精神实体：赋予学生数学学习生长的力量

郭东

摘  要：在数学教学中，精神实体比实体更为重要。精神实体确证主体存在、体现数学价值、彰显学习本质。数学教学要引导学生触碰知识本身、知识体验、知识探究过程中的精神实体。通过触碰精神实体，让学生感受、体验精神实体的永恒绚烂。

关键词：小学数学;精神实体;学习生长

著名数学教育专家孙晓天在《关于数学课程的思考》中提出，数学教育目标有两个：一个是实体性目标，另一个是精神实体目标。所谓“实体”，是指数学知识、技能等;所谓“精神实体”，是指数学活动经验、思想方法等。实体性目标是数学教学显性目标，精神实体目标是数学教学隐性目标。正如荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔所说：“精神实体比实体更为重要。”

一、怎样理解“精神实体”？

“精神实体”是相对于“实体”而言的，一般来说，实体是有形的，精神实体是无形的。“实体”内化为“精神实体”，“精神实体”外化为“实体”。实体是精神实体的表现，精神实体是实体的根据 [1]。教学中，只有让学生触摸、感受、体验到精神实体，学生才能领略数学课程的魅力，体悟到数学课程的博大、精妙与深邃。

1. “精神实体”确证主体的存在

从哲学视角审视，可以认为精神实体是一种主体性永恒存在。教学中，要让学生经历数学知识创生、发展和更新的全过程，孕育学生的数学眼光、大脑，这就是学生的数学精神实体。精神实体确证学生主体存在且具有永恒性。这从日本著名数学教育家米山国藏的话语中便可窥见一斑。“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后就会忘记。……唯有深深铭刻在心中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用。”可以这样说，数学“精神实体”体现为学生数学学习主体的“精”“气”“神”。

2. “精神实体”体现数学的价值

数学思想方法、数学活动经验是数学精神实体的重要组成，但却不是精神实体的全部。数学的思想方法、活动经验是数学精神实体于有形中最为重要的投影和显现。数学精神实体是数学的根本，是数学的灵魂，数学精神实体指引着数学内容的本质内涵及其脉络趋向。在数学教学中，要引导学生经历数学知识的发生、发展过程，引导学生回归数学本身，让学生的数学学习散发出“数学的味道”。“精神实体”要体现学生数学学习的本味、真味，体现数学的根本价值。

3. “精神实体”彰显学习的本质

在荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔看来，“学习数学就是学习数学化”。弗氏深刻指出：“与其说是学习数学，毋宁说是学习数学化;与其说是学习公理，毋宁说是学习公理化;与其说是学习形式，毋宁说是学习形式化。”从这个视角来看，精神实体不是静态、固化的，而是动态、发展的。学生在数学学习中不断数学化、形式化、公理化的过程就是触碰精神实体的过程。比如学生追问知识本质，追寻结构脉络、追寻蕴含的思想等过程，就是学生走入数学精神实体世界的过程。

二、怎样让学生触摸到数学的“精神实体”？

数学“精神实体”是抽象、概括、上位、顶层的思想、观念等。从学科视角看，“精神实体”是学生数学思考、探究所依赖的基础，也是数学课程与教学的精髓。对于“精神实体”，我们可认为是“将具体数学知识都忘掉以后剩下的东西”。换言之，“精神实体”是隐性的、可持续性发展的。这种精神实体，最终会体现在学生的成长过程之中并得到外化。正如中国科学院李大潜院士所描述的那样，“学数学的人，他的数学观念会比较好，他的逻辑思维能力就和普通人不一样，讲话做事比较有条理。通过学习，数学会变成你的习惯、修养、素质，一直存留在你身上。” [2]这就是精神实体的作用。

1. 触摸知识“精神实体”

数学知识蕴含着“精神实体”，比如数学知识点的本质、源头、结构性关联等，它们都具有隐性特质。数学知识“精神实体”是学生数学素养的骨架，对学生数学生命成长具有重要价值。对于数学知识中的精神实体的触摸，通常不是直观的，而是必须经历一个过程。从这个意义上说，触摸精神实体是一种创造、一种积淀、一种传承、一种自由。

教学《平行四边形的面积》《三角形的面积》《梯形的面积》《圆的面积》等，尽管它们分布在不同的教材中，尽管它们转化成的对象不同、转化方法不同，但其间蕴含的知识形成过程是一致的，这就是“将未知图形的面积转化成已知图形的面积”。对这几个部分内容的教学，教师要注重启发，引导学生经历知识创造的过程，尤其对于“三角形面积”“梯形面积”和“圆的面积”更是如此，因为“当学生将平行四边形转化成长方形”后，就能获得一种启迪。如筆者在教学这部分内容时，总让学生积极尝试，尽管有学生探究之路非常崎岖，尽管学生在探究路上会遭遇一些困难，但“精神实体”正是通过学生感悟而形成的。讲解、灌输只会让学生生厌，只会消弭、泯灭学生思维、探究的兴趣。在这种平面图形的面积推导过程中，学生获得的绝不仅仅是数学基本活动经验、思想方法，而是精神实体。精神实体可以理解为内隐数学知识，也可理解为缄默性知识背景、认知取向、探究观念、探究原理背景、价值要素等。

因此，教师应对“压缩化”数学知识“解压”，引导学生充分经历数学知识的诞生过程，让学生感受、体验数学知识的形成过程，从而深度洞悉数学知识的本来面目，领悟数学知识的本质。这种对数学知识精神实体的触摸，能启迪学生的数学智慧。

2. 触摸体验中的精神实体

学生在数学学习过程中会产生一些感受、体验，其中有些感受与体验是积极的，有些则是消极的。积极的体验能促进学生的数学学习，消极的体验则会阻碍学生的数学学习，比如学习倦怠感、无助感、无力感。对消极的学习体验，教师要积极疏导。作为教师，我们应当尝试站到学生的立场上去思考问题，包括学生在学习中会遇到的可能性障碍、困惑。要努力敞亮学生的想法，不能屏蔽学生的想法，从而让学生能触碰到体验中的精神实体。

对于任何一个数学知识，教师不仅要追问学生“是什么”“为什么”“还可以怎样做”等，而且要引导学生自我反思、追问。其实，数学教学不仅要培育学生的认知能力，提升学生的认知水平，更要发展学生的元认知意识，提升学生的元认知水平。学生数学学习感受、体验中的精神实体就包括学生的元认知意识。只有当学生自觉地从精神实体方面来进行学习时，才能发展、提升学生的数学学习力。教学《解决问题的策略——假设》（苏教版六上），当学生学完“倍数关系”两种量的假设关系后，有学生就自觉地反思：“老师，假设策略我好像似曾相识。”“老师，假设的策略我們并不陌生。”显然，学生通过数学知识的学习体验已经触碰到了精神实体。为此，笔者这样引导学生：“是啊，假设策略的运用非常广泛，我们并不陌生。回忆一下，以前在探究哪些数学知识时我们运用了假设的策略呢？”如此，学生便能积极审视、发掘自我数学学习体验中的精神实体。结果学生们发现：试商时运用了假设策略，估算时运用了假设策略，解决问题时运用了假设策略等。正是由于学生触碰到自我体验中的精神实体，因而能迸发出诸多发现。

触碰体验中的精神实体，能让学生穿透数学知识、技能的表层，直抵数学知识的本质、灵魂深处，直抵学生的数学观念深处。在数学教学中，教师要引导学生发掘自我感受、体验，引导学生向着“精神实体”的方向漫溯。只有当学生能触碰到体验中的精神实体，学生才能获得良好的学科感悟。

3. 触碰探究中的精神实体

数学“精神实体”不仅存在于数学知识、学生体验之中，还存在于知识探究过程之中。每一门学科，不仅有学科差异，而且有基于学科特质的学习方式的差异。语文学科通过读背还能让学生悟出点什么，但数学学科的知识感悟一定是基于理解的。我们要引导学生进行数学观察、操作、思维、想象，将学生的数学思维、探究引向深入。教学中，教师要优化学生的数学活动方式，让学生能触碰到数学活动、探究过程中的精神实体。

如对于低年级的“认数”，许多教师总认为很简单、小儿科。那么，“认数”这样一个简单的知识点背后有“精神实体”吗？认数的本质是什么？学生为什么要认数？为什么要有计数单位呢？十进制的原理价值在哪里？我校的一位教师执教《认识整亿数》，采用了学生喜闻乐见的“变数游戏”方式，让学生从数学游戏活动中触碰数学的精神实体。教师首先出示数字卡片2，让学生摆放到不同数位上，引导学生读数。同样一个数字，为什么可以变化出这么多不同的数呢？十个阿拉伯数字放到这么多的数位上，能组成多少个不同的数呢？通过这样的数学游戏，学生能触碰到数的认识、读写中的精神实体，即“位置值”。正如北京教育学院著名教授刘加霞所指出的，“学生学习自然数的两个核心价值就是进制和位值制”。当学生在游戏中意识到不同数位有不同值后，认数就不仅仅停留在认的层面，而是上升到了思想层面。这种位值原理计数思想凝聚着人类生命实践的智慧，最能体现数字、数学的神奇与伟大。为深化学生的数学认知，让学生从更深层次上触摸到精神实体，教师还可进行拓展、延伸：有比“千亿”大的计数单位吗？有比“个”小的计数单位吗？通过计数单位左延、右拓，从精神实体的源头赋予学生不同的探索方向，让学生的思维触角不断延伸，从而感受到认数实体背后美妙的精神实体。

对于数学精神实体，教师要做实引导，让学生做实探究。通过探究，直击数学知识表层下深藏着的精神实体，以一种超越知识的统摄视角引导学生去触碰，就能让学生感受、体验到数学精神实体的永恒绚烂 [3]。正如德国著名哲学家黑格尔所言：“万物皆精神，精神即实体。”

数学精神实体具有一种自组织、自生长的力量。数学精神实体是客观存在的，但又不能被学生直观感知到。只有引导学生不断地探究，拨开数学学习的层层迷雾，学生才能窥视、触碰到数学的精神实体。数学精神实体召唤着学生的不断探究，作为教师，要引导学生去触碰，并努力让数学的精神实体能驻扎于学生心间！

参考文献：

[1]  鲁小超. 奏响三重奏，演绎完美的“精神实体”. 小学科学（教师版），2016（05）﹒

[2]  张祖润. “精神实体”：小学数学教学价值的新视角[J]﹒江苏教育研究，2013（11）﹒

[3]  蔡月珍. 数学教学如何向“精神实体”目标伸展[J]. 小学教学研究，2010（09）﹒