数学理解：基于核心素养的教学追求

任玲

摘  要：数学理解是学生数学学习的第一要务。在日常数学教学中，由于认知内容的被动化、认知方式的记忆化以及认知评价的结果化，使得真正的数学理解没有到位。真正的数学理解包括工具性理解、关系性理解和创新性理解。教学中，教师要对接学生经验，指向数学本质，凸显知识联系，实现学生真正的数学理解。

关键词：数学理解;核心素养;教学追求

一、缘起：由一道题引发的深层思考

苏教版小学数学五年级下册期末调研中有这样一道习题：面积相等的长方形、正方形和圆，（   ）的周长最大。（A.长方形  B.正方形  C.圆）试卷分析结果表明，本题正确率仅为25.1%。许多教师感叹，自己在日常教学中强化了“周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大”，由此导致了绝大多数学生选择了C。似乎正是由于自己的正强化，导致了学生出错。

审视教师教学，似乎这样的理由是不成立的。如果教师在教学中注重数学理解，如果学生不是获得浅表化、惰性化、碎片化数学知识，那么学生的问题解决就不会停留在记忆层面，而是会展开审慎审题，积极思考，灵活而有效地解决问题。而如果学生在数学学习中只是依葫芦画瓢、机械模仿，没有真正理解，那么，错误也就在所难免了。

这引发了笔者的深度思考：数学教学在何种程度上没有能够达成学生理解？什么是学生的数学理解？数学教学如何促进学生深度的数学理解？

二、“数学理解”的教学现状

1. 认知内容“被动化”

笔者发现，在数学课堂教学中，教师常常有意或无意地绑架学生思维、认知，让学生形成“假性生长”“被生长”现象。比如教学《认识负数》，一位教师以温度计为原型，直接切入，出示三亚（20℃）、南京（0℃）、哈尔滨（-20℃）三个地方的最低气温，引导学生比较不同，引出负数概念。对于学生来说，负数的出现是突然的，犹如天降。他们没有感受、体验到负数产生的必然性、必要性。只是在教师指引、暗示下对负数进行认知。这种教学，学生对数学知识的认知是肤浅、固化的，他们“知其然，而不知其所以然”。

2. 认知方式“记忆化”

无论是数学概念，还是数学公式、定理等都不是依靠学生机械识记，而是要靠学生数学理解的。当下，学生缺乏主动建构的精神，他们只是按照教师“暗示”思路解决问题。格式塔心理学家苛勒“顿悟说”告诉我们：学生数学学习是运用理解对情境与自身关系的顿悟，而不是依靠记忆进行盲目尝试、复制。许多学生在数学学习中往往只按教师“暗示”思路和记忆方法来解决问题，盲从于结论，数学理解力悄然流失。

3. 认知评价“结果化”

对于数学教学，我们应该不陌生这样的教学搁置现象：“会了吗？”学生会齐刷刷地回答“会了”。这其中，存在诸多滥竽充数的现象。对于学生的学习，我们关注过程甚于关注结果。于是，在数学学习中，“数学理解”让渡于机械记忆，让渡于机械模仿。教师通常用检测、练习的方式来掌握学情。在检测、练习数据的掩盖下，我们遮蔽了学生灵动的思维，许多个性化、新颖化的思维没有得到显现，学生数学理解被人为架空。如果我们关注学生思维，追问学生“为什么可这样做？”“还可怎样做？”多倾听学生、对话学生，那么，学生的数学理解就能获得发展。

三、“数学理解”的教学意蕴

对于“理解”，《辞海》中的解释是：揭示事物间的联系而认识新事物的过程。可见，理解不是简单知识的机械记忆或照本模仿，也不是机械解释或照本运用，而是思考知识间的内在联系。“理解”不仅能把握数学概念“是什么”，更能把握“为什么”“怎么样”。数学理解不能简单等同于“听懂了”“会做了”，而应有更为丰富的内涵。

1. 工具性理解

英国数学教育心理学家斯根普认为，理解有两个层面：一是工具性理解，二是关系性理解。笔者认为，在学生数学学习中还有一个创新性理解。斯根普深刻指出，工具性理解是指一种语义性理解，即符号所指代的事物、事实、步骤等是什么，工具性理解侧重于是什么。比如，一提到方程，学生就知道“含有未知数的等式”叫作方程，这就是一种“工具性理解”。但即使学生能熟练说出方程的定义，也并不一定能解方程。工具性理解充斥着当下的数学教学。

2. 关系性理解

美国著名教育心理学家大卫·帕金斯认为，所谓理解，不是指个体记得什么，而是指个体可以运用信息做哪些事情。在数学教学中，理解不是个体能够记得某些概念，而是能够用自己的语言陈述概念、解释概念。华东师范大学李士錡教授认为，理解就是个体能够在心理上组织、建构起适当的、有效的认知结构。关系性理解是一种“结构性理解”，不仅知道是什么，而且知道为什么。比如，尽管学生不能说出什么是方程，但学生能主动探寻未知数和已知数之间的关系，从而解方程，这就是一种关系性理解。关系性理解是数学教学应当努力追寻的。

3. 创新性理解

关系性理解再深入一步，就会进入创新性理解层次。所谓创新性理解，就是在认知结构的基础上，对已有知识进行提高、推广或拓展，或对某种操作进行更新或改变。创新性理解，是一种推陈出新，是提出新问题，引出新猜想，进行新拓展。创新性理解是学生在更新、更宽、更高视域中对数学知识进行多路向、多层次、多视角的思考、探究。比如，学生能运用不同的方法如等式性质、等式间关系、移项等求解方程。创新性理解是最高层次的数学理解。

数学理解的目标具有双重内涵：一是对“数学对象”的理解，包括数学知识的内容、技巧、方法、思想、策略等;二是从数学视角解释现实，让学生能“用数学眼光观察，用数学思维分析，用数学语言表达”。在数学教学中，要促成学生关系性理解，让学生经由关系性理解进入创新性理解的境界与层次。

四、“数学理解”的教学策略

数学理解是一个系统工程，建设数学理解性课堂，需要教师从课堂教学各要素入手，对数学教学进行变革和改造。建构主义认为，数学知识不可能以实体形式存在于个體之外，真正的数学学习只有由学习者基于自身经验背景而建构起来。理解取决于学生的数学学习过程，理解不是生吞活剥、死记硬背。

1. 对接经验，丰盈数学理解的源泉

理解一定是基于学生的经验的，对接学生经验，能够丰盈数学理解之源泉。在数学教学中，教师要借助已知帮助学生理解未知，借助形象帮助学生理解抽象，借助事理帮助学生理解数理。比如，一位教师在教学苏教版四年级《用数对确定位置》后，让学生主动对接生活经验，从而使学生更深刻地理解用数对确定位置在生活中有着具体的运用。有学生说，教室座位就可以用数对表示;有学生说，课程表也可以用数对表示;还有学生说，秧田里整齐的秧苗可以用数对表示……接着，教师顺学而导，让学生对教室座位互相提问解答。这种教学，不再是让学生机械识记，而是将数学规定与现实生活关联起来，将数学知识学透、学活，内化为学生的数学素养。

2. 聚焦本质，指向数学理解的目标

數学理解，归根结底是对数学本质的理解。教学中，教师要引导学生学会抽象、推理、概括、建模。聚焦数学知识本质，要培养学生的质疑精神、批判精神，让学生进行深度思考、探究。比如，教学《图形放大和缩小》，笔者出示一张学生熟悉的班上同学的照片。现在要将这张照片放大，有哪些方案呢？接着，笔者又出示了四种规格的照片，一是长放大，宽不变;二是宽放大，长不变;三是长和宽同时放大，但放大倍数不同;四是长和宽放大相同倍数。这样的素材，一下子让学生感悟到图形放大或缩小的本质：大小变而形状不变。学生对数学知识的理解，不再止步于记忆概念，而是获得一种内在感悟，获得本质理解。

3. 凸显联系，提升数学理解的效能

数学是一门系统性很强的学科，凸显数学知识之间的联系，能让数学知识节点具有繁殖力，形成一种关联性、内聚的知识整合力量。这里，既要注重知识的横向比较，也要注重知识纵向的长程设计。横向比较，如“三角形的高”与“平行四边形的高”“梯形的高”的比较;纵向设计，如低年级长度单位教学，中年级面积单位教学，高年级体积单位教学，就体现了线面体三维空间概念、度量。凸显知识关联，能够提升数学理解的效能。如通过高的比较，学生能够感悟到“垂直”的本真内涵，即只有相交成直角，而不管位置、方向等因素。

数学理解是学生获取数学知识的保证，也是发展学生数学素养的前提。没有数学理解就没有学生有效的思维，学生就不能真正掌握数学思想方法。为理解而教，为理解而学，师生在教学中才能有所发现、有所创造。在这个过程中，教师要理解数学、理解学生、理解教学，努力通过自身理解实现学生的数学理解。