数应该配比。如果折现率选择年利率，那么计息期数是以年为一期(如例题第一种情况所示)；如果折现率选择半年期利率，那么计息期数是以半年为一期(如例题第二种情况所示)；相应的，如果折现率选择季度、月、星期、天等，计息期数也应该分别以季度、月、星期、天为一期。当然，同样道理，复利终值的计算也应该注意折现率和计息期数的配比。对于年金现值和终值的计算，则应关注年金A和折现率、计息期数的配比[2]。

2 对教材例题的进一步分析

应该注意到，第二种情形下复利现值为614元，第一种情形下复利现值为621元，也就是说半年计息一次的复利现值小于一年计息一次的复利现值。这是为什么呢？老师们通常是这样解释的：因为复利计息，半年计息一次的情形下在半年到期就产生利息，参与了下一期利息孳生利息的计算，因此比一年计息一次利息孳生的速度要快，因此第一种情形的复利现值大于第二种复利现值[3]。

这样定性的解释并没有错，但是如果能用数学的方法把这个问题作进一步的解释，似乎更加符合学术研究的基本逻辑，也能使学生的学习更加深刻。

如果直接运用复利现值的计算公式，上述答案可以写为： (一)如果每年计息一次，即n=5，i=10%，FV5=1000，则

(二)如果每半年计息一次，即m=2，则

t=m×n=2×5=10

同样可以正确计算出复利现值，并且得出半年计息一次的复利现值小于一年计息一次的复利现值的结论。下面，我们把上述结论按照如下思路进行推演：

因为：

所以：

(Ⅰ)

3 年计息两次复利现值规律

根据上述推理，可以得出每半年计息一次复利现值小于每年计息一次复利现值的基本规律，具体论证如下：

其中，m、n为自然数。当m=1时，有：

(Ⅱ)

上述推理过程正是例题的论证过程，不同的是，这里的利率是一个更加一般化的大于零的利率，n可以为任意自然数，FVn可以为任意大于零的值。

4 年计息m次复利现值规律

上述推理过程较好的证明了半年计息一次的复利现值小于一年计息一次的复利现值的结论。但是，上述推理过程不具有普遍性。为了探索更具一般性的复利现值计算规律，假设复利现值为PVt,复利终值为FVt，(本文用FVt表示每年计息m次的复利终值，用FVn表示每年计息1次的复利终值，而且FVt=FVn)；R表示期利率；i表示年利率，i>0；m表示每年的复利计息频数；n表示年数；t表示换算后的计息期数。则：

更一般地，根据二项式定理(也称杨辉三角)：

(Ⅲ)

当m=1时：

当m=2时：

当m=3时：

观察杨辉三角系数可知，当m≥2时：

(Ⅳ)

根据上述推理可知，年计息m次的复利现值小于年计息m-1次的复利现值。

在既定的利率和终值下，随着每年计息次数的增加，复利现值会变小。也就是说计息期越短，货币时间价值所起的作用越大。货币时间价值原理对企业的投融资行为具有重要影响。对于企业而言，意味着在进行筹资时，在相同的名义利率下，计息期越短，其实际负担的资本成本越高。对于银行等金融机构的贷款行为而言，在相同的名义利率下，计息期越短，意味着其实际收益率越高[4]。复利计息计算规律提示公司财务经理：在签订借款合同时，除了要注意利率、抵押条件等条款外，还应该注意利息计算方式的影响，利息计算方式的差异会导致资本成本的差异。复利计息计算规律提示商业银行客户经理：在放贷过程中，除了控制信贷风险和获得收益外，可以利用计息条件的差异调节实际利率，从而获得更高的收益率水平。同样，保险公司、基金公司的精算师们在设计金融产品时，同样可以通过收益支付方式的精细化设计实现风险和收益的最佳匹配，在迎合不同客户需求时获得最大程度的主动权。

[1] 荆新，王化成，刘俊彦.财务管理学 (第七版)[M].北京：中国人民大学出版社，2015：39.

[2] 姚晖.会计准则中的货币时间价值：发展历程与展望[J].财会通讯，2009,(09)：63-66.

[3] 张萍香.货币时间价值在投资决策中的应用[J].经济与管理，2012,(02)：35-38.

[4] 刘秀英.货币时间价值在企业筹资中的应用[J].天津商务职业学院学报，2013,(01)：24-26.

责任编辑 周觅

2017-04-06 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2017.03.16

武国辉，男，河北张家口人，讲师，硕士，主要研究方向为财务管理；周一萍，女，江西宁都人，教授，硕士，主要研究方向为会计学。

黄冈师范学院科研项目(KYCH/2014017603)。

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1003-8078(2017)03-0072-04