在概念教学中渗透对学生抽象思维的培养

潘慧敏

摘  要：数学概念教学的过程，就是一个帮助学生逐渐抽象，最后领悟本质的过程。文章结合教学实践，借助表征、比较、变式、辨析等手段和途径，试图让学生在数学概念学习中积累从具体到一般的抽象思维经验，养成抓住事物本质的抽象思维习惯。

关键词：数学概念;教学实践;抽象思维

抽象是一种重要的数学思维。在数学概念学习中，学生就要经历从具体到抽象再到具体的认识过程，逐步达到对概念的真正理解。也就是说，数学概念的建立，离不开抽象这一重要环节。那么，在数学概念感知与建构的过程中，如何有效提升学生抽象思维水平呢？笔者认为，可以从以下四个方面入手。

一、借助“表征”，为抽象提供直观

抽象离不开直观的支撑，因此，我们要给学生提供直观材料。这个材料可以由教师提供，也可以由学生自主生成。例如，乘法是求几个相同加数的和的简便运算。它可以用更抽象、更概括的“几个几”的方式进行表达。相对于后面的“几”（相同加数）而言，前面的“几”（相同加数的个数）是看不见、摸不着的。学生理解起来必须依靠直观的支撑。因此，上课开始，直接揭题，让学生直接表达他们对于“乘法”的理解，直击学生已有的生活经验与知识经验。然后让学生依赖自身已有的经验，画图自主表征出“3×4”的意思。于是，有用加法模型表示的，有用聚集模型（等量组）表示的，有用矩形模型表示的。这样，教师便可顺势介入，引导学生对乘法的含义进行抽象与概括。

教学片段：“3×4”表示4个3。

投影呈现：

师：谁看懂了这幅图的意思？3×4中的“3”是什么意思，能在图中找一找吗？

（一生上台指“1个3”）

师：他找到了1个3。谁能比他更厉害？

（上台指的学生马上说“还有”，继续指）

师：他找到了几个“3”？（老师拿笔把每个“3”都指过去）

师：原来“3”有好多个。那3×4中的“4”在哪里呢？怎么没看见？

（一生上台拿着铅笔指，没出声）

师：什么意思？这个“4”在哪里？

（另一生上台边指边说：1个3，2个3，3个3，4个3）

师：哦，原来“4”就躲在这里。我们一起来数，好不好？（齐数）

师：原来这个“4”是指有4个3（板书：4个3）。你们用数的办法（板书：数），把它找了出来，真厉害！

在上述教学片段中，重点是凭借图形的直观性将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来。通过圈一圈、数一数、说一说等活动，引导学生逐步抽象出“几个几”，使学生初步感知到乘法是同数连加的另一种表征形式，沟通加法与乘法的联系。

二、借助“比较”，舍弃非本质特征

北京教育学院刘加霞教授指出，有相同与不同之处的学习素材，能促进学生真正地观察、发现、抽象与概括。进一步来说，这样的学习素材可以使学生在比较中舍去不同的、非本质的特征，找到共同的、本质的特征，异中求同，揭开概念的本质。例如，“认识分数”内容的教学，在动手操作认识“ ”的环节，笔者组织学生用手头的长方形纸折一折、画一画表示出 ，生成不同表征形式的学习素材。

教学片段：用长方形纸片表示出 。

师：（在借助平分1个月饼认识 后）同学们，我们每个人都有一张长方形纸，你能通过折一折、画一画，表示出这个图形的 吗？

在学生动手操作后，有选择地挑选出学生的作品贴板展示。

师：请同学们仔细观察这些图形，你有什么发现？

生1：第四幅图不对，不能用 表示，因为它没有平均分。

生2：前面三幅图都对，都是这个长方形的 ，但他们折法和表示方法不同。

生3：它们都平均分成了2份。

生4：我还发现涂色的都只有1份。

生5：他们的折法不同，得到的形状也都不同，但只要把这个长方形平均分成了2份，这样的1份就是它的 。

……

上面的操作展示，重点在于引导学生通过观察、比较、交流，共同归纳得出结论：只要把一个图形平均分成2份，这样的1份就是这个图形的 。在这个过程中，充分感知同一图形的不同折法，帮助学生聚焦分数的本质特征，使学生真正理解“ ”的实际含义。

三、借助“变式”，着眼于量性特征

“数学抽象是对各个具体情境的一种超越”。也就是说，从具体形象到抽象概括，需要逐步排除非本质属性对学生的干擾，使学生真正做到“完全舍弃事物的一切物理属性，而仅仅着眼于它们的量性特征”。例如，在“倍的认识”一课教学中，通过对“哪幅图表示第二行是第一行的4倍”这一问题的探讨，笔者设计了两类“变式”，利用不同的变式素材分析什么变了、什么没有变，对“倍数”概念的内涵进行了“深加工”。

一是借助标准量不变，比较量变化，拓展认识“几倍”。在解决“白萝卜个数是胡萝卜的2倍”这一基本倍数关系后，通过不断增加白萝卜的份数，引出3倍、4倍（如图5）。在此基础上，引导学生观察比较三幅图，进一步抽象出“它们都是把2根胡萝卜看作一份，作为标准，白萝卜有这样的几份就是它的几倍”。这一环节的归纳与整理为抽象提供了帮助。

二是借助比较量不变，标准量变化，感受标准的重要性。当学生理解“瓢虫的只数是蜗牛的2倍”（如图6）后，就追问学生“除了把4只蜗牛看作一份，还可以几只为一份呢？”并让学生用三角形代替蜗牛在练习纸上画一画、圈一圈，说一说它们的倍数关系。在巡视指导过程中，笔者发现学生的思维活跃，有以2只或1只蜗牛为一份的，甚至还有以8只蜗牛为一份的。围绕这些变式，通过对“几只蜗牛为一份？瓢虫也有这样的几份？它们的关系怎么说？”等问题的回答，引导学生认识特殊的倍数关系。在此基础上，引导学生进一步抽象出“如果我们把标准定好了，只要瓢虫的只数有几个这样的标准，就是它的几倍”，凸显比的标准的重要性。

四、借助“辨析”，强化本质的特征

教学中不能都只呈现正例，也需要提供反例，让学生在正反辨析中深入地认识概念的本质的特征。例如，“乘法的初步认识”内容的教学，在引导学生理解“3×4”表示的含义之后，安排了一道对比判断练习，让学生判断哪一幅图不能用乘法表示，目的是让学生在正反对比辨析中进一步揭示出乘法的本质。

教学片段：哪一幅图不能用乘法表示？

生：图③不可以。

师：图③为什么不可以？

生：因为它的每一份不同样多。

生：图②也不可以。

师：图②怎么不可以呢？

生1：前面三堆，每堆都是9个，但它的最后一堆只有6个。

生2：只要一个数跟其他的不一样，就不能用乘法。

生3：必须每部分同样多，同一样的数，才能用乘法。

又如，“分数的初步认识”一课中，在引导学生认识“ ”之后，也设计了一道正反例辨析的练习。

教学片段：下列图形中的涂色部分哪些可以用 表示？

通过学生对“为什么图②和图④都可以用 来表示？”“图①和图③不也是分成2份了吗？”等问题的回答，强化分数含义中的“平均分”。同时通过对“图⑤不是平均分了吗？”这一个问题的思考与讨论，使学生明白“⑤号图形的涂色部分不能用 来表示，是因为它被平均分成了3份，所以要用 来表示”，凸显分数份数的意义。

概念教学就是一个帮助学生逐渐抽象，最后领悟本质的过程。教师不能采用直接告知的方式，而要设计帮助学生“舍弃”的过程，借助表征、比较、变式、辨析等手段和途径，引导学生主动地把不同的、非本质的特征完全舍弃，得到共同的、本质的特征，从本质上完成对抽象概念的把握。