元素发现：让结构化学材有章可循

万兆荣 吴玉国

摘  要：结构化学材开发基于知识发生与发展的逻辑顺序，着力学生的认知结构与学习心理发展现状，凸显数学知识内外纵横的结构关联，突出数学认知过程和思维方式深入的结构融通，开发、挖掘、拓展后形成适合学生学习的材料。文章从知识元素的本质内涵分析入手，通过具体的课例探讨结构化学材开发的实施策略。

关键词：元素;结构化;学材;开发

“结构”隐喻了知识的体系性，结构包括了三个特性：整体性、转化性、自身调整性。建构主义强调，知识结构建立在核心概念基础上，结构化学材开发正是以儿童的认知经验为支撑点，注意从知识整体结构的高度来研究每一局部知识的作用和地位，强调在知识的习得过程中找准知识体系中的关键“核心概念”，即知识结构的关键“元素”，以“元素”整体关联功能为核心，进行整体架构、重组拓展，形成适合学生的动态化的学习材料。那么，在实践中如何紧扣核心元素，开发结构化学材呢？

一、核心元素支撑，促进结构化学材设计活动的本质化创新

人的思维开始于生命组织所固有的结构，而且动作图式形成中同化机制也离不开某种先行结构，即使活动中形成的新结构，在发展中并不消除那些先行结构。如果够把先行结构的核心元素激发出来，组成整体关联的结构，不但增强记忆的牢固性，还有益于提高检索提取的效率，更加有利于建立真正反映知识本质的内在表征系统。

以苏教版教材五上第二单元“多边形面积计算”教材为例，教材编排这部分内容时，都是将平行四边形、三角形、梯形的面积推理置身于方格纸中，想让学生通过数方格推算面积，继而再用“移、拼、割、补”等转化策略，引导学生获得各种面积计算的公式，如梯形的面积计算会用多种转化的策略（如图1），其实，这部分内容的学习，还有一个关键的元素“底和高”，无论是面积公式的转化推理，还是面积计算的过程，这两个条件都是问题解决的关键元素，苏教版教材将底和高的认识安排在四年级下册，而真正运用其概念解决问题、体会价值是在五年级上册，此时多数学生早已遺忘这部分内容。我们知道，无论是平行四边形、三角形，还是梯形面积之间的转化，这其中主要是蕴藏着“等底等高”这一核心元素，那么，沿着高运用剪、拼、移等活动方式对各个图形进行转化时，有相当一部分学生，需要经过教师的反复提示才能明白其中的原委，主要是因为学生对于高与底概念的模糊。另外，无论是计算单个图形的面积，还是计算组合图形的面积，其关键难点仍然是要弄清楚底和高的对应关系。因此，在教学这部分内容之前，要为学生提供合适的学材，帮助学生完善底和高的再认知过程，基于此，笔者设计结构化的学材活动，分以下三个步骤：

一是提供一组平行线，让学生在平行线上寻找合适的点，任意作出几条垂线。

二是在平行线上找寻三个点A、B、C，画一个三角形，再任意找一个点D，再画一个新的三角形，比较新三角形与原三角形ABC的异同之处。

三是移动D点位置再建三角形，探讨发现所有三角形的底和高的关系，获得等底等高三角形的特征，同时探讨出不同类型三角形的高与底的位置关系，特别是钝角、直角三角形的高。

这里，让学生通过丰富、直观的背景材料，感知三角形的底和高，学生在自己设计的D点中学会了比较、分类，发现材料的不同与相同之处，学生通过观察、实验看到了钝角三角形的高，这是教材中回避的问题，但在三角形面积计算以及组合图形面积计算时，钝角三角形的高是无法避免的。因此，在这部分内容学习之前增加“底和高的认识”这一学材，既激活了学生的认知基础与知识经验，又可以体现学生对于概念的建构和形成过程，同时还可以提升学生思维的准确性和严密性，更为学生探究多边形面积计算的过程提供支撑点、脚手架，继而在面积公式推理过程中让学生有目标地进行探究，而不是教师要求用转化的思想进行“剪、拼、移”等操作活动。

当学完梯形面积计算之后，再次将这多种图形置身于平行线之间比较面积大小（如图2），只需简约图形，让学生进行严密的思考，再次通过“底和高”的关键元素探讨，把问题综合成一个知识结构整体，使认知过程从具体上升到抽象，由特殊上升到一般，从领会走向深刻。结构化的学材开发不能仅仅是知识的体现，让学生学会用统整的思维方式进行问题解决，更重要的是育人价值的开发。

二、核心元素挈领，促进结构化学材设计活动的本质化提升

学习内容不是单一的，而是相互关联的知识群。教师必须开放具有结构网络的学材，引导学生在理解所学内容的基础上边学边归纳，从而理解具有相同或相似特征的知识群，在这个知识群中核心元素起着决定性的作用，学习过程中要紧扣主题，凸显核心元素，以《正比例的意义》为例，教材呈现的资源（如图3）。

【图例分析】

教材首先以表格的形式，引导学生观察、发现、计算和比较几组相对应的路程和时间的比，主动发现汽车行驶的时间和路程是两种相关联的量。这两种量的变化是存在一定的规律的，且比值相同，也就是说，行驶的时间变化，路程也随之变化，汽车行驶的速度是一定的。在此基础上揭示正比例的概念。在小学数学教学“正比例意义”正是渗透于培养学生函数思想的重要内容，同时也是学生理解函数思想的难点，正比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型。从常量到变量是学生认识过程中的一次重大飞跃。虽然学生在过去用字母表示数和运算律的学习过程中对变量的思想有过一些感知。但真正用函数的观念探索两种相关联的量的变化规律，是从正比例意义开始的。函数内容的学习主要在初中二年级，学好本课内容能有效衔接中小学教学内容，为学生学习函数图像埋下伏笔，更重要的是培养学生的数学素养。

这样从现实生活中熟悉的实例出发，引导学生在观察、比较、计算和交流等活动中初步感知变量的特点，凸显概念的形成，有利于学生正确理解正比例的意义，在建立概念的同时积累一些数学活动经验，感悟数学抽象的过程和方法，发展数学思考，增强探索意识，那么，如何对接好儿童的认知结构，设计与实施好这部分内容学习过程呢？教师们的教学通常采用如下步骤进行。

【教学片段】

（1）看一看，表中有哪两种量，它们是相关联的量吗？

（2）比一比，相关联的这两种量的变化有什么规律呢？

（3）算一算，路程与时间的比值表示什么？

（4）议一议，能用一个式子表示上面的规律吗？

（5）小结：行驶的路程和时间成正比例关系。

（6）说一说：你发现两种量要成正比例，需要满足哪些条件呢？

（7）写一写：借助字母x、y和k，用怎样的式子表示正比例关系？

【归因分析】

通过以上有层次、有步骤的自主学习活动，让学生明白行驶的路程和时间是两种相关联的量，发现行驶的路程随时间的长短而变。其次，在比较中启发学生从“变化”中发现“不变”的要素。最后，结合路程和时间相对应的几组数据，发现比值都是80，得出路程/时间=速度（一定），进一步理解正比例的意义。这样由浅入深，由表及里的学习，看似很容易理解概念，但实践表明，学生在这样的材料学习中，对于正比例的意义的理解不是很深刻，具体分析原因，主要有以下几个方面：

函数是刻画数量之间对应关系的数学模型，许多数学问题中变量之间的关系都可以用函数表示，两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一固定的值与其对应。但对于两种变量的理解就是这部分内容的“核心元素”，上述案例中，直接从给定的表格中的数据分析，“有什么发现”这一问题引导学生列出各个比的式子，并且在比值相等的过程中，抽象概括出正比例的意义，从具体到一般、从具体到抽象的处理方式看似让学生通过自己的积极探索，构建意义的过程，实质上学生的经验过程存在着两个问题：

首先，学生对于时间与路程这两种量的“关联性”不是特别理解，主要是对相关联量的特征的理解。

其次，情境问题的设置缺乏对运动、变化的体现与分析。我们知道，汉语中函数的概念是“在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的某一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数。”这里的路程与时间这两个量在变中相互对应，两个变量之间的依赖关系不易理解。

另外，图例中首次接触正比例的意义，并没有从多角度，运用多元化的表征方式，仅从一组数量关系，就概括出正比例的意义存在着局限性，特别是教材中对正比例的意义是这样定义的：“路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应时间的比值总是一定（也就是速度一定）时，我们就说，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量。”冗长的概念对学生来说，理解起来相当的繁杂，不利于函数思想的全面深刻的生根。我们知道，正比例的图像表示、解析表示以及列表表示在一定程度上讲是三种函数观（函数是曲线，是解析式，是对应），但教材资源只是表格中的数据分析，由此便形成函数的解析式表征，这不利于学生对函数的核心——对应思想的深刻构建。

【结构化学材设计】

1. 深根提炼，逻辑递增

结构化学材设计需要深入了解学生原有的认知结构状况，要紧扣知识核心元素，凸显逻辑结構，注重运用学生熟悉的问题情境，选取合理的知识，对现实生活中事物运动与变化的事件进行刻画，特别要给学生呈现一种来自儿童原有的学习经验的引导性材料，运用逻辑的规律和方法进行设计活动，以激活学生的认知基础与学习经验。

图4

情景一：多媒体演示（如图4）水柱逐个上升的过程。观察思考：这里的哪些量发生了变化？这里哪些量是相关联的？

生：高度逐渐增加，体积逐渐增加，高度与体积是相互关联的，底面积相同。

情境二：将图1动画改成同高不同底的水柱（如图5）。

生：底面积相同，高度变化了，体积也变化;高度相同时，底面积变大了，体积也变大了。

【学材选用意图】

在学习这部分知识之前，学生对于圆柱的体积、表面积、高度的变化十分熟悉，用熟悉的情境探索新的数学知识，既使学生有亲近感，又有神秘感，引发学生对客观知识的深入理解，这有利于激发学生学习的热情。另外，根据系统论的整体功能大于局部功能之和的观点，情境二的设计，让学生体会到同高不同底，高不变，底面积变体积也变，在多元化的变化形式中，让学生把各种相关联的量都列举出来，通过对这些相关联的量的变化规律的研究，突出正比例关系的核心元素“变中有不变”，找准不变量理解关系。这样的学材探讨使得知识成块呈现，重点让学生经历一个整体—局部—整体的过程，扩大知识的承载的背景材料，从核心元素关联中建立有序的知识框架，有助于知识的提炼、升华。

2. 整体呈现，逐个突破

结构化学材设计要与认知结构中原有知识之间的联系，为新知识学习起着提供认知框架的作用。特别要注重认知建构的整体性，理解“连续—关联—循环”三个层次，经历“旧知经验的对接—新认知结构的扩展—优化认知结构”的过程。

图6

情境三：（如图6）当有了这些具体数据后，你能看出变化中不变的规律吗？如果有一张空表格你会整理这些数据么？

观察思考：根据表中数据分析，像这样的变化有什么共同的规律，你能用字母表示关系吗？（如图7）10是怎样得到呢，它表示什么？

图7

【学材选用意图】

皮亚杰指出，结构与主体是不可分离的，认知活动的发生存在一种初始的状态，即一切认知活动的进行依赖“先行结构”。因而，在设计学习活动时首先要把以前结构作为子结构加以整合，对接学生的认知起点、知识元素的内在关系设计教学、实施连续学习。这里从实物图像变化到表格的梳理，从没有省略号到有省略号，再到字母表示，从数据整理成表格，到问题设计的层阶性，紧扣“量的变化”，着力为学生提供直观、动态看得见的变量，形成一个逐步抽象的符号化的过程，有利于学生对相关联的量的深入理解。

3. 多元表征，融通建构

结构化学材开发注重多元表征方式的嵌入，并以提炼共同核心要素为脉络，形成知识框架结构，产生新的层次更高的数学认知结构。

情境四：将图6的圆柱形水柱的实物图去掉后，留给学生各个点与数据，（如图8）让学生自己解释图中各个数据。

图8

【学材选用意图】

函数是平面上一些点的集合，是平面上的“图形”无论是正比例还是反比例，用图像思考，是掌握函数性质，理解函数思想的关键，图像与表格相结合，有利于变量间的对应关系、连续性、依赖性的拟合，易于形成正比例的函数模型。但教材将正比例意义的图形安排在第二课时学习，主要是强调应用。一般而言学生对正比例意义不能深刻理解，因此，根据首映心理，在第一课时认识正比例意义中，要将图形、列表、解析式，借助多元表征方式链接内容，体会量变的丰富多样性，从局部特性过渡到整体特性，让学生经历知识的整体变化。

三、核心元素统整，促进结构化学材设计活动的本质化拓展

元素不仅包括学习内容被分解成的各个基本要素，也包括知识点背后的数学思想、数学方法、核心素养等，结构化学材开发强调核心元素的统整作用。

以五年级上册“小数的意义”教学为例，虽然学生在三年级就认识并且能顺利读出一两位小数，这一经验主要源于生活中的标价签上，但这些小数所表示的意义是什么学生仍无法说清。五年级上册教材将这部分从一位到三位小数的意义安排在一节课，教材明确指出一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，教材这样安排，对于相当一部分学生来说是很难理解的，分析原因有以下几个方面：

1.小数的基础源于十进分数的理解，学生虽然学习过分数，但分数的初步认识被安排在三年级学习，时隔一年半再学习分数，多数学生对分数很陌生。因而教材直接学习小数意义，没有分数基础是很难的。

2.小數的学习同样是在三年级，主要是对一位小数的认识，而教材安排的一课是1-3位，并且以纯小数为主，那么，带小数的意义直接忽略，并未使得学生形成完整的认知结构。

3. 小数是十进制分数，那么，整数与小数之间的对接，也就是十进制关系被安排在第二课时，这样小数的意义与数系相脱离，同样不利于理解小数的意义。基于此，这部分内容应该打破教材的逻辑结构，应该将这部分的内容增加分数的再认识，特别是分母是10的分数的理解，然后再对一位小数的意义开始探讨，并且抓住元素0.1不断增长的意义过程。例如：这里的学材可以借助十等分的方格让学生直观认识，一个正方形均分成10份，一份、二份、……、九份，从0.1到0.9的有序认知建构，当再增加1份，正方形格子变成满的，也就是10份，让学生用小数表示图例中“十份”，有的认为是1，有的认为是1.0。学生在激烈的探讨过程中，如何判断正确与否，最终回到的分数十分之十的意义上，学生借助图像与相对应的小数对接分数十分之十突破1.0这一核心元素。只有在充分了解学生的既有经验，站在整体、系统的角度去组织交流，围绕问题的核心探寻知识内、知识间的结构，实现知识结构与认知结构的有机联结，当出现“十一份”如何用图例表示的问题时，学生异口同声的说再增加1份，也就是1.1。当再次探讨1.1中的两个1的意义过程中，学生对整数部分与小数部分的计数单位以及数位又有了新的认识。学材的设计和教学组织的过程中，使学生了解这些方法背后的原理，要注重对于小数的意义的理解，进而形成与之相关的核心素养。

总之，结构化学材开发着重强调找准核心元素，围绕核心元素探讨，呈现知识展开的过程，沟通知识间的纵横关联，促进整体结构组织，形成结构化思维。